Vieát phöông trình maët p phaúng (P) chöùa (d) vaø taïo vôùi truïc Oy goùc lôùn nhaát.. Lôøi giaûi tham khaûo.[r]
Trang 1BÀI TOÁN 4 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN
TOẠ ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
(d):
x=1− t y=− 2+t z=2 t
¿{ {
Viết phương trình mặt p
phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất
Lời giải tham khảo
Cách 1: Phương pháp hình học
Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình chiếu của M trên d ta có : MAK❑ =α=(d , Oy).Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
(P) thì MAH❑ =β=(d ', P)=(Oy , P) Như thế : sin α=MKAM;sin β=MHAM Trong tam giác
vuông MHK thì MH ≤ MK ⇒sin β ≤sin α ⇒ max β=α khi H ≡ K Vậy mặt phẳng (P) cần tìm
vuông góc với MK tại K
Giải: A(1;-2;0) thuộc d Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương j⃗❑
=(0 ;1 ;0); nên nếu d’ qua A
và song song với Oy thì d’ có phương trình là
x=1 y=− 2+t
z =0
¿{ {
¿
¿
Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình
chiếu vuông góc của M trên d là K (5
6;−
11
6 ;
1
3)⇒ MK⃗❑ =¿) Chọn véctơ pháp tuyến
của (P) là n⃗❑
=(1 ;5 ;−2)
Phưong trình mặt phẳng (P): 1(x−56)+5( y +11
6 )−2( z −
1
3)=0 Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0
Cách 2: Phương pháp giải tích
Lấy M(1;-2;0) d ; N(0;-1;2) d Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0 (A2
+B2 +C2≠ 0)
Do M và N thuộc (P) nên:
D=− A +2 B C= A − B
2
¿{
¿
¿
⇒(P): Ax+By+ A − B2 z+2 B − A=0
Ta có VTPT của (P) là n⃗❑=(A ; B ; A − B
2 ) và VTCP của Oy là j⃗❑
(0;1 ;0).
Gọi α=(P,Oy)❑ thì sin α=|n
⃗
❑
j
⃗
❑
|
|n⃗❑|.|⃗❑j|=
|B|
√A2+B2+(A − B2 )2
= 2|B|
√5 A2 +5 B2−2 AB
+Nếu B=0 thì sin α= 0 ⇒α= 00 +Nếu B 0 thì sin α=
2
√5(A B)2+5 −2(A B)
√5 x2−2 x+5(x=
A
B)
Trang 2
Xét hàm số f (x)=sin2α= 4
5 x2− 2 x +5
f ' (x)= 4(− 10 x+2)
¿ ¿ Ta được Maxf(x)= 56 khi x=1
5
Vậy α lớn nhất khi A B=1
5 Chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9
Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0
Vĩnh Long, ngày 10 tháng 6 năm 2009
GV Nguyễn Ngọc Ấn
**************************************************************************** Chú ý:
1/ Có thể viết sin α=
2
√5 (x2−2
5x +
1
25)+
24 5
√5(x −1
5)2+24 5
≤ 2
√24 5
Do đó max(sin α) =2√5
√24 khi x=15.
2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất