PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG, MẶT TRONG KHÔNG GIAN 1.. BÀI TẬP LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 2.. Mặt cầu liên quan tới đường tròn 1.. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn tạo bởi
Trang 1I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TRONG KHÔNG GIAN
x’Ox: trục hoành
y’Oy: trục tung
z’Oz: trục cao O : gốc tọa độ e e e 1, ,2 3
: véc tơ đơn vị
/
( ; ; ) đ n
M x y z OM xe xe xe
1
/
2 3 1 1 2 2 3 3
( ; ; )
đ n
a a a a a a e a ea e
II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VÉC TƠ
* Định lý 1: Nếu a ( ;a a a1 2; 3)
và b( ;b b b1 2; 3)
, ( k )
1,
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
2, a b ( a b a1 1; 2 b a b2; 3 3)
3, a b ( a b a1 1; 2 b a b2; 3 3)
4, k a. (ka ka ka1; 2; 3)
5, a a12a22a32
6, a
cùng phương b
!k
Nếu a 0
thì số k trong trường hợp này được xác định
như sau:
+) k > 0 khi a
cùng hướng b +) k < 0 khi a
ngược hướng b k a
b
* Định lý 2: Cho (A x A;y z A; A),B x( B;y B;z B),C x( C;y C;z C)
1,AB ( xB xA; yB yA; zB zA)
2, AB AB (x x B A) (2y y B A) (2z z B A)2
3, Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ
số k ( k 1) nếu như: MAk MB.
Nếu A (xA, yA, zA), B (xB, yB, zB) và MA k MB.
4, A, B, C thẳng hàng khi AB
cùng phương AC
* Định lý 3: Tích vô hướng của 2 véc tơ a ( ;a a a1 2; 3)
, b ( ;b b b1 2; 3)
là:
1, a b a b1 1a b2 2 a b3 3
2, a b a b .cos( , )a b
+) a ba b 0
+) 1 1 2 2 3 3
cos( , )
a b a b a b
a b
a b
a b a a a b b b
* Định lý 4: Tích có hướng của 2 véc tơ: a a a a( ; ; )1 2 3
, b( ; ; )b b b1 2 3
là:
3 3
3 3
a b
b b
Trang 2+) Nếu a
cùng phương b
a b
+) sin( , ) ,
.
a b
a b
a b
* Định lý 5: Các ứng dụng:
1,
1
; 2
ABC
S AB AC
2,
;
hbhABCD
3,
1
6
ABCD
V AB AC AD
4,
ABCDA B C D
V AB AD AA
5, a b c , ,
đồng phẳng a b c; 0
6, a
cùng phương ba b c , 0 7, a b a b c ;
a c
III PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG, MẶT TRONG KHÔNG GIAN
1 Phương trình mặt cầu
a Phương trình tổng quát: x2+y2+z2+2Ax+2By+2Cz+D=0 điều kiện A2+B2+C2-D>0 Tâm I(-A, -B, -C), Bán kính R= A2B2 C2 D
b Phương trình chính tắc: (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z-z0)2 = R2 Tâm I(x0;y0;z0), bán kính R
2 Phương trình mặt phẳng
a Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A2+B2+C2 0)
Véc tơ pháp tuyến (véc tơ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) ký hiệu n
(A;B;C)
b Phương trình tham số:
s c t c z z
s b t b y y
s a t a x x
2 1
0
2 1
0
2 1
0
với s, t là tham số
Có 2 véc tơ chỉ phương (nằm trên mặt phẳng hoặc nằm trên đường thẳng // với mặt phẳng, chúng không cộng tuyến nhau) ký hiệu u1(a1;b1;c1);u2(a2;b2;c2)
3 Phương trình đường thẳng
a Phương trình tổng quát:
0
0 2 1 1 2
1 1 1 1
D z C y B x A
D z C y B x A
Véc tơ chỉ phương u n1,n2
1 1 1
1 A;B;C
n
, n 1 A2; B2; C2
b Phương trình tham số
ct z z
bt y y
at x x
0 0
0
Véc tơ chỉ phương u a ; b ; c
và điểm M x0; y0; z0
thuộc đường thẳng, t là tham số
Trang 3c Phương trình chính tắc:
c
z z b
y y a
x
Véc tơ chỉ phương u a ; b ; c
và điểm
x0; y0; z0
IV BÀI TẬP LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
2 Những mặt cầu đặc biệt
a Mặt cầu có tâm I(x 0 ;y 0 ;z 0 ) đi qua A(x A ;y A ;z A ) PT : (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 ={(xA-x0)2+(yA-y0)2 + (zA-z0)2}2
b Mặt cầu chùm
+) Mặt cầu qua giao của 1 mặt phẳng và 1 mặt cầu khác
m(ax + by + cz + d) + n(x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D) = 0 với n2 + m2 0
+) Mặt cầu qua giao của 2 mặt cầu khác
m(x2 + y2 + z2 + 2A1x + 2B1y + 2C1z + D1) + n(x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D) = 0 với n2+m2 0
c Mặt cầu có đường kính A(x A ;y A ;z A ), B (x B ;y B ;z B )
Phương trình :
(x-2
B
x
)2
+(y-2
B
A y
y
)2
+(z-2
B
A z
z
)2 =
4
) (
) (
) ( xB xA 2 yB yA2 zB zA 2
d Mặt cầu biết tâm I(x 0 ;y 0 ;z 0 ), tiếp xúc mặt phẳng (P) Ax+By+Cz+D=0
Phương trình : (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2=
2
2 2 2
0 0
0
C B A
D Cz By
Ax
II BÀI TẬP
A Mặt cầu liên quan tới đường tròn
1 Xác định tâm và bán kính đường tròn có phương trình
0 9 2
2
100 )
1 ( ) 2 ( ) 3
z y x
z y
x
2 ĐH khối A năm 2009: Cho (P): 2x-2y-z-4 = 0 và (S): x2+y2+z2 – 2x – 4y -6z – 11 = 0 Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn tạo bởi (P) cắt (S)
3 Cho đường tròn C:
0 1 2 2
0 17 6 6 4
2 2 2
z y x
z y x z y x
, (Q): x + y + z + 3 = 0 Lập (S) tâm
thuộc (Q), chứa C
B Mặt cầu có tâm thuộc một đường thẳng và tiếp xúc với hai mặt phẳng
4 Cho d:
2
1 1
1 2
x
, (P): x + y - 2z + 5 = 0, (Q): 2x - y + z + 2 = 0 Lập (S) tâm thuộc d
và tiếp xúc (P), (Q)
5 Cho d:
2
3 1
2 2
x
, (P1): 2x - y - z - 6=0, (P2): 2x + y + 2z - 1=0 Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và tiếp xúc với (P1), (P2)
Trang 46 Cho (R1): 2x + 4y - z - 7=0, (R2): 4x + 5y + z - 14=0, (P): x + 2y - 2z - 2=0, (Q): x + 2y - 2z + 4 = 0 Lập (S) tâm thuộc giao tuyến của (R1) và (R2) và tiếp xúc (P), (Q)
C Lập phương trình mặt cầu khác
7 D:
1 1
2 3
x
, (P): 2x+y-2z+2=0.Lập (S) tâm thuộc D, tiếp xúc (P) và bán kính = 1
8 Cho đường thẳng (d)
1
2 2
1 1
x
, (P): 2x - y - 2z - 2=0 Lập (S) tâm thuộc d, cách (P)
1 khoảng = 3 và mặt cầu này cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính = 3
9 I(2;3;-1); D:
0 8 4
3
0 20 3 4 5
z y x
z y x
Lập (S) tâm I sao cho (S) cắt D tại A, B sao cho AB=16
10 I(1;2;-2), (P): 2x + 2y + z + 5=0 Lập (S) tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu và (P) là
đường tròn có chu vi=8
11 Cho (P): 6x - y + 3z - 4=0 Viết phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu có tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với (P) qua (P)
12 Lập phương trình mặt cầu qua A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) tâm thuộc Oxy
13 Lập phương trình mặt cầu qua 2 điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và tâm thuộc Oz
14 Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) tiếp xúc Oxy
15 Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;4;-7) tiếp xúc (P): 6x + 6y - 7z + 42 = 0
16 ĐH khối D năm 2012: Cho (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I(2;1;3) Viết phương trình cầu
tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có R=4
17 ĐH khối A, A1 năm 2012: Cho d: 1 2
x y z
cầu tâm I và cắt d tại 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I
18 ĐH khối B năm 2012: Cho d: 1
và điểm A(2;1;0), B(2;3;2) Viết phương trình
mặt cầu đi qua 2 điểm A, B và có tâm thuộc d
19 ĐH khối A năm 2010: Cho A(0;0;-2) và : 2 2 3
x y z
đến Viết phương trình mặt cầu tâm A cắt tại 2 điểm B và C sao cho BC = 8
20 CĐ khối A, B, D năm 2010: Cho A(1;-2;3), B(-1;0;1) và (P): x + y + z + 4 = 0 Tìm tọa độ
hình chiếu vuông góc của A trên (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có
6
AB
đường thắng AB và (S) tiếp xúc với (P)