Bài 3 Nhị thức Niu tơn A Các câu hỏi, hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số Khai triển biểu thức (a + b)4 thành tổng các đơn thức Lời giải (a + b)4 = (a + b)3(a + b) = (a3 +[.]
Trang 1Bài 3: Nhị thức Niu-tơn
A Các câu hỏi, hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Khai triển biểu thức (a + b)4
= a5 + 5a4.2b + 10a3.(2b)2 + 10a2.(2b)3 + 5a.(2b)4 + (2b)5
= a5 +10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5
Lời giải:
Trang 2Số hạng chứa x3 ứng với 6 – 3k = 3 Suy ra k = 1
Vậy hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là: C 216 1=2.6 12=
Bài tập 3 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Biết hệ số của x2 trong khai triển của
8 4 8
Suy ra k = 6 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển của
8
xx
6 8
C =28
Bài tập 5 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ khai triển của biểu thức
(3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được
Trang 3Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng -1
Bài tập 6 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng:
Trang 4Bài 4: Phép thử và biến cố
A Các câu hỏi, hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 60 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy liệt kê các kết quả có thể
của phép thử gieo một con súc sắc
Lời giải:
Các kết quả có thể của phép thử gieo một con súc sắc: 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4
chấm, 5 chấm, 6 chấm
B Bài tập
Bài 1 trang 63 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một đồng tiền ba lần
a) Mô tả không gian mẫu
Bài 2 trang 63 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một con súc sắc hai lần
a) Mô tả không gian mẫu b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:
A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)};
B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)};
C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
Lời giải:
a) Phép thử T được xét là: “Gieo một con súc sắc hai lần”
Không gian mẫu gồm 36 phần tử:
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} b) Phát biểu:
Đây là biến cố “Kết quả ở hai lần gieo là như nhau”
Bài 3 trang 63 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số
1, 2, 3, 4 Lấy ngẫu nhiên hai thẻ
a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định biến cố sau:
A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn” ; B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”
Lời giải:
a) Phép thử T được xét là: “Lấy ngẫu nhiên hai thẻ”
Trang 5Đồng nhất mỗi thẻ với chữ số ghi trên thẻ đó, ta có: Mỗi một kết quả có thể có các
Do đó D A=
Bài 5 trang 64 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó
các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7,
8, 9, 10 màu trắng Lấy ngẫu nhiên một thẻ
a) Mô tả không gian mẫu
b) Kí hiệu A, B, C là các biến cố sau:
A: “Lấy được thẻ màu đỏ”
B: “Lấy được thẻ màu trắng”
C: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”
Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu
Lời giải:
a) Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên một thẻ”
Không gian mẫu: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
b) Xác định biến cố A: “Lấy được thẻ màu đỏ”
Suy ra A = {1, 2, 3, 4, 5}
B: “Lấy được thẻ màu trắng”
Suy ra B = {7, 8, 9, 10}
Trang 6C: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”
Suy ra C = {2, 4, 6, 8, 10}
Bài 6 trang 64 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi
lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại
a) Mô tả không gian mẫu
Bài 7 trang 64 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ một hộp chứa năm quả cầu được
đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo
thứ tự từ trái sang phải
a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định biến cố sau:
A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”;
B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”;
C: “Hai chữ số bằng nhau”
Lời giải:
a) Không gian mẫu gồm 20 phần tử được mô tả như sau:
= {(1;2), (2;1), (1;3), (3;1), (1;4), (4;1), (1;5), (5;1), (2;3), (3;2), (2;4), (4;2), (2;5), (5;2), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3), (4;5), (5;4)}
b) Xác định biến cố A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”;
Suy ra A = {(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (2;3), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5), (4;5)} B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”;
Suy ra B = {(2;1), (4;2)}
C: “Hai chữ số bằng nhau”
Suy ra C =
Trang 7Bài 5: Xác suất của biến cố
A Các câu hỏi, hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ một hộp chứa bốn quả cầu
ghi chữ a, hai quả cầu ghi chữ b và hai quả cầu ghi chữ c (hình 34), lấy ngẫu nhiên
một quả Kí hiệu:
A: “Lấy được quả ghi chữ a”
B: “Lấy được quả ghi chữ b”
C: “Lấy được quả ghi chữ c”
Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của các biến cố A, B và C? Hãy so sánh chúng
Khả năng xảy ra của biến cố A lớn hơn khả năng xảy ra của biến cố B và C
Vậy khả năng xảy ra của biến cố B bằng khả năng xảy ra của biến cố C
Hoạt động 2 trang 69 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các tính chất a), b)
và c)
Tính chất:
a) P( ) =0, P( ) = 1
b) 0P A( ) , với mọi biến cố A 1
c) Nếu A và B xung khắc, thì P A( B)=P(A)+P(B) (công thức cộng xác suất)
Lời giải:
a) P( ) =0, P( ) = 1Theo định nghĩa xác suất của biến cố ta có:
b) 0P A( ) , với mọi biến cố A 1
Suy ra điều phải chứng minh
c) Nếu A và B xung khắc, thì P A( B)=P(A)+P(B) (công thức cộng xác suất) Nếu A và B xung khắc, ta có:
cân đối và đồng chất hai lần
a) Hãy mô tả không gian mẫu
Trang 8B = {(1; 2; 3), (2; 3; 4)}
Suy ra n(B) = 2 c) Xác suất của biến cố A: ( ) n A( ) ( ) 1
2
Trang 9Bài tập 3 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một người chọn ngẫu nhiên hai
chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo
thành một đôi
Lời giải:
Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày có cỡ khác nhau”
8n( ) =C =28 (Do hai chiếc cùng một đôi phân chia trái phải nên không giống nhau)
Gọi A là biến cố: “Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi”
Vì chỉ có 4 đôi giày nên số cách lấy được 1 trong 4 đôi giày là n(A) = 4
Bài tập 4 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một con súc sắc cân đối và
đồng chất Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm Xét phương trình
x2 + bx + 2 = 0 Tính xác suất sao cho:
a) Phương trình có nghiệm;
b) Phương trình vô nghiệm;
c) Phương trình có nghiệm nguyên
Bài tập 5 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu
nhiên cùng một lúc bốn con Tính xác suất sao cho:
Trang 10Vậy xác suất xảy ra biến cố là ( )
Khi đó biến cố đối của biến cố B là B : “Rút được 4 con bài đều không là át”
Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho B là một tổ hợp chập 4 của 48 con bài không
Vậy xác suất xảy ra biến cố là P(B) 1 P B= − ( )0, 2813
c) Gọi C là biến cố: “Trong bốn con bài rút được hai con át và hai con K”
Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho C là một tổ hợp gồm 2 con át và 2 con K
4 4n(C)=C C =36
Bài tập 6 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hai bạn nam và hai bạn nữ được
xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau Tính xác suất
sao cho:
a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;
b) Nữ ngồi đối diện nhau
Lời giải:
Mỗi cách xếp 4 bạn vào 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử, vì vậy không gian
mẫu có 4! = 24 phần tử
a) Gọi A là biến cố: “Nam, nữ ngồi đối diện nhau”
Có 4 chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn
Có 1 cách chọn chỗ đối diện cho bạn nữ thứ hai
Sau khi 2 bạn nữ đã chọn chỗ ngồi (đối diện nhau) thì còn lại 2 chỗ (đối diện nhau)
để xếp cho 2 bạn nam và có 2! cách xếp chỗ cho 2 bạn này
Vì vậy theo quy tắc nhân có 4.1.2! = 8 cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện nhau hay nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ
Bài tập 7 trang 75 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có hai hộp chứa các quả cầu Hộp
thứ nhất chứ 6 quả trắng, 4 quả đen Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả Kí hiệu:
A là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”
B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”
a) Xét xem A và B có độc lập không
b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu
c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu
Lời giải:
a) Phép thử T: “Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả”
Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2 nên số phần tử của không gian mẫu là n( ) 10.10 100 = =
Biến cố A là: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”
Trang 11Suy ra có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B
Biến cố B là: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”
Suy ra có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A
Gọi AB là biến cố: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”
Suy ra có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu ở hộp B
Vậy A và B là hai biến độc lập với nhau
b) Gọi C là biến cố: “Lấy được 2 quả cùng màu”
AB là biến cố: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”
AB là biến cố: “Cả hai quả cầu lấy ra đều đen”
Suy ra P C( )= −1 P(C)= −1 0, 48=0,52Vậy xác suất để lấy được cầu sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu là 0,52
Trang 12Ôn tập chương 2 Bài tập 1 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phát biểu quy tắc cộng, cho ví dụ áp
dụng
Lời giải:
Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu
hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không
trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách
Vậy theo quy tắc cộng có: 4 + 3 = 7 cách chọn
Bài tập 2 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phát biểu quy tắc nhân, cho ví dụ áp
dụng
Lời giải:
Quy tắc nhân: Nếu công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu
có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực
hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc
Ví dụ: Một lớp có 3 tổ, mỗi tổ có 6 nam và 4 nữ Cần chọn từ mỗi tổ một người để
thành lập đội thanh niên tình nguyện mùa hè xanh Hỏi có bao nhiêu cách để lập
Tổ hợp chập k của n phần tử là trích ra một tập hợp con k phần tử của một tập hợp
n phần tử không để ý đến thứ tự các phần tử của tập hợp con đó
Như vậy với một tổ hợp chập k của n phần tử tạo thành k! lần chỉnh hợp chập k của n phần tử
Bài tập 4 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số
được tạo thành từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:
b) Gọi abcd là số cần tìm
Vì a, b, c đôi một khác nhau và khác d nên có 3
A =120 số abc0
Trang 13Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số)
Vậy theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn
Bài tập 5 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba
bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất sao cho:
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau;
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau
Lời giải:
Số cách xếp 3 nam và 3 nữ vào 6 ghế là: 6! cách Suy ra n( ) = =6! 720
a) Ta gọi A là biến cố: “Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau”
Giả sử đánh số ghế từ 1 đến 6
Trường hợp 1:
Nam ngồi ghế số 1, 3, 5 suy ra có 3! cách xếp
Nữ ngồi ghế số 2, 4, 6 suy ra có 3! cách xếp Suy ra trường hợp 1 có 3!.3! = 36 cách xếp Trường hợp 2:
Nữ ngồi ghế số 1, 3, 5 suy ra có 3! cách xếp Nam ngồi ghế số 2, 4, 6 suy ra có 3! cách xếp Suy ra trường hợp 1 có 3!.3! = 36 cách xếp Suy ra:
b) Gọi B là biến cố: “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”
Ba bạn nam ngồi cạnh nhau có 3! cách xếp là hoán vị của 3 bạn nam Xem ba bạn nam là một phần tử thì có 4! cách xếp chung với ba bạn nữ
Theo quy tắc nhân, ta có 3!.4! = 144
Bài tập 6 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng
và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả Tính xác suất sao cho: a) Bốn quả lấy ra cùng nhau;
b) Có ít nhất một quả màu trắng
Lời giải:
Trang 14a) Phép thử T: “Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu”
Gọi A là biến cố: “Bốn quả lấy ra cùng nhau”
Biến cố đối của B là B : “Bốn quả lấy ra không có quả màu trắng nào”
Bài tập 7 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một con súc sắc ba lần Tính
xác suất sao cho sáu mặt chấm xuất hiện ít nhất một lần
Gọi A là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần"
Suy ra biến cố đối là A : “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm"
Lần gieo thứ nhất không ra mặt 6 chấm nên có 5 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5
chấm)
Lần gieo thứ hai và thứ ba: tương tự có 5 kết quả có thể xảy ra
Bài tập 8 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho một lục giác đều ABCDEF
Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào sáu cái thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là: a) Cạnh của lục giác;
b) Đường chéo của lục giác;
c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác
Lời giải:
a) Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên hai thẻ”
Số phần tử không gian mẫu là các tổ hợp chập 2 của 6 (đỉnh)
C
Gọi A là biến cố: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành cạnh của lục giác”
Vì số cạnh của lục giác là 6 nên n(A) = 6
b) Gọi A là biến cố: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành đường chéo của lục giác”
Vì số đường chéo của lục giác là số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của lục giác trừ số cạnh của lục giác
Nên n(B) = 15 – 6 = 9
c) Gọi C là biến cố: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh đối diện của lục giác”
Lục giác có 3 cặp đỉnh đối diện là A - D, B - E, C - F nên n(C) = 3
Trang 15Bài tập 9 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo đồng thời hai con súc sắc
Tính xác suất sao cho:
a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn;
b) Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ
Lời giải:
Không gian mẫu ={(i, j) 1 i, j 6}∣
Suy ra n( ) =6.6=36
a) A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
A {(i, j) i, j {2;4;6}}= ∣ suy ra n(A) = 3.3 = 9
Vì tích hai số là lẻ chỉ khi cả hai thừa số đều lẻ nên
Bài tập 11 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Năm người được xếp vào ngồi
quanh một bàn tròn với năm ghế Số cách xếp là:
Lời giải:
Với 5 người A, B, C, D, E xếp hàng ngang (hay dọc) thì có 5! = 120 cách xếp Nếu hoán vị theo hàng ngang thì ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC, EABCD là khác nhau nhưng xếp quanh bàn tròn thì chỉ là một cách xếp
5
Chọn đáp án D
Bài tập 12 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một con súc sắc hai lần Xác
suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là:
A là biến cố: " Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm"
Bài tập 13 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng
và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả Xác suất để được cả hai quả trắng là: (A) 9
Trang 16Lời giải:
Phép thử T: "Lấy ngẫu nhiên hai quả cầu từ hộp có 3 quả trắng, 2 quả đen"
Bài tập 14 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo ba con súc sắc Xác suất để
số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là:
Bài tập 15 trang 78 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một đồng tiền cân đối và
đồng chất bốn lần Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:
Trang 17Bài 1: Quy tắc đếm
A Các câu hỏi, hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 44 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong ví dụ 1, kí hiệu A là tập
hợp các quả cầu trắng, B là tập hợp các quả cầu đen Nêu mối quan hệ giữa số cách
chọn một quả cầu và số các phần tử của hai tập A, B
Lời giải:
Số cách chọn một quả cầu bằng tổng số các phần tử của hai tập hợp A, B
Hoạt động 2 trang 45 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ thành phố A đến thành phố
B có ba con đường, từ B đến C có bốn con đường (Hình 25) Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ A đến C, qua B?
Lời giải:
Từ A đến B có 3 cách
Từ B đến C có 4 cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có: 3.4 = 12 cách đi từ A đến C, qua B
Vậy có 12 cách đi từ A đến C, qua B
B Bài tập
Bài 1 trang 46 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được
bao nhiêu số tự nhiên gồm:
c) Gọi số có 2 chữ số khác nhau có dạng ab (ab)
a có 4 cách chọn
b có 3 cách chọn (do a ≠ b) Vậy theo quy tắc nhân có 4.3 = 12 số
Bài 2 trang 46 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập
được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
Bài 3 trang 46 SGK Toán lớp 11 Đại số: Các thành phố A, B, C, D được nối với
nhau bởi các con đường như hình 26 Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A?
Lời giải: