Microsoft word EMPIRE

Microsoft Word EMPIRE LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC 1 1 Định nghĩa  Hàm số  F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số  f x nếu    F x f x  [.]

G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x  trên K

2) Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K thì mọi nguyên hàm của f x  trên

(1 tan ) tancos x dx  x dx x C

a



1sin(ax b dx) cos(ax b) C

dx

ax b C a

dx

ax b C a

Ghi nhớ: Nguyên hàm còn được gọi là tích phân bất định (tích phân không xác định)

Ví dụ 1.2.4. Tính tích phân bất định: I sinxdx cosx C

Chúng ta cũng có thể tính ngay được nguyên hàm của một tổng mà không cần phải tách nhỏ

một cách tỉ mỉ ra thành các nguyên hàm cơ bản như ở trên:

       

f x g x dx F x G x C

Ví dụ minh họa

        LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE  

- “Không được phép tính:

2.cos sin

0)

khix x

x

khix e x F

2

0)

(

khix x

khix e x

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R

Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ?

a   n 1 cos sin tan cot x x ln log

2

2tan cos

’

sintan tan 2cos tan

2

0)

('

khix x

khix e x F

x

1lim

0

)0()(lim

0

)0()(lim

0

0 2

0 0

F x F F

x

e x

x x

F x F F

x x x

x x

)(01

2

0)

(

khix x

khix e x

x adx x x  a a x x a C



Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số từ đó suy ra nguyên hàm: I =

Bài 2: Cho hàm số f x x 3 Xác định a, b, c để x F x ax2 bx c  3 x

là nguyên hàm của f(x)

Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của: biếtF 0 0

Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f x   sinx1 sin x biết rằng 1

Bài 8: Cho g(x) là một hàm số tuỳ ý Cmr hàm số là nguyên hàm của hàm

số: Áp dụng tính các nguyên hàm của các hàm số sau

Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số g x  x2lnx từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số:

( )ln

x x

Áp dụng: tính

3 2

dx I

11

7 cosudusinu C 8.tanuduln cosu C 9

cotudu ln cosu C

        LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE  

58.ucosuducosu u sinu C 59.u nsinudu u ncosu n u  n 1cosudu C

60.u ncosudu u nsinu n u  n 1sinudu

.sin coscos

Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau:

a b c ysin cos 33x xcos sin 33x x

d yloga xlnx e siny mx.cosnx(m, n là hằng số)

Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau:

- Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm trên đoạn đó ta có

 Vi phân của kí hiệu : hoặc

Dạng toán 3: Đưa về dấu vi phân 

Ví dụ minh họa

        LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE   Giải

x

d e e

x y

22 ytan4x 23 ytan5x 24 ycot3x

25 ytan2x cot2x 26 y x e x2 1 27 sin4

Bài 2: Thôi nhìn bài 1 là không muốn làm bài 2 rồi =))

Bài 3: Khiếp! bài 2 còn không có thì các em mơ ước gì ở bài 3

5 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của hàm lượng giác

Với mục đích biến đổi tích thành tổng (với hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích)

n i

)()

()

Phương pháp

Thực chất là việc sử dụng đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân

thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm có thể tính được dựa vào bảng nguyên hàm cơ

bản.

Dạng toán 4:  Pp phân tích  

x dx B

1

x dx B

d e e

3 2

hoặc phân tích 1 sin 2 xcos2x thì I tan cotx x C

c Isin 5 cos 3x xdx Đs: 1 1cos8 cos 2

I e

x





phân tích: 1 1 2 1  1 2 

Bài 6: Tìm các nguyên hàm sau:

a I tan2xdx b I2sin 3 cos 2x xdx c I  2a x 3xdx

e.Đs: I  cot – tan x x  C f.Đs: I 2e xtanx C

Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau:

Bài 9: Tính các nguyên hàm sau

Bài 10: Tính các tích phân sau:

        LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE  NGUYÊN HÀM – HÀM ẨN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tên gọi nguyên hàm – hàm ẩn để nói chung các dạng bài không biết công thức của f x( ) cụ thể Các bài toán cho ở dạng tổng quát, hàm hợp, biểu thức của f x( ) , yêu cầu đi tìm nguyên hàm hoặc các dạng toán liên quan đến nguyên hàm của hàm f x( )

Bước 3: Tìm C và suy ra kết luận bài toán

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1{ } thỏa mãn ( ) 1

3 2

A 4 ln15+ B 3 ln15+ C 2 ln15+ D ln15

Lời giải

1 ln 3 1

3 ln 5 1

f f

f = Giá trị của biểu thức ( 1)f - + f(3) bằng

2( )

1ln(1 2 ) 1

3 1

2 1

dx

x dx

        LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE  

Vì f x¢( ) (+ 2x+4) ( )f2 x =0 và f x >( ) 0, với mọi x Î(0;+¥) nên ta có

( ) ( )

Từ f x =( ) 3 f7( )x =2187 42x2+91x+ =2 218742x2+91x-2185=0 *( )

Phương trình ( )* có 2 nghiệm trái dầu do ac <0

Ví dụ 6: Cho hàm số f x( ) liên tục, không âm trên đoạn 0;

2

d sin1

t = - loại

Suy ra ( ) ( )

1;12

1 21min

π π

π max f x f

Câu 2: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1

Ⓐ 4 ln15+ Ⓑ 3 ln15+ Ⓒ 2 ln15+ Ⓓ ln15

Lời giải

Câu 3: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1

Ⓐ 4 ln 5+ Ⓑ 2 ln15+ Ⓒ 3 ln15+ Ⓓ ln15

Lời giải

        LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE  

Câu 4: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1

fæ ö÷çç ÷çè ø÷= Giá trị của biểu thức f( )- +1 f( )3 bằng

Ⓐ 3 5ln 2+ Ⓑ - +2 5ln 2. Ⓒ 4 5ln 2+ Ⓓ 2 5ln 2+

Lời giải

Câu 5: Cho hàm số f x( ) xác định trên \{-2; 2} và thỏa mãn ( ) 24 ; ( )3 0

Câu 6: Cho hàm số f x( ) xác định trên \{-2;1} thỏa mãn ( ) 2 1

Câu 7: Cho hàm số f x( ) xác định trên \{-1;1} và thỏa mãn ( ) 21

Câu 8: Cho hàm số f x( ) xác định trên \{ }1 thỏa mãn ( ) 21

Câu 9: Cho hàm số f x( ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên (0;+¥) thỏa mãn

Câu 10: Cho hàm số f x( ) xác định và liên tục trên  Biết f6( ) ( )x f x ¢ =12x+13 và

Câu 12: Cho hàm số f x( ) liên tục, không âm trên đoạn 0;

Câu 13: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f x >( ) 0, x" Î  Biết

Câu 15: Cho hàm số f x ¹( ) 0 thỏa mãn điều kiện f x'( ) (= 2x+3 ) f2( )x và ( )0 1

Câu 16: Cho hàm số y= f x( ), " ³x 0, thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( )

Ⓐ ( )2;3 Ⓑ (7;9). Ⓒ ( )0;1 Ⓓ (9;12)

Lời giải

Câu 18: Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; + ¥) và thỏa mãn

Câu 19: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )2 ( ) ( ) 4

Câu 20: Cho hàm số f x( ) liên tục trên  và thỏa mãn ( 1) 2( 1 3)

d

51

x x

++

+++ . Ⓑ 2

34

x

C x

+++ Ⓒ

+++ . Ⓓ

Câu 21: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 0{ }, thỏa mãn f x( ) 3 1 5

Câu 22: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 0{ } và thỏa mãn f x( ) 2 1 4

Câu 23: Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều

        LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE  

Câu 24: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị ( )C , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng

thời các điều kiện f x( )>0 " Î x , ( ) ( ( ) )2

f x¢ = x f x " Î  và x f( )0 =2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =1 của đồ thị ( )C là.

Câu 25: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn

Câu 26: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]0;1 đồng thời thỏa mãn

( )0 9

9f¢¢ x +éëf x¢ -xùû =9 Tính T= f( )1 -f( )0 Ⓐ T = +2 9ln 2. Ⓑ T =9. Ⓒ 1 9 ln 2

2

T = + Ⓓ T = -2 9 ln 2

Lời giải

Câu 27: Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn f x f x'( ) ( ) =x4+x2 Biết f( )0 =2 Tính f2( )2

.

Ⓐ 2( ) 313

215

215

f = Ⓒ 2( ) 324

215

f = Ⓓ 2( ) 323

215

Lời giải

Câu 28: Cho ( )f x xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [ ]1; 4 thỏa mãn

Câu 29: Cho hàm số y= f x( ) có f x¢( ) liên tục trên nửa khoảng [0;+¥) thỏa mãn

Câu 30: Cho hàm số f liên tục, f x > -( ) 1, f( )0 =0 và thỏa f x¢( ) x2+ =1 2x f x( )+1

Tính f( )3

Ⓐ 0. Ⓑ 3. Ⓒ 7. Ⓓ 9

Lời giải

Câu 31: Cho hàm số f x ¹( ) 0 thỏa mãn điều kiện f x¢( ) (= 2x+3) ( )f2 x và ( )0 1

Câu 32: Biết luôn có hai số a và b để ( )

Câu 33: Cho hàm so y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên [ ]1; 2 thỏa mãn f( )1 =4 và

Ⓐ 2x+9y-2ln 2 3 0- = Ⓑ 2x-9y-2ln 2 3 0+ =

Ⓒ 2x-9y+2ln 2 3 0- = Ⓓ 2x+9y+2ln 2 3 0- =

Lời giải

Câu 36: Cho ( )f x không âm thỏa mãn điều kiện f x f x( ) '( )=2x f x2( ) 1+ và (0) 0f =

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= f x( )trên [ ]1;3 là

Ⓐ 22 Ⓑ 4 11+ 3 Ⓒ 20+ 2 Ⓓ 3 11+ 3

Lời giải

Câu 37: Cho hàm số y= f x( ) Có đạo hàm liên tục trên  Biết f( )1 =e và

(x+2) ( )f x =xf x¢( )-x3, x" Î  Tính f( )2

Ⓐ 4e2-4e 4+ Ⓑ 4e2-2e 1+ Ⓒ 2e3-2e 2+ Ⓓ 4e2+4e 4-

Lời giải

Câu 38: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn [ ]0;1 đồng thời thỏa

mãn các điều kiện f ¢( )0 = -1 và ( )2 ( )

é ¢ ù = ¢¢

ë û Đặt T= f( )1 -f( )0 , hãy chọn khẳng định đúng?

Ⓐ - £ < -2 T 1. Ⓑ - £ <1 T 0. Ⓒ 0£ <T 1. Ⓓ 1£ <T 2

Lời giải

Mệnh đề nào sau đây đúng?

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1{ } thỏa mãn ( ) 1

3 2

A 4 ln15+ B 3 ln15+ C 2 ln15+ D ln15

Lời giải Chọn C

1 ln 3 1

3 ln 5 1

f f

A 4 ln 5+ B 2 ln15+ C 3 ln15+ D ln15

Lời giải Chọn C

2( )

1ln(1 2 ) 1

3 1

2 1

dx

x dx

( )

1

ln 3 1 1 khi x ;

31

22

2

x

C khi x x

x

C khi x x

x

C khi x x

Ta có

( ) ( ) ( )

3 0

0 1

2 2

f f f

ì - =ïï

ïï =íï

ïï =ïî

1 2 3

ìïï

ïïïï

íïïï + =

ïïïî

1 2 3

ln 51

2 ln 5

C C C

ì = ïïïï

-íïïï = +=ïî

22

ln 2 ln 5 2;

2

x

khi x x

x

khi x x

x

khi x x

-ïï +ïï

x x

f x

C khi x x

f x

x

khi x x

x

x

ìïïïïï

= íïïïïï

+ <- >

-++î

x x

x

x x

ìïïïïï

= íïïïïï -î

-<- >

++ - < <

Vì f x¢( ) (+ 2x+4) ( )f2 x =0 và f x >( ) 0, với mọi x Î(0;+¥) nên ta có

( ) ( )

Câu 10: Cho hàm số f x( ) xác định và liên tục trên  Biết f6( ) ( )x f x ¢ =12x+13 và f( )0 =2

Khi đó phương trình f x =( ) 3 có bao nhiêu nghiệm?

A 2. B 3. C 7. D 1

Lời giải Chọn A

Từ f x =( ) 3 f7( )x =2187 42x2+91x+ =2 218742x2+91x-2185=0 *( )

Phương trình ( )* có 2 nghiệm trái dầu do ac <0

Câu 11: Cho hàm số f x( ) xác định trên  thỏa mãn f x¢( )= ex+e-x-2, f( )0 =5 và

-

ïï

= íïï

ïï

= íïï

Từ giả thiết f x f x( ) ( ) ¢ =cos 1x +f2( )x

( ) ( ) ( )

2

d sin1

t = - loại

Suy ra ( ) ( )

1

;1 2

1 21min

π π

π max f xé ù f

Vậy để phương trình f x( )=m có 2 nghiệm phân biệt khi 0< < =m e1 e

Câu 14: Cho hàm số f x( ) liên tục trên  và f x ¹( ) 0 với mọi x Î  f x¢( ) (= 2x+1) ( )f2 x

A a 1

b< - B a 1

b> C a b+ =1010. D b a- =3029

Lời giải Chọn D

ì = ïï

f

C f

đó hiệu T= f( )2 2 -2 1f( ) thuộc khoảng

A ( )2;3 B (7;9). C ( )0;1 D (9;12)

Lời giải Chọn C

Ta có ( )

( )d

f x x

2 2

Câu 18: Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; + ¥) và thỏa mãn

( )1 1

f = , f x( )= ¢f x( ) 3x+1, với mọi x >0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 4< f( )5 <5. B 2< f( )5 <3 C 3< f( )5 <4. D 1< f( )5 <2

Lời giải Chọn C

3 1 d 3 13

1 3

f f

x x

++

+++ . B 2

34

x

C x

++

+++ . D ( 2 )

x

C x

++

Lời giải Chọn D

Theo đề ra ta có:

A y=6x+30. B y= -6x+30. C y=36x-30. D

36 42

y= - x+

Lời giải Chọn C

( )

( )

2 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là y=36x-30

Câu 25: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn

( ) 0,

f x > " Î x và f x'( )+2f x( )=0 Biết f( )1 =1, tính f -( )1

A f( )- =1 e- 2. B f( )- =1 e3. C f( )- =1 e4. D f - =( )1 3

Lời giải Chọn C

Biến đổi:

( )

( ) ( )

( )

1 1

1 19

9ln 1

2

x x

215

215

215

Lời giải Chọn B

( ) ( )

f

tdt I

x x

( )2

44

Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau:

+ Vì 4a b- ¹0 nên loại được ngay phương án A: a =1, b =4 và phương án D:

( )2

44

f x

x

=+ , ( )

( )3

84

f x

x

¢ =

-+ Thay vào 2f2( )x =(F x( )-1)f x¢( ) thấy đúng nên

A 2x+9y-2ln 2 3 0- = B 2x-9y-2ln 2 3 0+ =

C 2x-9y+2ln 2 3 0- = D 2x+9y+2ln 2 3 0- =

Lời giải Chọn A

æ ö÷

ç

= - ç ÷çè ø÷ = - 92Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 2( ln 2) 1

2x 9y 2ln 2 3 0

Câu 36: Cho ( )f x không âm thỏa mãn điều kiện f x f x( ) '( )=2x f x2( ) 1+ và (0) 0f = Tổng

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= f x( )trên [ ]1;3là

A 22 B 4 11+ 3 C 20+ 2 D 3 11+ 3

Lời giải Chọn D

min ( ) 3( ) 3 11

f x Max f x

ïïï

 íï

=ïïïî

Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn 2

2

( ) '( )

( ) 1( ) 1

A 4e2-4e 4+ B 4e2-2e 1+ C 2e3-2e 2+ D 4e2+4e 4-

Lời giải Chọn D

A - £ < - 2 T 1 B - £ < 1 T 0 C 0£ < T 1 D 1£ < T 2

Lời giải Chọn A

Mệnh đề nào sau đây đúng?

        LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE  

Lời giải Chọn D

Ta có ( )

( )

2

12

f = - Khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình f x =( ) 0 có 1 nghiệm trên ( )0;1

B Phương trình f x =( ) 0 có đúng 3 nghiệm trên (0;+¥).

C Phương trình f x =( ) 0 có 1 nghiệm trên ( )1; 2

C Phương trình f x =( ) 0 có 1 nghiệm trên ( )2;5

Lời giải Chọn C

( ) 4

2

22

Kết hợp giả thiết ta có y= f x( ) liên tục trên [ ]1; 2 và f( ) ( )2 1f <0 ( )2

Từ ( )1 và ( )2 suy ra phương trình f x =( ) 0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng

NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 

Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng

ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:

‐ Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng

‐ Tích phân vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I

‐ Thứ tự chọn u ‐“ Nhất log – Nhì đa – Tam Lượng – Tứ Mũ”

n ax

* Thay ( )2 vào ( )1 , ta được: I=x e2 x-2(xe x- +e x C)=x e2 x-2xe x+2e x-2C

Cũng có thể thay hằng số -2C ở trên bằng hằng số C ( vì đơn giản đó chỉ là kí hiệu 1 hằng số)

* Suy ra có thể viết: I=x e2 x-2xe x+2e x+C

Ghi nhớ: Việc tính tích phân từng phần đặt u = đa thức P x( ) thực chất là làm cho bậc của

đa thức giảm dần về 0, để khi đó còn duy nhất hàm mũ ( hoặc lượng giác) có mặt trong tích phân Số bậc của đa thức là số lần thực hiện tính tích phân từng phần, vì mỗi lần từng phần chie làm mất đi 1 bậc của đa thức

Cách 2: Sơ đồ chéo

Ta có sơ đồ

1d

Vậy suy ra: 1( )2 2 2 1 2

2 1 cos 3 sin 3 cos 3

ò ; ta đặt t=sinxdt=cos dx x Suy ra: cos d d ln ln sin

x

sin

x x x I

Lời giải Cách 1:

x

Lời giải

d2

Đặt 3

dduln

Đặt ( )2

2

2ln ddu

+) Đặt

2

dduln

d2

2

2

dx x

x x x

1ln(

2

x

x x

1

1ln

2

2 2

2 2

2

x v

x

dx dx

x x x

x du

dx x

x dv

x x u

Khi đó:

- Tính e axsinbxdx Đặt u e ax sau khi tính tích phân từng phần ta lại có tích phân e axcosbxdx

Ta lại áp dụng tích phân từng phần với u như trên

- Từ hai lần tích phân từng phần ta có mối quan hệ giữa hai tích phân này

Suy ra: I e xsinxe xsinxdx e xsinx J  1

Với tích phân J e xsinxdx, ta lại sử dụng công thức từng phần:

Suy ra J  e xcosx   cos x e dx x  e xcosxe xcosxdx e xcosx I  2

Thay  2 vào  1 ta được:

Xét hai nguyên hàm Ie xcosxdx và J e xsinxdx

Suy ra I J e xsinxcosx dx

Suy ra I J e  xsinxcosxe xcosxsinx dx e  xsinxcosx  I J

Suy ra (sin cos )

        LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE  

1

1sin(ln ) cos(ln ) sin(ln ) cos(ln ) sin(ln )

Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:

1 Ie xsin 2xdx 2 Ie3xcosxdx

3 Ie xsinxcos 3x dx 4 I e2xsin 2xcosx dx

Lời giải

BÀI TẬP RÈN LUYỆN