Toán 11 bài 1 vectơ trong không gian

Bài 1 Vectơ trong không gian A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Hình học Cho tứ diện ABCD Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của[.]

Bài 1: Vectơ trong không gian

A Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Hãy chỉ ra

các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ diện Các vectơ đó

có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

Lời giải:

Các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ diện là: AB ; AC;

AD.

Các vectơ đó không cùng nằm trong một mặt phẳng

Hoạt động 2 trang 85 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng

vectơ AB

Lời giải:

Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ AB là:

DC ; A'B'; D'C'

Hoạt động 3 trang 86 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.EFGH Hãy

thực hiện các phép toán sau đây (h.3.2):

a) AB CD EF GH+ + + ;

b) BE CH−

Lời giải:

a) AB = CD CD= −AB

EF = GH GH= −EF

AB CD EF GH+ + + =AB AB− +EF−EF= + = 0 0 0

b) Tứ giác BCHE có BC = EH và BC // EH nên là hình bình hành

Hoạt động 4 trang 87 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong không gian cho hai

vectơ a; b đều khác vectơ – không Hãy xác định các vectơ m=2a; n= −3b;

p=m+ n

Lời giải:

Hoạt động 5 trang 89 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.EFGH

Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Chứng minh rằng các đường thẳng IK và ED song song với mặt phẳng (AFC) Từ đó suy ra ba vectơ AF ; IK ; ED đồng phẳng

Lời giải:

I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC

Suy ra IK là đường trung bình của ABC nên

IK∥AC(ACF) suy ra IK // (ACF)

Hình hộp ABCD.EFGH nên (ADHE) // (BCGF)

Suy ra FC // ED (là đường chéo trong các hình bình hành BCGF và ADHE)

Nên ED // (ACF)

Ngoài ra AF(ACF)

Suy ra ba vectơ AF; IK ; ED đồng phẳng (vì giá của chúng song song với một mặt phẳng, có thể chọn một mặt phẳng bất kì song song với (ACF))

Hoạt động 6 trang 89 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai vectơ a; b đều khác vectơ 0 Hãy xác định vectơ c=2a−b và giải thích tại sao ba vectơ a; b; c đồng phẳng

Lời giải:

Ba vectơ a; b; c đồng phẳng vì a; b không cùng phương và có cặp số (2; -1) sao cho: c=2a−b

Hoạt động 7 trang 89 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho ba vectơ a; b; c trong không gian Chứng minh rằng nếu ma+nb+pc= và một trong ba số m, n, p khác 0 không thì ba vectơ a; b; c đồng phẳng

Lời giải:

Giả sử p ta có: 0

ma+nb+pc= 0

ma nb pc

 + = −

m n

Do đó, ba vectơ a; b; c đồng phẳng theo định lí 1

B Bài tập

Bài tập 1 trang 91 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tứ giác

ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại I,

K, L, M Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ Hãy chỉ ra các vectơ:

a) Cùng phương với IA;

b) Cùng hướng với IA;

c) Ngược hướng với IA

Lời giải:

a) Các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà cùng phương với IA là: IA' ; KB ; KB'; LC; LC'; MD ; MD' b) Các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà cùng hướng với IA là: KB ; LC; MD

c) Các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà ngược hướng với IA là: IA' ; KB'; LC'; MD'

Bài tập 2 trang 91 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

Chứng minh rằng:

a) AB B'C' DD'+ + =AC';

b) BD D'D B'D'− − =BB';

c) AC BA' DB C'D+ + + =0

Lời giải:

a) Ta có: B C' '=BC; DD'=CC'

AB B'C' DD'+ + =AB BC CC+ + '=AC C '+ C =AC'

b) BD−D'D−B D'' =BD+DD'+D'B'=BD'+D'B'=BB'

c) Ta có: BA’D’C là hình bình hành BA' CD'=

BDD’B’ là hình bình hành DB D'B'=

AB’C’D là hình bình hành C'D=B'A

AC+BA' DB C'D+ + =AC CD' D'B' B'A+ + + =AD'+D'B'+B'A =AB'+B'A=0

Bài tập 3 trang 91 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình bình hành ABCD Gọi S là

một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành Chứng minh SA SC SB SD+ = +

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của AC và BD

Khi đó:





 SA SC SB SD+ = + (điều phải chứng minh)

Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần

lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng:

a) MN 1(AD BC)

2

b) MN 1(AC BD)

2

Lời giải:

a) MN=MA+AD DN+

MN=MB BC CN+ +

Cộng từng vế ta được:

2MN= MA+MB + AD+BC + DN+CN

Do M, N là trung điểm của AB, CD nên MA+MB=0 và DN CN+ =DN+ND=0 2MN 0 (AD BC) 0 AD BC

1

2

 = + (điều phải chứng minh)

b) MN=MA+AC CN+

MN=MB BD DN+ +

Cộng từng vế ta được:

2MN= MA+MB + AC+BD + CN+DN = +0 (AC+BD)+0 =AC BD+

1

2

 = + (điều phải chứng minh)

Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Hãy xác định

hai điểm E và F sao cho:

a) AE=AB AC AD+ + ;

b) AF=AB AC AD+ −

Lời giải:

a) Lấy điểm G sao cho AB AC+ =AG

Suy ra G là đỉnh của hình bình hành ABGC

Ta có:

AB AC AD+ + =AEAG+AD=AE

Suy ra E là đỉnh của hình bình hành ADEG

Hay AE là đường chéo của hình hộp có ba cạnh AB, AC, AD

b) Ta có:

AB AC AD+ − =AF

Vậy F là đỉnh của hình bình hành ADGF

Bài tập 6 trang 92 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng

tâm tam giác ABC Chứng minh rằng DA+DB DC 3DG+ =

Lời giải:

F

G C

A

E D

B

Theo quy tắc ba điểm ta có:





0

3DG

=

(do G là trọng tâm tam giác ABC nên GA GB DC+ + =0)

Bài tập 7 trang 92 SGK Toán lớp 11 Hình học: Gọi M và N lần lượt là trung điểm

của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và

P là một điểm bất kì trong không gian Chứng minh rằng:

a) IA+IB IC ID+ + =0 ;

4

Lời giải:

a) Vì M, N là trung điểm của AC và BD nên:

IA IC 2IM

IB ID 2IN







IA IC IB ID

 + + + =2 IM( +IN)

Mà I là trung điểm của MN nên IM IN+ =0

Do vậy IA+IC IB ID+ + =0

b) Ta có:

Vế phải 1( )

4

( ) ( ) ( ) ( )

1

4

1

4PI IA IB IC ID

4

1

.4PI PI

4

1

4

Bài tập 8 trang 92 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tam giác

ABC.A’B’C’ có AA' a= , AB b= , AC c= Hãy phân tích (hay biểu thị) vectơ B'C , BC' qua các vectơ a; b; c

Lời giải:

I M

N

D A

B'C=B'A' A'A+ +AC= −AB AA' AC− + = − − +b a c

BC'=BA+AA' A'C'+ = −AB AA' AC+ + = − + +b a c

Cách khác:

B'C=AC AB'− =AC−(AB+BB') =AC AB BB'− − =AC AB AA'− − = − −c b a BC' A= C'−AB =AA' A'C' AB+ − =AA' AC AB+ − = + −a c b

Bài tập 9 trang 92 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm

ngoài mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS= −2MA và trên đoạn

BC lấy điểm N sao cho 1

2

= − Chứng minh rằng ba vectơ AB , MN ,SC đồng

phẳng

Lời giải:

Biểu diễn MN qua hai vectơ AB , SC :

Ta có:

MN=MS SC+ +CN 2AS SC 2CB

= + + (1)

MN=MA+AB+BN 1AS AB 1CB

= − + − (2) Nhân (2) với 2 rồi cộng với (1) ta được:

3MN=SC+2AB MN 1SC 2AB

Vậy AB , MN ,SC đồng phẳng

Bài tập 10 trang 92 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K

là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF Chứng minh ba vectơ AC ,

KI , FG đồng phẳng

Lời giải:

I=BHDF là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành BDHF do đó I là trung điểm của BH

K là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ADHE do đó K là trung điểm của

AH

Suy ra KI là đường trung bình của tam giác ABH

KI AB

 ∥ KI∥ (ABCD)

Ta có: BCGF là hình bình hành

FG BC FG ABCD

Từ (1) và (2) suy ra: các vectơ KI , FG song song với mặt phẳng (ABCD) chứa vectơ

AC

Vậy AC , KI , FG đồng phẳng