Giải toán 11 chương 3 vectơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 2 Hai đường thẳng vuông góc A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Hình học Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau[.]

Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

A Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện đều ABCD có H là

trung điểm của cạnh AB Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây:

H là trung điểm cạnh AB của tam giác đều ABC nên CH vừa là trung tuyến vừa là

đường cao nên CH⊥AB

Xét tam giác vuông ACH tại H có ACH CAH 90+ = 

a) Hãy phân tích các vectơ AC' và BD theo ba vectơ AB , AD , AA'

b) Tính cos AC', BD( )và từ đó suy ra AC' và BD vuông góc với nhau

Lời giải:

a) AC'=AC+AA'=AB+AD+AA'

BD=AD−ABb) ( ) AC'.BDcos AC', BD

AC' BD

=

AC'.BD= AB+AD+AA ' AD−AB(AB AD AA ' AD) (AB AD AA ' AB)

AC' BD'

(AC , B' D) 90

Vậy hai vectơ AC' và BD vuông góc với nhau

Hoạt động 3 trang 95 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB và B’C’;

b) AC và B’C’;

c) A’C’ và B’C

Lời giải:

a) Góc giữa AB và B’C’ là góc giữa AB và BC (vì B’C’//BC)

Suy ra góc giữa AB và B’C’ là: ABC 90= 

b) Góc giữa AC và B’C’ là góc giữa AC và BC (vì B’C’//BC)

Suy ra góc giữa AC và B’C’ là: ACB 45= 

c) Góc giữa A’C’ và B’C là góc giữa AC và B’C (vì A’C’//AC)

ACB'

 đều vì AC = B’C = AB’ (đường chéo của các hình vuông bằng nhau)

Suy ra góc giữa A’C’ và B’C là: ACB' 60= 

Hoạt động 4 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương

đã cho và vuông góc với:

Hoạt động 5 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm những hình ảnh trong thực

tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian (trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau)

Lời giải:

Trường hợp cắt nhau: hai cạnh liền nhau của bàn, hai cạnh liền nhau của cửa số Trường hợp chéo nhau: bóng đèn tuyp trên tường tạo ra 1 đường thẳng vuông góc với cạnh của mặt tường bên cạnh

B Bài tập Bài tập 1 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.EFGH

Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) AB và EG ; b) AF và EG ; c) AB và DH

Lời giải:

a) Vì ABCD.EFGH là hình lập phương nên EG=AC

Bài tập 2 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD

a) Chứng minh rằng AB.CD AC.DB AD.BC 0+ + =

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB⊥CD và AC⊥BD

Bài tập 3 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học:

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì

a và b có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng

b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?

Lời giải:

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì nói chung a và b chưa chắc song song với nhau vì a và b có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau

Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB và BC cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC cắt nhau tại B, nghĩa là chúng không song song

b) Trong không gian nếu a⊥b và b⊥c thì a và c vẫn có thể cắt nhau hoặc chéo nhau,

do đó nói chung a và c chưa chắc vuông góc với nhau

Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB và A’B’ cùng vuông góc với AA’ nhưng AB//A’B’ chứ không vuông góc

Bài tập 4 trang 98 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong không gian cho hai tam giác

đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M,

N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A Chứng minh rằng: a) AB⊥CC';

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Lời giải:

a) AB.CC'=AB AC'( −AC)

b) Theo giả thiết Q, P là trung điểm của AC’, BC’ do đó QP là đường trung bình của

tam giác ABC’

Suy ra: QP // AB, 1

2

= (1) Chứng minh tương tự ta có:

Bài tập 5 trang 98 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tam giác

S.ABC có SA = SB = SC và có ASB=BSC=CSA Chứng minh rằng SA⊥BC,

Bài tập 6 trang 98 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong không gian cho hai hình

vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’ Chứng minh rằng AB⊥OO' và tứ giác CDD’C’ là hình chữ

C

D'

D A

C'

B

= − (điều phải chứng minh)

Bài tập 8 trang 98 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có

AB = AC = AD và BAC=BAD=60 Chứng minh rằng:

a) AB⊥CD ; b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN⊥ABvà MN⊥CD

MN=MB+BC+CN (2) Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 100 SGK Toán lớp 11 Hình học: Muốn chứng minh đường thẳng

d vuông góc với mặt phẳng (α), người ta phải làm như thế nào?

Lời giải:

Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng (α), người ta phải chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (α)

Hoạt động 2 trang 100 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai đường thẳng a và b song

song với nhau Một đường thẳng d vuông góc với a và b Khi đó đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song a và b không?

b và mặt phẳng (α) Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu a // (α) và b⊥ ( )thì a⊥b b) Nếu a // (α) và b⊥a thì b⊥ ( ) c) Nếu a // (α) và b // (α) thì b // a

(α)

c) Sai vì vẫn có thể xảy ra trường hợp b cắt a hoặc b chéo a

d) Sai vì vẫn có thể xảy ra trường hợp b ( )

Bài tập 2 trang 104 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có hai mặt

ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I là trung điểm của cạnh

BC

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt

phẳng (BCD)

a b

(α)

a b

Bài tập 3 trang 104 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình thoi ABCD tâm O và có SA = SB = SC = SD Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD);

b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC)

Lời giải:

a) SA = SC nên tam giác SAC cân tại S

O là giao của hai đường chéo hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó SO vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác SAC hay

Bài tập 4 trang 105 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,

OB, OC đôi một vuông góc Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng

b) Trong mặt phẳng (ABC) gọi E=AHBC

H

B A

E

OH =OA +OE =OA +OB +OC (điều phải chứng minh)

Bài tập 5 trang 105 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trên mặt phẳng (α) cho hình bình

hành ABCD Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là một điểm nằm ngoài mặt

phẳng (α) sao cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng:

a) SO ⊥ ( );

b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với

mặt phẳng (SOH)

Lời giải:

a) SA=SC  SAC cân tại S

O là trung điểm của AC suy ra SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của

tam giác cân nên SO⊥AC

Bài tập 6 trang 105 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho SI SK

SB=SD Chứng minh:

a) BD⊥SC; b) IK⊥(SAC)

Bài tập 7 trang 105 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện SABC có cạnh SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông tại B Trong mặt phẳng

(SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM SN

SB =SC Chứng minh rằng:

Từ (5) và (6) suy ra SB⊥(AMN) suy ra SB⊥AN

Bài tập 8 trang 105 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho điểm S không thuộc mặt

phẳng (α) có hình chiếu trên (α) là điểm H Với điểm M bất kì trên (α) và không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau; b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

Xét hai tam giác vuông SHM và SHN có SH cạnh chung

Nếu SM = SN  SHM= SHN (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

A Các câu hỏi hoạt dộng trong bài Hoạt động 1 trang 109 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α) và (β)

vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d Chứng minh rằng nếu có một đường

thẳng Δ nằm trong (α) và Δ vuông góc với d thì Δ vuông góc với (β)

Hoạt động 2 trang 109 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh

AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC),

(ACD), (ADB) cũng đôi một vuông góc với nhau

Lời giải:

AB⊥AC, AB⊥AD nên AB⊥(ACD)(theo định lí trang 99)

Hoạt động 3 trang 109 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình vuông ABCD Dựng

đoạn AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD

a) Hãy nêu tên các mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng SB, SC, SD và vuông góc

c sai vì nếu đáy của lăng trụ không phải là hình bình hành thì sẽ không phải hình hộp

d đúng vì các hình lăng trụ tam giác, tứ giác thường, đều không là hình hộp

Hoạt động 5 trang 111 SGK Toán lớp 11 Hình học: Sáu mặt của hình hộp chữ nhật

có phải là những hình chữ nhật không ? Lời giải:

Sáu mặt của hình hộp chữ nhật là những hình chữ nhật

Hoạt động 6 trang 112 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng hình chóp đều

có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

Hoạt động 7 trang 112 SGK Toán lớp 11 Hình học: Có tồn tại một hình chóp tứ giác

S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy hay

không ? Lời giải:

Xét trường hợp AB và CD cắt nhau tại một điểm H

Ta lấy S trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) kẻ từ H thì rõ ràng

(SAB) (⊥ ABCD) và (SCD) (⊥ ABCD)

Vậy có tồn tại một hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng

vuông góc với mặt phẳng đáy

B Bài tập

Bài tập 1 trang 113 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ)

mệnh đề nào sau đây đúng?

A

D

γ β

α

( )

d

b) Sai vì vẫn có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng (β) và (γ) cắt nhau

Bài tập 2 trang 113 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông

góc với nhau Người ta lấy trên giao tuyến Δ của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8cm Gọi C là một điểm trên (α) và D là một điểm trên (β) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến Δ và AC= 6cm, BD =

Do đó AC⊥AD hay tam giác ACD vuông tại A

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACD ta được: DC2 = AC2 + AD2 (1)

Bài tập 3 trang 113 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng (α) cho tam giác

ABC vuông ở B Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A Chứng minh rằng: a) ABD là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC);

b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD);

c) HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua

A và vuông góc với DB

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông tại B nên AB⊥BC (1)

AD vuông góc với (α) nên AD⊥BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC⊥(ABD) suy ra BC⊥BD

Trong (BCD) có: HK⊥BD và BC⊥BD nên suy ra HK // BC

Bài tập 4 trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau

và một điểm M không thuộc (α) và không thuộc (β) Chứng minh rằng qua điểm M có

một và chỉ một mặt phẳng (P) vuông góc với (α) và (β) Nếu (α) // (β) thì kết quả trên

sẽ thay đổi như thế nào?

Lời giải:

Gọi a =   ( ) ( )

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với a

Vì qua một điểm nằm ngoài đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nên (P) là duy nhất

Ta chứng minh (P) vuông góc với (α) và (β)

Thật vậy, ta có: a  ( ); a⊥( )P   ⊥( ) ( )P Tương tự ta cũng có ( ) ( ) ⊥ P

Ngược lại nếu có mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với (α), (β) thì suy ra ( )P ⊥a

Do vậy (P) là duy nhất

Vậy ta được điều phải chứng minh

Nếu (α) // (β), ta gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (α) Khi đó ta

có d⊥ ( ) và mọi mặt phẳng (P) chứa d đều vuông góc với (α), (β) Vậy khi (α) // (β) có vô số mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với (α) và (β)

Bài tập 5 trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng (AB’C’D) vuông góc với mặt phẳng (BCD’A’);

b) Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)

Từ (1) và (2) suy ra: AC'⊥(A 'BD)

Bài tập 6 trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD);

b) Tam giác SBD là tam giác vuông

Lời giải:

O

C

D A

Mặt khác ABCD là hình thoi nên AC⊥BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC⊥(SBD)

AC(ABCD)(ABCD)⊥(SBD)b) Xét hai tam giác SAC và BAC có:

Nên (ADC'B') (⊥ ABB'A')

b) Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:

AC'= a +a +a = 3a =a 3

Bài tập 9 trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có SH là đường cao Chứng minh SA⊥BC và SB⊥AC

Lời giải:

Hình chóp tam giác đều nên ta có H là tâm của tam giác đều ABC

SH⊥(ABC)SH⊥BC

Và AH⊥BC (vì H là trực tâm) Suy ra BC⊥(SAH)

SA(SAH)BC⊥SAChứng minh tương tự, ta có:

BH là hình chiếu của SB trên (ABC)

 ⊥ ( định lí ba đường vuông góc)

Bài tập 10 trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

a) Tính độ dài đoạn SO

b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) vuông góc với nhau

c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Lời giải:

a) Hình chóp tứ giác đều nên SO⊥(ABCD) Do đó SO⊥AC

Tam giác ABD vuông tại A nên 2 2

Suy ra tam giác BDM cân tại M

OM vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên OM⊥BD

= = hay OM = MC Tam giác OMC vuông cân tại M nên MOC=45 Vậy góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) là 45o

Bài tập 11 trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và góc A bằng 60o, cạnh SC a 6

2

= và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC)

b) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K Hãy tính độ dài IK

c) Chứng minh BKD= 90 và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD)

Xét tam giác vuông SAC có:

Hoạt động 2 trang 115 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho điểm O và mặt phẳng (α)

Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α)

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (α) suy ra OH bằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α)

M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α)

Tam giác OMH vuông tại H nên OH < OM

Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α)

Hoạt động 3 trang 116 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho đường thẳng a song song

với mặt phẳng (α) Chứng minh rằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng

(α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc

mặt phẳng (α)

Lời giải:

Lấy điểm A a , A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (α)

Suy ra AA’ bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α)

Mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ A tới

một điểm bất kì của mặt phẳng (α)

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách

từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α)

Hoạt động 4 trang 116 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α) và (β)

Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất

trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của

mặt phẳng kia

Lời giải:

Hai mặt phẳng song song (α) và (β) nên có 1 đường thằng a  ( )và a // (β)

Suy ra khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (β) là bé nhất so với khoảng cách

từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (β)

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các

khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng

kia

Hoạt động 5 trang 116 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện đều ABCD Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD Chứng minh rằng: MN⊥BC và

MN⊥AD (h.3.42)

Lời giải:

Tứ diện đều ABCD nên các mặt của tứ diện là các tam giác đều bằng nhau

NB = NC vì là trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau

Hoạt động 6 trang 118 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng khoảng cách

giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng nào đi qua một điểm M

trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung

của a và b;

e) Đường vuông góc chung  của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt

phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia

Lời giải:

a) Sai vì phát biểu đúng là “Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời  ⊥a và  ⊥b”

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai vì thiếu điều kiện đường thẳng đó cũng phải vuông góc với a

e) Sai vì nếu điều đó xảy ra thì a và b vuông góc nhưng giả thiết chưa cho a vuông góc

b

Bài tập 2 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy

b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt

phẳng (SBC)

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA

Lời giải:

a) Trong (ABC), gọi E=AHBC

H là trực tâm của tam giác ABC nên AE⊥BC (1)

SA⊥ ABC SA⊥BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC⊥(SAE)BC⊥SE

K là trực tâm của tam giác SBC suy ra SE đi qua K

Suy ra AH, BC, SK đồng quy tại E

b) Trong (ABC) gọi F=BHAC, trong (SBC) gọi D=BKSC Khi

Suy ra AE là đường vuông góc chung của BC và SA

Bài tập 3 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’ và D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau Tính khoảng cách đó

Lời giải:

Gọi K là hình chiếu của B trên AC’

Do đó các chiều cao tương ứng của các tam giác này bằng nhau

Vậy khoảng cách từ B, C, D, A’, B’, D’ tới AC’ đều bằng a 6

C'

D

D'

B' A'

AB BC abBH



+b) Ta có: AC'(ACC A' ')∥BB'

Bài tập 5 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

a) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’)

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’

Suy ra B’ thuộc trục của tam giác A’BC’ (1)

DA’ = DB = DC’ (đường chéo các hình vuông bằng nhau)

G H

O'

O

C

B A

C'

D'

D

Suy ra D cũng thuộc trục của tam giác A’BC’ (2)

Từ (1) và (2)  B’D là trục của (BA’C’)B'D⊥( A'C'B )

b) Ta có:

BC' AD'

A 'C' ACBC', A 'C' BA 'C'AD', AC ACD

)'

 H là trung điểm của DG

Bài tập 6 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng nếu đường thẳng

nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của

AB và CD thì AC = BD và AD = BC

Lời giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD

Theo giả thiết IJ⊥AB, IJ⊥CD

Qua I kẻ đường thẳng d // CD, lấy trên d điểm E, F sao cho IE IF CD

Bài tập 7 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC

có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC) Lời giải:

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC ta có SH⊥(ABC)

Bài tập 8 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó