BTL DSTT QR, house holder, gramsmith

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Nhóm 2 Lớp L13 ĐỀ TÀI PHÂN TÍCH QR BẰNG 3 PHƯƠNG PHÁP GRAM SMITH, HOUSEHOLDER, GIVEN GVHD NGUYỄ.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Nhóm 2 Lớp L13

ĐỀ TÀI : PHÂN TÍCH QR BẰNG 3 PHƯƠNG PHÁP:

GRAM-SMITH, HOUSEHOLDER, GIVEN

GVHD: NGUYỄN HỮU HIỆP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

ĐỀ TÀI : PHÂN TÍCH QR BẰNG 3 PHƯƠNG PHÁP:

GRAM-SMITH, HOUSEHOLDER, GIVEN

GVHD: NGUYỄN HỮU HIỆP

DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 2-LỚP L13

MỤC LỤC

PHẦN 1: PHÂN TÍCH QR BẰNG PHƯƠNG PHÁP GRAM-SCHMIDT

2

1.1 Cơ sở lý thuyết của A=QR bằng phương pháp Gram-Schmidt

1.2 Phân rã A=QR với ma trận cụ thể

1.3 Giải hệ pttt bằng phân rã A=QR

2.2 Hình chiếu vuông góc

2.3 Phép biến đổi householder

2.4 Phân tích A=QR bằng biến đổi HOUSEHOLDER

2.5 Viết chương trình dùng để phân tích A=QR bằng phương pháp

Householder

PHẦN 3: PHÂN TÍCH QR BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIVEN

3.1 Yêu cầu đặt ra:

1.1 Cơ sở lý thuyết của A=QR bằng phương pháp Gram-Schmidt:Định nghĩa 4.2.3: Tập hợp con M được gọi là họ trực giao, nếu x ⊥ y, ∀x, y ∈ M

và x , y

Theo cách xây dựng họ trực giao, ma trận R là ma trận phía trên.

Mặt khác ma trận chuyển cơ sở từ Q sang E là Q-1E = QTE = QT A

4

Ở đâu:

5

1.5 Viết chương trình phân tích A = QR bằng phương pháp Schmidt.

Gram-9

10

PHẦN 2: PHÂN TÍCH QR BẰNG PHƯƠNG PHÁP

HOUSEHOLDER

12

2.1 Cơ sở lí thuyết

- Gram-Schmidt có thể không ổn định về mặt số học, có nghĩa là đầu vào hay

thay đổi nhỏ có thể dẫn đến sự thay đổi tương đối lớn trong đầu ra (nguồn) Cách ổn định hơn là sử dụng phép biến đổi Householder Householder chiếu véc tơ qua một “tấm gương”

2.3 Phép biến đổi householder

13

2.4 Phân tích A=QR bằng biến đổi Householder

14

2.5 Viết chương trình dùng để phân tích A=QR bằng phương pháp Householder

15

17

PHẦN 3: PHÂN TÍCH QR BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIVEN

Nhập vào một ma trận A có các vectơ cột độc lập tuyến tính, viết chương trình dựavào phương pháp phép quay Given xuất ra hai ma trận Q và R thỏa A=Q*R với Q

là ma trận vuông có các vectơ cột độc lập tuyến tính và trực giao, R là ma trận tam giác trên

18

3.3 Thuật toán cơ bản:

BƯỚC 1:

-kiểm tra xem ma trận A có các vectơ cột độc lập tuyến tính với nhau hay không Nếu không sẽ xuất ra màn hình: “ma trận A có các vectơ cột không độc lập tuyến tính với nhau” Nếu có thì ta tiếp tục với bước tiếp theo

BƯỚC 2:

a11 a12 a13 a1n

a21 a22 a23 a2n Vòng lặp chạy theo hướng mũi

Amn = a31 a32 a33 a3n tên qua những phần tử màu

xanh

am1 am2 am3 amn

-Như hình trên ta chạy vòng lặp từ hàng h=2 đến hàng h=m từ cột k=1 đến cột

k=i-1 từ trên xuống dưới, từ trái qua phải Trường hợp tại vị trí số hàng lớn hơn số

cột hai đơn vị trở lên ta sẽ cho chạy từ cột k=1 đến k=n để tránh xét thiếu trường

hợp, có thể xem ma trận dưới đây để rõ hơn:

ma trận vuông bậc m được tạo thành từ việc thay 4 phần tử cos(a), sin(a), -sin(a),

cos(a) vào 4 vị trí thích hợp của ma trận đơn vị ban đầu Theo như cơ sở lý thuyết

phía trên thì: tại phần tử có vị trí (h,k) của ma trận A, ta có:

i=k [ta khử v j dựa vào vi với v i là phần tử nằm trên đường

VD3) Chạy chương trình với ma trận: