Ôn tập chương I A Câu hỏi ôn tập chương I Câu hỏi 1 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học Thế nào là phép biến hình, phép dời hình và phép đồng dạng Lời giải Phép biến hình trong mặt phẳng là quy tắc đặt[.]
Trang 1Ôn tập chương I
A Câu hỏi ôn tập chương I
Câu hỏi 1 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học: Thế nào là phép biến hình, phép
dời hình và phép đồng dạng
Lời giải:
- Phép biến hình trong mặt phẳng là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó
- Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k > 0) nếu với hai điểm M,
N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = k.MN
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1
Câu hỏi 2 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học:
a) Hãy kể tên các phép dời hình đã học
b) Phép đồng dạng có phải phép vị tự không?
Lời giải:
a) Các phép dời hình đã học là:
Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự tỉ số
1 và -1
b) Phép đồng dạng không phải phép vị tự
Phép vị tự là một phép đồng dạng
Phép đồng dạng còn bao gồm các phép dời hình
Câu hỏi 3 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy nêu một số tính chất đúng
đối với phép dời hình mà không đúng đối với phép đồng dạng
Lời giải:
- Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Phép đồng dạng không bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có bán kính không đổi
Phép đồng dạng tỉ số k biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R
- Phép dời hình biến tam giác thành tam giác bằng nó
Trang 2Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó
Câu hỏi 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học: Thế nào là hai hình bằng nhau,
hai hình đồng dạng với nhau? Cho ví dụ
Lời giải:
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia
Ví dụ: ABC sau khi thực hiện phép quay tâm C, góc 90º rồi lấy đối xứng qua d được A B C1 1 1
Suy ra ABC= A B C1 1 1
Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia
Ví dụ: ABC sau khi thực hiện liên tiếp phép quay tâm C góc 90º; đối xứng qua đường thẳng d và phép vị tự tâm B tỉ số 1,5 được A B C1 1 1
Suy ra A B C1 1 1∽ABC
Trang 3Câu hỏi 5 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai điểm phân biệt A, B và
đường thẳng d Hãy tìm một phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự
a) Biến A thành chính nó;
b) Biến A thành B;
c) Biến d thành chính nó
Lời giải:
a) Các phép biến một điểm A thành chính nó:
Phép đồng nhất:
Phép tịnh tiến theo vectơ 0
Phép quay tâm A, góc bất kì
Phép quay tâm bất kì, góc = 0
Phép đối xứng tâm A
Phép vị tự tâm A, tỉ số k = 1
Ngoài ra còn có phép đối xứng trục mà trục đi qua A
b) Các phép biến hình biến điểm A thành điểm B:
Phép tịnh tiến theo vectơ AB
Phép đối xứng qua đường trung trực của đoạn thẳng AB
Phép đối xứng tâm qua trung điểm của AB
Phép quay mà tâm nằm trên đường trung trực của AB
Phép vị tự mà tâm là điểm chia trong hoặc chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỉ số k c) Các phép biến một điểm d thành chính nó
Phép tịnh tiến theo vectơ v có giá song song với d
Phép đối xứng trục là đường thẳng d' d⊥
Phép đối xứng tâm là điểm A d
Trang 4Phép quay tâm là điểm A d , góc quay =180
Phép vị tự tâm là điểm I d
Câu hỏi 6 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học: Nêu cách tìm tâm vị tự của hai
đường tròn
Lời giải:
Gọi hai đường tròn là (I1; R1) và (I2; R2)
Trường hợp 1: I1 I2
Khi đó tâm vị tự O ; tỉ số vị tự I1 I2 2
1 1
R k R
2
1
R k
R
= − biến đường tròn (I1;
R1) thành đường tròn (I2; R2)
Trường hợp 2: I1 I2
Vẽ bán kính I1M bất kì
Dựng đường kính AB của (I2; R2) sao cho AB I M∥ 1
MA; MB lần lượt cắt I1I2 tại O1 và O2
Khi đó O1 và O2 chính là hai tâm vị tự của hai đường tròn
Trang 5B Bài tập ôn tập chương 1
Bài tập 1 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho lục giác đều ABCDEF tâm
O Tìm ảnh của tam giác AOF
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB
b) Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE
c) Qua phép quay tâm O góc quay 120o
Lời giải:
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB ta có:
AB AB= suy ra T (A)AB =B
OC=AB suy ra T (O)AB = C
FO=AB suy ra T (F)AB =O
Suy ra T ( AOF)AB = BCO
Vậy ảnh của tam giác AOF qua phép tịnh tiến theo vecto AB là tam giác BCO b) Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE:
A, C đối xứng với nhau qua BE
O đối xứng với chính nó qua BE
F, D đối xứng với nhau qua BE
Từ đó ta có:
Trang 6BE
BE
O
Đ
Đ
Đ
=
=
= suy ra Đ ( AOF)BE = COD
Vậy ảnh của tam giác AOF qua phép đối xứng qua đường thẳng BE là tam giác COD
c) Qua phép quay tâm O góc 120o
Ta có: (OA,OE)=AOE 120=
(OF,OD)=FOD 120=
Do đó:
O;120
O;120
O;120
Q (A) E
Q (O) O
Q (F) D
suy ra Q(O;120)( AOF) = EOD
Vậy ảnh của tam giác AOF qua phép đỗi quay tâm O góc 120o là tam giác EOD
Bài tập 2 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
điểm A(−1; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + 1 = 0 Tìm ảnh của A và
d
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v (2;1)= ;
b) Qua phép đối xứng trục Oy;
c) Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ;
d) Qua phép quay tâm O góc 90o
Lời giải:
Gọi A’ và d' lần lượt là ảnh của A và d qua các phép biến hình trên
a) Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến vecto v=(2;1) là
'
= +
= +
Do vậy, ảnh của A(−1; 2) là A’(1; 3)
Gọi M(x, y) thuộc d: 3x + y + 1 = 0
Trang 7( )
M'=T (M)= x'; y x x 2
' '
= +
y
'
= −
Thay vào phương trình đường thẳng d, ta có: 3(x’ – 2) + (y’ – 1) +1 = 0 Suy ra 3x’ + y’ – 6 = 0
Suy ra M' d' : 3x + − =y 6 0
Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 3x + y – 6 = 0
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy là
'
= −
=
Do vậy, ảnh của A(−1; 2) là A’(1; 2)
Gọi M(x, y) thuộc d: 3x + y + 1 = 0
M '=Đ (M)= x y'; x x
' '
= −
' '
= −
Thay vào phương trình đường thẳng d, ta có:
3(-x’) + y’ +1 = 0
Suy ra 3x’ – y’ – 1 = 0
Suy ra M'd : 3x' − − =y 1 0
Vậy phương trình đường thẳng d' là: 3x - y – 1 = 0
c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là
'
= −
= −
Do vậy, ảnh của A(−1; 2) là A’(1; −2)
Gọi M(x, y) thuộc d: 3x + y + 1 = 0
M '=Đ (M)= x y'; x x
' '
= −
'
= −
Thay vào phương trình đường thẳng d, ta có: 3(-x’) + (-y’) +1 = 0 Suy ra 3x’ + y’ – 1 = 0
Suy ra M'd : 3x' + − =y 1 0
Vậy phương trình đường thẳng d' là: 3x + y – 1 = 0
Trang 8d) Qua phép quay tâm O góc 90o, A(−1; 2) biến thành A’(−2; −1), B(0; −1) biến thành B’(1; 0)
Vì A, B thuộc d nên A’, B’ thuộc d’
Phương trình đường thẳng d' là phương trình A’B’
Ta có: A B' ' =(3;1) suy ra nAB = − (1; 3)
Mà d' đi qua B'(1;0) nên có phương trình: (x – 1) – 3(y – 0) = 0
Suy ra x – 3y – 1 = 0
Vậy phương trình đường thẳng d' là: x – 3y – 1 = 0
Bài tập 3 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
cho đường tròn tâm I(3; −2), bán kính 3
a) Viết phương trình của đường tròn đó
b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo
vectơ v = −( 2;1)
c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng trục Ox
d) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng qua gốc tọa độ
Lời giải:
a) Đường tròn (I; 3) có phương trình: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 9
b) Ta có: I'=T (I)v II'=v
Suy ra I' I
I' I
= + = −
suy ra I’(1; -1)
Suy ra ảnh của đường tròn (I; 3) qua T là đường tròn (I’; 3) có phương trình: v (x – 1)2 + (y + 1)2 = 9
c) Ta có: I’ = ĐOx(I) suy ra I’(3; 2)
Suy ra ảnh của đường tròn (I; 3) qua ĐOx là đường tròn (I’; 3) có phương trình
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 9
d) Ta có: I’ = ĐO(I) suy ra I’(-3; 2)
Trang 9Suy ra ảnh của đường tròn (I; 3) qua ĐO là đường tròn (I’; 3) có phương trình
(x + 3)2 + (y − 2)2 = 9
Bài tập 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho vectơ v , đường thẳng d
vuông góc với giá của vectơ v Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ 1
v
2 Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’
Lời giải:
Lấy A bất kì thuộc đường thẳng d, xác định điểm B sao cho AB v
2
= , qua B kẻ đường thẳng d' d∥ Khi đó d' chính là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ v
2
Lấy M là một điểm bất kì, gọi M’ = Đd(M) và M’’ = Đd(M’)
Gọi M0 =MM' và d M1 =M'M" d'
Suy ra M0 và M1 lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M”
Ta có MM'=2M M0 ' và M M' "=2M'M1
Suy ra MM"=MM'+M'M"=2M M0 '+2M'M1 =2(M M0 '+M'M1)
0 1
2M M 2AB v
Suy ra T (M)v =M"
Vậy phép tịnh tiến theo vector v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’
Bài tập 5 trang 35 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chữ nhật ABCD
Gọi O là tâm đối xứng của nó Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CD, DA Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được
từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B, tỉ
số 2
Lời giải:
Trang 10IJ là đường trung trực của AB và EF
Do đó:
IJ
IJ
IJ
E
Đ
Đ
Đ
=
=
= suy ra ĐIJ( AEO) = BFO
BC=2BF, BD=2BO
( B;2)
( B;2)
( B;2)
V (B) B
V (F) C
V (O) D
suy ra V( B;2)( BFO) = BCD
Vậy ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng đã cho là tam giác BCD
Bài tập 6 trang 35 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
cho đường tròn tâm I(1; −3), bán kính 2 Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số 3
và phép đối xứng qua trục Ox
Lời giải:
Gọi I’ là ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số 3 ta có:
Suy ra
'
I' I
I I
= = −
suy ra I’(3; -9)
Vậy của đường tròn (I; 2) qua phép vị tự tâm O tỉ số 3 biến thành đường tròn (I’; 6) với I’(3; -9)
Gọi I” là ảnh của I’ qua phép đối xứng trục Ox ta có:
Trang 11( ) I" '
' x
I " I
I O
9
"
Vậy đường tròn (I’; 6) qua phép đối xứng trục Ox biến thành đường tròn (I”; 6) với I”(3; 9), có phương trình (x - 3)2 + (y - 9)2 = 36
Bài tập 7 trang 35 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai điểm A, B và đường
tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định
Lời giải:
Vì MABN là hình bình hành nên MN=AB không đổi
Nên có thể xem N là ảnh của M qua phép tính tiến theo vectơ AB
Do đó khi M chạy trên đường tròn (O) thì N chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến vectơ AB
C Câu hỏi trắc nghiệm chương 1
Câu hỏi trắc nghiệm 1 trang 35 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các phép
biến hình sau, phép nào không phải phép dời hình?
(A) Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng
(B) Phép đồng nhất
(C) Phép vị tự tỉ số -1
(D) Phép đối xứng trục
Lời giải:
Các phép dời hình chỉ bao gồm: phép đồng nhất, phép tịnh tiến, phép đối xứng và phép quay
Trang 12Phép vị tự tỉ số -1 chính là phép đối xứng qua tâm vị tự
Trong các phép biến hình trên thì phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng
không bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, do đó nó không là phép dời hình
Chọn đáp án A
Câu hỏi trắc nghiệm 2 trang 35 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với
nó
(B) Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
(C) Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
(D) Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
Lời giải:
Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với
nó là sai
Ví dụ: Hai đường thẳng như hình vẽ dưới đối xứng nhau qua đường thẳng d nhưng không song song hoặc trùng nhau
Chọn đáp án B
Câu hỏi trắc nghiệm 3 trang 35 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng
Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x – y + 1 = 0 Để phép tịnh tiến theo vectơ v biến d thành chính nó thì v phải là vectơ nào trong các vectơ sau?
Trang 13(A) v=(2;1) (B) v=(2; 1)− (C) v=(1;2) (D) v= −( 1;2)
Lời giải:
Lấy điểm M bất kì thuộc d
Gọi N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v d
Vì ảnh của d là chính d nên N d
MN=k.u với u là vectơ chỉ phương của d
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n ( 2;1)= − suy ra u =(1;2)
Vậy v=(k;2k), k thì ảnh đường thẳng d tịnh tiến theo vectơ v là chính nó Trong bốn đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn (tương ứng với k = 1)
Chọn đáp án C
Câu hỏi trắc nghiệm 4 trang 36 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy, cho v=(2; 1)− và điểm M(-3; 2) Ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v là điểm có tọa độ nào trong các tọa độ sau?
(A) (5; 3) (B) (1; 1) (C) (-1; 1) (D) (1; -1)
Lời giải:
Giả sử M’(x; y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến v=(2; 1)− nên ta có:
x 2 ( 3) x 1
= − + =
Vậy M’(-1; 1)
Chọn đáp án C
Câu hỏi trắc nghiệm 5 trang 36 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 3x − 2y + 1 = 0 Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là:
(A) 3x + 2y + 1 = 0 (B) −3x + 2y + 1 = 0
(C) 3x+ 2y – 1 = 0 (D) 3x − 2y + 1 = 0
Lời giải:
Gọi M(x; y) thuộc d, khi đó 3x − 2y + 1 = 0
Trang 14Biểu thức tọa độ của điểm M’(x’; y’) là ảnh quả M(x; y) qua phép đối xứng trục
Ox là
'
x x
' =
= −
suy ra '
x x '
y y
=
= −
Vì M d 3x'−2( )−y' +1 0= 3x'+2y 1 0'+ =
Vậy d’ có phương trình là: 3x + 2y + 1 = 0
Cách khác:
Lấy A(1; 2) và B( 1; 1) d− −
Ảnh của A(1; 2) và B(-1; -1) qua phép đối xứng trục Ox là A’(1 ; -2) và B’(-1; 1) Suy ra ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox chính là đường thẳng A’B’
A’B’ đi qua A’(1 ; -2) và có vectơ chỉ phương A B' ' = −( 2;3) nên có 1 vectơ pháp tuyến là (3; 2)
Suy ra phương trình đường thẳng A’B’ là: 3(x – 1) + 2(y + 2) + 1 = 0 hay 3x + 2y + 1 = 0
Chọn đáp án A
Câu hỏi trắc nghiệm 6 trang 36 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 3x − 2y – 1 = 0 Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:
(A) 3x + 2y + 1 = 0 (B) −3x + 2y – 1 = 0
(C) 3x + 2y – 1 = 0 (D) 3x − 2y – 1 = 0
Lời giải:
Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng tâm O là
'
x ' x
= −
= −
Gọi M(x; y) d : 3x 2y 1 0 − − =
Suy ra: 3(–x’) – 2(–y’) + 1 = 0
Suy ra –3x’ + 2y’ – 1 = 0
Suy ra M' d'
Vậy d’ có phương trình là: −3x + 2y – 1 = 0
Chọn đáp án B
Trang 15Câu hỏi trắc nghiệm 7 trang 36 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó
(B) Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó
(C) Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó
(D) Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó
Lời giải:
Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó là phép tịnh tiến theo 0
Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó là phép quay góc 0o
Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó là phép vị tự với tỉ số vị tự k =1 Không có phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó do phép đối xứng trục chỉ biến mọi điểm nằm trên trục đối xứng thành chính nó
Chọn đáp án B
Câu hỏi trắc nghiệm 8 trang 36 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hình vuông có
mấy trục đối xứng?
Lời giải:
Hình vuông có 4 trục đối xứng, đó là các đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện và hai đường chéo
Chọn đáp án C
Câu hỏi trắc nghiệm 9 trang 36 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các hình
sau, hình nào có vô số tâm đối xứng?
(A) Hai đường thẳng cắt nhau;
(B) Đường elip;