PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Toancap2 com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 9 PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI Toán lớp 8 Thời gian làm[.]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
THỊ XÃ PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: Toán lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề
ĐỀ BÀI Câu 1 ( 3 điểm):
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P với các giá trị (x; y) thỏa mãn điều kiện:
Câu 2 ( 4 điểm):
1 Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
2 Tìm tất cả các số nguyên n sao cho:
n4+ 2n3 + 2n2+ n +7 là số chính phương
Câu 3 ( 6 điểm):
Cho hình vuông ABCD M là điểm bất kỳ trên đường chéo BD ( M khác
B và D) Hạ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AD
a) Chứng minh DE CF; EF = CM
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
Câu 4 ( 3 điểm):
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng :
(p2014 – 1)(p2014 +1) chia hết cho 48
Câu 5 ( 4 điểm):
a) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng :
b) Cho a,b,c,d là các số dương Chứng minh rằng :
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU
Môn: Toán lớp 8
Năm học: 2014-2015
Câu 1 ( 3 điểm):
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của biểu thức P với và
1 đ
Với x = 0 (loại)
Thay x = 1; y = ta được giá trị của P = 3;
Thay x = 1; y = ta được giá trị của
0, 5đ
0, 5đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ
Câu 2 ( 4 điểm):
1 Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
2 Tìm tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n sao cho : n4+ 2n3 + 2n2+ n +7
lµ sè chÝnh ph¬ng ( 1, 5 đ)
a)
Vì
Lần lượt thay vào PT ta tính được các giá trị của x Vậy PT có các cặp
nghiệm nguyên là:
Đặt (nhân 2 vế của PT với 4, thêm 49 vào 2 vế )
0,5 đ 0,25đ
0, 5đ 0,5 đ
Trang 3Từ PT (1) ta có PT:
từ đây tính được z; y và x Vậy PT có các cặp nghiệm nguyên là: 0, 5 đ
0,25 đ Giả sử n4+ 2n3 + 2n2+ n +7= y2 ( y N)
Ta có y 2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7
y2 > (n2+ n)2
y >
y +1 Vì ( y N)
y2
y2 (n2+ n +1)2
thay y 2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7
n2 + n -6 < 0
(n-2) (n+3) 0
-3 n 2
Thử trực tiếp n = 2, n =-3 thỏa mãn
Vậy số nguyên n cần tìm là n = 2;-3
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Câu 3 ( 6 điểm):
Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc với
AB và MF vuông góc với AD
a Chứng minh DE CF; EF = CM
b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
c Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
a)
DF = AE DFC = AED
ADE = DCF
EDC + DCF = EDC + ADE
EDC + ADE = 900 nên DE CF
0, 5 Ư
0, 5
0, 5
C D
M
E F
Trang 4MC = MA (BD là trung trực của AC)
MA = FE nên EF = CM
0, 5
b
MCF =FED MCF = FED
Từ MCF = FED chứng minh được CM EF
Tương tự a) được CE BF
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của FEC nên chúng đồng qui
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Đặt AD = a
do ME = FA ( cm)
MF = FD (cm)
ME + MF = FA + FD = AD là số không đổi
S = ME.MF (ME+MF)4/4
ME.MF lớn nhất khi ME = MF khi đó SAEMF = a2/4 =
Lúc đó M là trung điểm của BD
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Câu 4 ( 3 điểm):
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.CMR : (p2014 – 1)(p2014 +1) chia hết cho 48
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ suy ra p1007 lẻ
Đặt p1007=2k+1 với k N p2014 =4k(k+1) +1
vì k, k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên 4k(k+1) 8
p2014 =4k(k+1) +1 chia 8 dư 1 p2014 -1 chia hết cho 8 và p2014 + 1
chia hết cho 2 (p2014 – 1)(p2014 +1) 16 (1)
Vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 mà 3 nguyên tố nên
p2014 không chia hết cho 3
Nếu p2014 = 3k+1 p2014-1 =3k 3 (p2014 – 1)(p2014 +1) 3 (2)
Nếu p2014 = 3k +2 thì p2014+1 = 3k+3 3 (p2014 – 1)(p2014 +1) 3 (3)
mà (3,16) =1 kết hợp (1),(2),(3) ta có (p2014 – 1)(p2014 +1) 48
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ
Câu 5 ( 4 điểm):
a) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh
rằng :
b Cho a,b,c,d là các số dương Chứng minh rằng :
a) Chứng minh
Tương tự
1 đ
Trang 5
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ b) Ta có:
Xét:
=> đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
0,25 đ 0,5đ
0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt
chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 3, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.
Hết