http:toancapba net

http //toancapba net MỤC LỤCMỤC LỤC NỘI DUNG TRANG I PHẦN MỞ ĐẦU 1/Lý do chọn đề tài 2/Mục tiêu nghiên cứu 3/Nhiệm vụ nghiên cứu 4/Các phương pháp nghiên cứu II PHẦN NỘI DUNG 1/Lịch sử của vấn đề nghi[.]

MỤC LỤC

I.PHẦN MỞ ĐẦU:

1/Lý do chọn đề tài:

2/Mục tiêu nghiên cứu:

3/Nhiệm vụ nghiên cứu:

4/Các phương pháp nghiên cứu:

II.PHẦN NỘI DUNG:

1/Lịch sử của vấn đề nghiên cứu:

2/Cơ sở lý luận của đề tài:

3/Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

4/Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu:

A/NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

A.1)Ý tưởng giải phương trình hàm, bất phương trình hàm

A.2)Một số đặc trưng cơ bản của hàm số A.3)Bất phương trình hàm

A.4)Phương trình hàm liên quan đến tam giác

A.5)Bất phương trình hàm liên quan đến tam giác

A.6)Các đề thi học sinh giỏi

A.7)Một số kỹ thuật giải phương trình hàm

B/KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:

III.PHẦN KẾT LUẬN:

1/Kết luận:

2/Tài liệu tham khảo:

22222333344444481217203443434344

I.PHẦN MỞ ĐẦU:

1/Lý do chọn đề tài:

rong những năm gần đây, bộ môn Toán của Tỉnh Tiền Giang của chúng ta đã

có những tiến bộ rõ rệt và thành tích trong những kỳ thi Học sinh Giỏi cấpQuốc gia ngày càng tốt hơn Có được những thành tích đó là nhờ sự chỉ đạochuyên môn của SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG, sự nổ lực của QuýThầy Cô và sự cố gắng của các em học sinh Qua quá trình nghiên cứu, theo dõi các

đề thi Học sinh Giỏi và những lần chấm thi, tôi thấy rằng đa số các em học sinh còn

“chưa thạo” trong việc giải các bài toán về Phương trình hàm một cách có “bài bản”

Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống lại một công cụ để nghiên cứu, giảitoán thi Học sinh Giỏi những phần có liên quan đến hàm số, những đẳng thức, bấtđẳng thức, tạo sự thích thú cho các em học sinh; giúp các em “không còn ngán ngại”

khi gặp các bài toán về hàm số Tôi xin được phép trình bày chuyên đề “ PHƯƠNG

TRÌNH HÀM ”

T

2/Mục tiêu nghiên cứu:

Nhằm hệ thống kiến thức về phương trình hàm, trình bày các kết quả qua quátrình nghiên cứu phương trình hàm và bất phương trinh hàm Giúp các em học sinh cókiến thức tốt về Phương trình hàm và một phần của Bất phương trình hàm, mở ra một

số hướng cho các em học sinh suy nghĩ và sáng tạo những bài toán mới

3/Nhiệm vụ nghiên cứu:

Trước hết là thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy Toán làm cho học sinhsáng tạo tìm những kết quả mới, lời giải hay trên một “loại toán khó”, giúp bản thânnắm vững hơn nữa về Phương trình hàm, đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm ởQuý Thầy Cô ở Tổ Toán

4/Các phương pháp nghiên cứu:

*Phương pháp suy luận, tổng hợp: kết hợp bài giảng của GS-TSKH NGUYỄN VĂN MẬU với các đề thi Học sinh Giỏi rút ra những kinh nghiệm, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng mới.

*Phương pháp trò chuyện – phỏng vấn: trao đổi tâm tình với nhiều học sinh khá giỏi để nắm tình hình sử dụng các kiến thức về Phương trình hàm.

*Phương pháp khảo sát: bản thân được tham dự các kỳ chấm thi Học sinh Giỏi nên có nắm được tình hình sử dụng các phương pháp làm bài của các em học sinh

*Phương pháp phân tích lý luận: phân tích giúp học sinh nắm thật rõ bản chất vấn đề, lựa chọn được phương pháp giải cho phù hợp.

II.PHẦN NỘI DUNG

1/Lịch sử của vấn đề nghiên cứu:

Hè những năm 2003, 2004, 2005, 2006 bản thân tôi được tham dự lớp “BỒIDƯỠNG CHUYÊN TOÁN THPT” tại Trường ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HÀ NỘI” Trong khóa học tôi nhận thấy kiến thức về Toán của mình được nâng lên

rõ rệt “BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ BẤT

PHƯƠNG TRÌNH HÀM ” (của GS-TS NGUYỄN VĂN MẬU) là một trong các bài

giảng mà tôi tâm đắc Được sự động viên khuyến khích của Thầy TRƯƠNG THÀNHPHÚ – Sở Giáo Dục & Đào Tạo Tiền Giang; tôi mạnh dạn chọn đề tài này để nghiêncứu và trình bày

2/Cơ sở lý luận của đề tài:

Kết hợp bài giảng và các tài liệu tham khảo để phân tích, tổng hợp, hệ thống

3/Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

Đa số học sinh rất ngại khi sử dụng phương pháp này, rất lúng túng trong quátrình phân tích để tìm ra bản chất và vận dụng kiến thức về phương trình hàm mộtcách thích hợp

4/Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu:

A/NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

A.1)Ý tưởng giải phương trình hàm, bất phương trình hàm:

Phương trình hàm và bất phương trình hàm là một trong những chuyên

đề giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán Nghiên cứu phươngtrình hàm là một việc làm thiết thực, góp phần làm phong phú thêm kiếnthức toán Đặc biệt với “tư tưởng” của Thầy Nguyễn Văn Mậu, nghiêncứu phương trình hàm còn giúp chúng ta giải quyết được những hàm

“tựa” như: “tựa lồi”, “tựa lõm”, ; các đặc trưng hàm cơ bản của một

số hàm số sinh bởi các phép biến hình sơ cấp, “sáng tác” các kết quảmới trong tam giác, các “kỹ thuật” giải phương trinh hàm, mối quan hệgiữa phương trình hàm và bất phương trình hàm,…

A.2)Một số đặc trưng cơ bản của hàm số:

A.1.1/Đặc trưng của một số hàm sơ cấp:

Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một sồ hàm số sơ cấp thườnggặp trong chương trình phổ thông Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta cóthể dự đoán kết quả của các phương trình hàm tương ứng cũng như cóthể đề xuất những dạng bài tập tương ứng với các đặc trưng hàm đó

Các hàm số được xét trong phần này thoả mãn điều kiện liên tục trêntoàn miền xác định của hàm số Nếu hàm số thoả mãn các đặc trưng hàm

đã cho mà không có tính liên tục hoặc được xác định trên các tập rời rạcthì nghiệm của phương trình hàm có thể là một biểu thức hoàn toàn khác

Đặc trưng hàm:

Đặc trưng hàm:

A.1.2/Hàm số chuyển đổi phép tính số học và đại số:

Trong phần này, ta khảo sát một số tính chất cơ bản của một số dạng hàm

số thông qua các hệ thức hàm đơn giản và các hàm bảo toàn và chuyểnđổi các tính chất cơ bản của phép tính đại số như giao hoán, phân phối,kết hợp

Bài toán 1: Xác định các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả:

Bài toán 2: Cho hàm số F(u,v) (u, v là số thực) Giả sử phương trình hàm: f(x+y)=F[f(x),f(y)] (x, y là số thực) (1) có nghiệm f(x) xác định

và liên tục trên R Chứng minh rằng F(u,v) là hàm đối xứng (F(u,v)=F(v,u)) và có tính kết hợp (F[F(u,v),w]=F[u,F(v,w)])(2)

 Lời giải: u,v,w D-1f(tập giá trị của hàm số f)F(u,v)=F[f(x),f(y)]=f(x+y)=f(y+x)=F[f(y),f(x)]=F(v,u)F[F(u,v),w]=f[(x+y)+z]=f[x+(y+z)]=F[f(x),f(y+z)]=F[u,F(v,w)]

Bài toán 3: Giả sử phương trình hàm f(x+y)=F[f(x),f(y)], x,y R;

với F(u,v)( u,v,w D-1f) là một đa thức khác hằng, có nghiệm làf(x) xác định và liên tục trên R Chứng minh F(u,v) có dạngF(u,v)=auv+bu+bv+c

 Lời giải: Giả sử F(u.v) là đa thức bậc n theo u và bậc m theo v.

Khi đó, do F(u,v) đối xứng nên m=n Từ bài toán 2, ta có F[F(u,v),w]=F[u,F(v,w)], vế trái là đa thức bậc n theo w và vế phái là đa thức bậc n2 theo w Suy ra n2=n, hay n=1 Vậy F(u,v)=auv+b1u+b2v+c Mà F(u,v) đối xứng nên b1=b2 và F(u,v)=auv+bu+bv+c Theo bài toán 2, ta có ac=b2-b.

Bài toán 4: Cho đa thức F(u,v)=bu+bv+c (b 0) Xác định các hàm số

f(x) xác định và liên tục trên R thoả f(x+y)=F[f(x),f(y)] (x, y là số thực)(Tức là f(x+y)=bf(x)+bf(y)+c (4))

 Lời giải:

Nếu b 1 thì từ (4) với y=0, ta có f(x)=constKhi b= và c=0 thì mọi hàm hằng đều thoả (4)Khi b= và c 0 thì (4) vô nghiệm

Khi b 1 và b thì nghiệm của (4) là f(x)=

Nếu b=1 thì (4) có dạng là f(x+y)=f(x)+f(y)+c và phương trình hàmnày có nghiệm f(x)=ax+c

Bài toán 5: Cho đa thức ( 0, c= ) Xácđịnh các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả

 Lời giải: Lần lượt đặt:

và thế vào (5), ta thu được các đẳng thức:

Suy ra:

VàVậy:

Bài toán 7: Giả sử hàm số liên tục trên R là nghiệm của phương

là +T/h: Khi đó (8) trở thành:

.Đặt: Vậy (8”) có dạng:

Do đó (8’”) chỉ có nghiệm hằng tuỳ ý (Xem (7)), vì vậy (8) có nghiệm

+T/h: Theo bài toán 6 thì nghiệm của (8) có dạng

Từ (7’) suy ra Nếu cho tuỳ ý thì

Bài toán 9: Xác định các hàm số liên tục trên R là nghiệm của

 Lời giải:

+Đặt thế vào (9) ta có:

+Đặt Từ (9’), ta có:

Suy ra Vậy (9) có nghiệm Thử lại thấy (9) thoả

Bài toán 10: Xác định các hàm số liên tục trên R là nghiệm của

A.3)Bất phương trình hàm cơ bản.

Bài toán 1: Xác định các hàm số liên tục trên R thoả đồng thờicác điều kiện sau:

 Lời giải:

Thay , ta có

Bài toán 2: Cho trước hàm số Xác định các hàm số liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau:

 Lời giải:

Bài toán 4: Xác định các hàm số liên tục trên R thoả đồng thờicác điều kiện sau:

thoả điều kiện bài toán

Bài toán 5: Xác định các hàm số liên tục trên R thoả điều kiện

(kết hợp với (5”) Thử lại thấy thoả điều kiện

Bài toán 6: Xác định các hàm số liên tục trên R+ thoả điều kiện

 Nhận xét: Điều khẳng định trên cho ta một kết luận tương ứng sau:

Nếu có một bất đẳng thức cổ điển cho cặp số ; chẳng hạn như

ta có ngay hàm cần tìm là

Từ đây ta có thể “sáng tác” ra những bài toán tương tự

Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu:

Sử dụng định lý Lagrange, ta có:

0 ) 4 (x2  

Bài toán 9: Cho các số dương Tìm các hàm số thoả mãn điều kiện

Bài toán 10: Chứng minh: (9)

 Lời giải:

A.4)Phương trình hàm liên quan đến tam giác.

Phép tịnh tiến sinh ra hàm tuần hoàn cộng tính, phép đồng dạng sinh rahàm tuần hoàn nhân tính, phép phản xạ sinh ra hàm số chẵn, lẻ

Tính chất 1: Điều kiện cần và đủ để 3 số dương A, B, C là 3 góc của một tam giác là A+B+C=

Tính chất 2: Điều kiện cần và đủ để 3 số dương a, b, c là 3 cạnh của một tam giác là a+b>c, b+c>a, c+a>b (hay /b-c/<a<b+c)

Ngược lại, với thì

là độ dài các cạnh của một tam giác Vậy với thìhàm số có tính chất là độ dài các cạnh củamột tam giác ứng với mọi tam giác ABC

là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tamgiác ABC

Từ (3), ta có (Vì nếu , tuỳ ý thì ta chọn tam giác ABC

có đủ lớn thì )Tương tự (Vì nếu chọn tam giác ABC có đủ nhỏ thì

)Trường hợp không thoả

Giả sử Phép nghịch đảo không có tính chất

là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tamgiác ABC.( Phản ví dụ ; ta có )

Để là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết

Suy ra Suy ra (bài toán 3)+Trường hợp : không thoả

Suy ra , điều này không xảy ra với đủ lớn

các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC

Bài toán 5: Xác định hàm số liên tục trong [0; ], và cóđạo hàm trong (0; ) sao cho tạo thành số đo các góccủa một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước

 Lời giải:

Ta cần xác định hàm khả vi sao cho:

và Suy ra

Hay Lấy đạo hàm theo biến

Kết luận: hàm số liên tục trong [0; ], và có đạohàm trong (0; ) sao cho tạo thành số đo các góccủa một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước

Bài toán 6: Xác định hàm số liên tục trong [0; ],

sao cho tạo thành số đocác góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước

Bài toán 7: Xác định hàm số liên tục trong [0; ], sao cho

tạo thành số đo các góc của một tam giác ứng với mọitam giác ABC cho trước

 Lời giải:

*Ta thấy có hai hàm số hiển nhiên thoả điều kiện là

*Ta xác định các hàm số liên tục trong [0; ] và

(7)

vào (7) và sử dụng (7’), ta có:

Hay (7”) là phương trìnhhàm Cauchy và Ta cần xác định để

Kiểm tra các trường hợp:

+ : (7’”) thoả+ : (7’”) thoả + : (7’”) thoả Vậy các hàm cần tìm có dạng:

Bài toán 8: Xác định hàm số liên tục trong [0; ], sao cho:

tạo thành số đo các cạnh của một tam giác nội tiếp trongđường tròn đường kính bằng 1 ứng với mọi tam giác ABC cho trước

 Lời giải:

Ta có nhận xét sau: Xét đường tròn (O) có đường kính 2R=1

là tập hợp tất cả các tam giác nội tiếp trong đường tròn (O) nói trên

Khi đó điêu kiện cần và đủ để ba số dương là ba góc của mộttam giác thuộc là tạo thành độ dài các cạnh

) Theo bài toán 7

*Nhận xét: nghiệm của phương trình vô định có thể mô tả

Bài toán 9: Chứng minh đều tồn tại một tamgiác mà độ dài các cạnh là những số

đều là các tam giác vuông

đó gọi là góc lớn nhất,

A.5)Bất phương trình hàm liên quan đến tam giác.

Một số hàm số không phải là hàm lồi nhưng có tính chất của hàm lồiđược gọi là hàm “tựa lồi”, hàm số không phải là hàm lõm nhưng có tínhchất của hàm lõm được gọi là hàm “tựa lõm” , (theo Thầy Nguyễn VănMậu)

Bài toán 1: Trong tam giác ABC, nếu A<B thì sinA<sinB (Chứng minh đơn giản: tương ứng với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

 Nhận xét:

Hàm số không đồng biến trong nhưng ta cũng có

hệ thức kiểu “đồng biến” cho cặp góc của một tam giác

Bài toán 2: Trong tam giác ABC, ta có

 Nhận xét:

Hàm số không là hàm lõm trong nhưng ta vẫn

có hệ thức kiểu hàm lõm cho cặp góc của một tam giác

Bài toán 3: Trong tam giác ABC, ta có:

3.1)3.2)3.3)3.4)

 Nhận xét:

Từ kết quả 3.2) ta nhận thấy rằng tính chất của hàm lõm không cònđược sử dụng như một công cụ cơ bản để kiểm chứng tính đúng đắncủa bất đẳng thức Vậy vấn đề đặt ra là: Về tổng thể, ta có thể mô tảđược hay không lớp các hàm tổng quát thoả mãn điều kiện

với mọi tam giác ABC?

Bài toán 1: Cho hàm số Chứng minh các điều kiện(1.1) và (1.2) sau đây là tương đương:

 Lời giải:

+Giả sử: , ta có

Từ (1.1) và (1.3), ta có:

Suy ra (1.2)+Từ (1.2), giả sử , đặt ta được (1.1)

Bài toán 2: Xác định hàm số thoả mãn điều kiện:

với B tù, ta có thì

Bài toán 3: Xét hàm số Chứng minh với mọi

tam giác ABC ta đều có

 Lời giải:

+Tam giác ABC nhọn (hay vuông) thì (3) có dạng quen thuộc

+Tam giác ABC tù: thì (3) có dạng

Lời giải: Ta có 19=10+9

Suy ra

Bài toán 2: (Dự tuyển IMO) Cho hàm số

Tìm các số

Lời giải: Cho

Bài toán 3: Cho hàm số xác định trên tập các số nguyên thoả:

Tính

Lời giải:

Ta có + Suy ra:

Bài toán 4: Cho hàm số xác định trên tập N* thoả:

Tính

Lời giải:

Vậy hàm số cộng tính trên R

Vậy: Kết luận

Bài toán 8: Cho hai hàm số thoả

Lời giải:

Lấy Chứng minh bằng quy nạp:

++

Do đó

Bài toán 10: Cho hàm số liên tục trên R thoả điều kiện:

Tính

Lời giải:

tại (1)

II.Ước lượng giá trị hàm số:

1)Chứng minh phương trình có vô số nghiệm trên [0;1]

2)Tồn tại hay không hàm số xác định trên [0;1] thoả mãn điều kiện (1),(2) và không đồng nhất bằng 0?

Lời giải:

1)

Dễ dàng chứng minh Vậy phương trình có vô số nghiệm trên [0;1]

Hãy tìm số các nghiệm của phương trình trên đoạn 1000;1000]

không ít hơn 401

Xét hàm số thỏa điểu kiện bàitoán

+Nếu có dạng thì ; hơn nữa có dạng nên

.+Nếu có dạng thì ; hơn nữa có dạng nên

+ Nếu Khi đó ta xây dựng dãy số

Bài toán 1: (CaMO) Cho hàm số , tính

Lời giải:

Suy ra

Vậy hay là hàm số tuần hoàn

Bài toán 2: Cho hàm số thỏa mãn:

Chứng minh là hàm số tuần hoàn

Lời giải:

Ta có + +

Bài toán 3:

Cho hàm số thỏa mãn:

Chứng minh là hàm số tuần hoàn.

Lời giải:

Suy ra Vậy là hàm số tuần hoàn

(Nhận xétù: 6=BCNN(3;2); có thể tổng quát bài toán từ nhận xét trên)

Lời giải:

++

Bài toán 3: Cho hàm số thỏa:

Chứng minh là hàm hằng.

Lời giải:

hàm hằng thỏa điều kiện bài toán

Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:

Lời giải:

Vậy (c tùy ý) là hàm hằng thỏa điều kiện bài toán

Bài toán 5: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:

Lời giải:

Đặt (1):

Suy ra

Vậy thỏa điều kiện bài toán

Bài toán 6: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:

Lời giải:

(1) + thỏa mãn điều kiện+ , khi đó

Đặt

Ta có:

Do đó Vậy có hai hàm thỏa mãn điều kiện bài toán là:

Bài toán 7: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:

Lời giải:

Thế vào (1), ta có:

là hàm hằng

Kết luận tùy ý thỏa điều kiện

Bài toán 8: Cho hàm số không giảm thỏa mãn:

Lời giải:

Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp + Xét

Vậy là hàm hằng

Vậy là hàm hằng

Kết luận là hàm hằng thỏa điều kiện

Bài toán 9: Cho hàm số thỏa mãn:

Chứng minh là hàm hằng

Lời giải:

(1’) là phương trình bậc lẻ (bậc 9) theo nên (1’) có ít nhất 1 nghiệm

(1”) là phương trình bậc lẻ (bậc 3) theo nên (1”) có ít nhất 1 nghiệm

Kết luận là hàm hằng