Lý do chọn đề tài: Phép biến đổi tích phân Sumudu được đề xuất ban đầu bởi Watugala1993 để giải các phương trình vi phân và các vấn đề kỹ thuật điều khiển.Trong Watugula 2002, phép biến
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Người hướng dẫn khoa học: TS.PHAN ĐỨC TUẤN
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệpthạc sĩ khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm vào ngày
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Trường Đại học Đà Nẵng
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công
bố trong bất kì công trình nào khác
Đà Nẵng, tháng 09 năm 2021
Tác giả
ĐẶNG NGUYỄN HẠ GIANG
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn TS Phan Đức Tuấn đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quátrình thực hiện để em có thể hoàn thành được luận văn này
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo
đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học Đồngthời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp TGTK38 đã nhiệttình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp
Đặng Nguyễn Hạ Giang
Trang 5MỤC LỤC
Mở đầu 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các ví dụ 5
1.2 Các tính chất 5
1.3 Định lý tích chập 6
1.4 Biến đổi Laplace của đạo hàm, tích phân 7
1.5 Biến đổi Laplace ngược và các ví dụ 8
Chương 2 Biến đổi Sumudu và một số tính chất cơ bản 10
2.1 Định nghĩa và ví dụ của biến đổi Sumudu 10
2.2 Biến đổi Sumudu ngược 11
2.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Sumudu 12
2.4 Biến đổi Sumudu của đạo hàm, tích phân 13
2.5 Tích chập 14
Chương 3 Một số ứng dụng của biến đổi Sumudu 15
3.1 Giải phương trình vi phân 15
3.2 Giải phương trình tích phân 18
3.3 Giải phương trình vi tích phân 19
3.4 Giải phương trình đạo hàm riêng 20
Kết luận 22
Tài liệu tham khảo 23
Trang 7MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài:
Phép biến đổi tích phân Sumudu được đề xuất ban đầu bởi Watugala(1993) để giải các phương trình vi phân và các vấn đề kỹ thuật điều khiển.Trong Watugula (2002), phép biến đổi tích phân Sumudu được áp dụng chocác hàm của hai biến Trong Asiru (2002), các tính chất cơ bản khác củaphép biến đổi này cũng được thiết lập Tương tự, phép biến đổi này được
áp dụng cho phương trình vận chuyển neutron một chiều trong Kadem(2005) Thực tế đã chỉ ra rằng có mối quan hệ chặt chẽ giữa Sumudu vàcác phép biến đổi tích phân khác, Kilicman et al (2011) Đặc biệt mốiquan hệ giữa phép biến đổi Sumudu và phép biến đổi Laplace đã đượcchứng minh trong Kilicman (2011) Hơn nữa, trong Eltayeb et al (2010),phép biến đổi Sumudu đã được mở rộng cho các phân bố và một số đặctính của chúng cũng được nghiên cứu trong Kilicman và Eltayeb (2010).Gần đây, phép biến đổi này được áp dụng để giải hệ phương trình vi phân,Kili¸cman et al (2010)
Sumudu Transform là một phép biến hình dựa trên tích phân Kể từkhi xây dựng phương pháp, nhiều nhà nghiên cứu đã làm việc không mệtmỏi bằng cách sử dụng phép biến đổi để thu được kết quả của nhiều bàitoán vật lý và do đó báo cáo rằng phép biến đổi là một công cụ mạnh
mẽ để thu được nghiệm hội tụ của nhiều phương trình vi phân Nó có thểđược áp dụng để giải các phương trình hội tụ thông thường và các bài toán
kỹ thuật điều khiển Phép biến đổi Sumudu được chứng minh là có cácđơn vị bảo toàn thuộc tính, và do đó có thể được sử dụng để giải quyếtcác vấn đề mà không cần dùng đến miền tần số Đây là một trong nhữngđiểm mạnh của biến đổi mới này, đặc biệt là đối với các ứng dụng trongcác bài toán về kích thước vật lý Do công thức đơn giản và các đặc tínhhữu ích và đặc biệt đó, Sumudu Transform đã cho thấy nhiều hứa hẹn.Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệ thường đưa đến việc giải mộtphương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân
Trang 8hoặc phương trình đạo hàm riêng Chẳng hạn, trong bài toán tính độ lệchđứng của một dầm vô hạn dẫn đến giải một phương trình vi phân thường.Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo ra
do thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường dẫn đến giải một phươngtrình đạo hàm riêng Trong cơ học lượng tử, xung lượng của các hạt cơbản được biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm Điều này chứng
tỏ, việc tìm ra lời giải cho các phương trình vi – tích phân mới xuất hiệnsong hành với sự phát triển của khoa học và công nghệ Do vậy, tôi nhậnthấy việc tìm hiểu về phép biến đổi tích phân Sumudu và áp dụng vào giảicác phương trình vi - tích phân, đạo hàm riêng là cần thiết và có ý nghĩathực tiễn nên tôi quyết định chọn đề tài “PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂNSUMUDU VÀ ỨNG DỤNG” làm đề tài nghiên cứu của mình
2 Mục tiêu nghiên cứu:
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tích chất của phép biến đổi tíchphân Sumudu và áp dụng chúng vào việc giải phương trình vi phân, phươngtrình tích phân, phương trình vi tích phân và phương trình đạo hàm riêng
Để đạt được mục tiêu trên, đề tài sẽ nghiên cứu những nội dung sau:
- Tìm hiểu các khái niệm cơ bản về phép biến đổi tích phân Sumudunhư: định nghĩa, một số tính chất cơ bản,
- Tích chập
- Biến đổi tích phân Sumudu của đạo hàm
- Phép biến đổi tích phân Sumudu ngược
- Áp dụng phép biến đổi tích phân Sumudu để giải các phương trình
vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, phương trìnhđạo hàm riêng
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Phép biến đổi tích phân Sumudu, phép biếnđổi tích phân Sumudu ngược, tích chập
- Phạm vi nghiên cứu: Áp dụng phép biến đổi Sumudu vào giải phươngtrình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân và phươngtrình đạo hàm riêng
4 Phương pháp nghiên cứu:
Trang 9Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách vở
có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kết quả
về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn ngọn, theo hệ thống khoa học vớicác chứng minh chi tiết
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:
- Trình bày một cách có hệ thống các kết quả liên quan đến phép biếnđổi Sumudu
- Chi tiết hóa các chứng minh giúp cho những người không chuyên toáncần tìm hiểu về phép biến đổi Sumudu dễ dàng tiệp cận
- Tìm hiểu và đưa ra các phương trình trong thực tiễn và áp dụng cáckết quả của phép biến đổi tích phân Sumudu để đưa ra lời giải chi tiết chocác phương trình ấy
6 Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn được chiathành ba chương Chương 1, trình bày khái niệm, một số tính chất cơ bảncủa phép biến đổi Laplace; tích chập; biến đổi Laplace của đạo hàm, tíchphân Chương 2, trình bày phép biến đổi tích phân Sumudu Chương 3,ứng dụng các kết quả của phép biến đổi tích phân Sumudu vào giải cácphương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân,phương trình đạo hàm riêng
Trang 10Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các ví dụ
Giả sử rằng f là một hàm biến thực hoặc biến phức của biến thời gian
t > 0 và s là một tham số thực hoặc phức Chúng ta định nghĩa toán tửLaplace của f như sau
L{f (t)} = F (s) =
Z ∞ 0
e−stf (t)dt (1.1)Phép biến đổi Laplace của hàm f (t) tồn tại nếu tích phân (1.1) hội tụvới giá trị của s thuộc miền nào đó Trường hợp ngược lại ta nói phép biểnđổi Laplace của hàm số f (t) không tồn tại Ta gọi hàm f (t) trong địnhnghĩa trên là hàm gốc và hàm biến đổi F (s) là hàm ảnh
1.2 Các tính chất
Định lý 1.2.1 (Tính chất tiếp tuyến) Cho các hàm gốc fk với các chỉ sốtăng là αk, biến đổi Laplace là Fk, k = 1, 2, , n Khi đó biến đổi Laplacecủa hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm fk là f (t) =
Re(s) ≥ max αk.Định lý 1.2.2 Chuỗi lũy thừa f (t) =
Trang 11Định lý 1.2.3 (Tính chất đồng dạng) Cho L{f (t)} = F (s), f là hàmgốc có chỉ số tăng α0 và c > 0 là hằng số Khi đó
L{f (ct)} = 1
cF
sc
, Re(s) > cα
Định lý 1.2.4 (Tính chất dịch chuyển ảnh) Nếu L{f (t)} = F (s), f cóchỉ số tăng là α0 thì
L{eatf (t)} = F (s − a), Re(s) > α0+ Re(a) (1.2)Định lý 1.2.5 Nếu L{f (t)} = F (s) thì
L{f (t − a)H(t − a)} = e−asF (s) = e−asL{f (t)}, a > 0,
F (s) và f là một hàm tuần hoàn với chu kì T thì ta có
L{f (t)} = [1 − exp (−sT )]−1
Z T 0
Trang 12trong đó f (t) ∗ g(t) được gọi là tích chập của f (t) và g(t) và được địnhnghĩa bởi tích phân
f (t) ∗ g(t) =
Z t 0
f (t − τ )g(τ )dτ (1.4)
Ta ghi tắt f (t) ∗ g(t) = (f ∗ g)(t)
1.4 Biến đổi Laplace của đạo hàm, tích phân
Định lý 1.4.1 (Đạo hàm của biến đổi Laplace) Nếu L{f (t)} = F (s) f
là hàm gốc có chỉ số tăng là α0 thì
L{tnf (t)} = (−1)n ∂
n
∂snF (s), Re(s) > α0 (1.5)trong đó n = 0, 1, 2, 3,
Chứng minh Theo định lý biến đổi Laplace của hàm f hội tụ đều và cácđiều kiện còn lại trong định lý trên thỏa mãn [Định lý B.4 - Trang 103]của ([14]) Khi đó, đạo hàm theo s bên trong dấu tích phân của (1.1) đượccho phép
e−stf (t)dt =
Z ∞ 0
tf (t)e−stdt = −L{tf (t)} (1.7)Tương tự, ta có:
∂2
∂s2f (s) = (−1)¯ 2L{t2f (t)}, (1.8)
∂3
∂s3f (s) = (−1)¯ 3L{t3f (t)} (1.9)Tổng quát
∂n
∂snf (s) = (−1)¯ nL{tnf (t)}, (1.10)
Trang 13Định lý 1.4.2 (Tích phân của biến đổi Laplace) Cho L{f (t)} = F (s).Nếu f (t)/t là hàm gốc với chỉ số tăng là α0 thì
1.5 Biến đổi Laplace ngược và các ví dụ
Cho hàm g(t) xác định trên trục thực R Ta nói g được biểu diễn bởitích phân Fourier nếu với mọi t ta có
1
2[g(t + 0) + g(t − 0)] =
12π
Phương trình (1.13) được gọi là công thức Fourier
Trong tính toán, để tìm biến đổi Laplace ngược của một hàm F (s) chotrước, ta có thể sử dụng các phương pháp sau đây
i) Dùng khai triển phân thức
ii) Dùng tích chập
iii) Dùng chu tuyến
Ta chấp nhận bổ đề sau đây mà không chứng minh
Bổ đề 1.5.1 Với s trên Γ, giả sử rằng F (s) thỏa mãn
Trang 14trong đó resf (a) là giá trị thặng dư của hàm f tại a.
Thặng dư của hàm f (z) tại cực điểm cấp n được tính bởi công thức
resf (a) = lim
z→a
1(n − 1)!
dn−1
dzn−1[(z − a)nf (z)] (1.15)Đối với cực điểm cấp một ta có công thức sau
resf (a) = lim
z→a[(z − a)f (z)] (1.16)Nếu trong lân cận điểm a, hàm f (z) là thương của hai hàm giải tích
f (z) = ϕ(z)
ψ(z), (ϕ(a) 6= 0, ψ(a) = 0, ψ
0(a) 6= 0)thì ta có công thức sau đây
resf (a) = lim
z→a(z − a)ϕ(z)
ψ(z) = limz→a
ϕ(z)ψ(z) − ψ(a)
z − a
= ϕ(a)
ψ0(a) (1.17)
iv) Định lý khai triển của Heaviside
Giả sử F (s) là biến đổi Laplace của f (t) và có khai triển Maclaurindưới dạng chuỗi lũy thừa
Định lý 1.5.3 (Định lý khai triển của Heaviside) Nếu F (s) = p(s)
Trang 15Chương 2 BIẾN ĐỔI SUMUDU VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT
G(u) = S[f (t)] =
Z ∞ 0
Ta có một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.1
Hệ quả 2.1.2 Cho f (t) ∈ A với F và G lần lượt là phép biến đổi Laplace
và Sumudu Khi đó,
F (s) = G(1/s)
Định lý 2.1.3 (Sự tồn tại của phép biến đổi Sumudu) Nếu một hàm số
f có chỉ số tăng, thì phép biến đổi Sumudu S(f (t)) = G(u) của nó đượccho bởi
Trang 16un−1(1 − au)n
n−1eatΓ(n)
un−1(1 − au)n
2.2 Biến đổi Sumudu ngược
Định lý 2.2.1 Cho G(u) là phép biến đổi Sumudu của hàm f (t) sao cho(i) G(1/s)/s là một hàm phân hình, với các điểm kỳ dị thỏa mãn Re(s) <
γ, và
(ii) Tồn tại một miền hình tròn Γ với bán kính R và các hằng số dương,
M và k, với
G(1/s)s
< M R−k, (2.6)khi đó hàm số f (t) được cho bởi
estG(1/s)
s
.(2.7)
Trang 17Định lý 2.2.2 Phép biến đổi Sumudu khuếch đại các hệ số của chuỗihàm,
Hệ quả 2.2.3 Với sai khác hàm không, phép biến đổi Sumudu ngược,
f (t), của chuỗi hàm G(u) =
và S−1
u(u2− 1)m
, khi đó cácphép biến đổi Sumudu ngược tồn tại và được cho bởi
S−1
u(u2+ 1)m
ddt
m−1
sin tt
(2.9)và
S−1
u(u2− 1)m
ddt
m−1
sinh tt
(2.10)
2.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Sumudu
Định lý 2.3.1 Cho hàm số f (t) ∈ A với các phép biến đổi Laplace F (s)
và phép biến đổi Sumudu G(u) Khi đó,
= udG(u)
Trang 18Định lý 2.3.3 Cho hàm số f (t) ∈ A với phép biến đổi Sumudu G(u).Khi đó,
S eatf (t) = 1
1 − auG
u
1 − au
.Định lý 2.3.4 Cho f (t) ∈ A với phép biến đổi Sumudu G(u) Khi đó,
S 1t
Z t 0
f (τ )dτ
= 1u
Z u 0
G(v)dv
2.4 Biến đổi Sumudu của đạo hàm, tích phân
Mệnh đề 2.4.1 (i) Cho hàm f khả vi trên (0, ∞) và cho f (t) = 0 với
t < 0 Giả sử f0 ∈ Lloc Khi đó, f0 ∈ Lloc, dom(S[f ]) ⊂ dom(f0) và
S[f0] = 1
uS(f ) −
1
uf (0+) với u ∈ dom(S(f )) (2.12)(ii) Tổng quát hơn, nếu f khả vi trên (c, ∞), f (t) = 0 với t < 0 và f0 ∈ Llocthì
Z t 0
Z t 0
f (τ )(dτ )n, (2.15)khi đó với n ≥ 1,
Gn(u) = S (Wn(t)) = unG(u) (2.16)
Trang 192.5 Tích chập
Định lý 2.5.1 Cho f (t), g(t) ∈ A lần lượt với biến đổi Laplace F (s) vàG(s), và biến đổi Sumudu M (u) và N (u) Khi đó phép biến đổi Sumuducủa tích chập của f và g,
(f ∗ g)(t) =
Z ∞ 0
f (τ )g(t − τ )dτ, (2.17)được cho bởi công thức
S ((f )(t)) = uM (u)N (u) (2.18)
Hệ quả 2.5.2 Cho f (t), g(t), h(t), h1(t), h2(t), , và hn(t) là các hàm sốtrong A lần lượt có các biến đổi Sumudu F (u), G(u), H(t), H1(u), H2(u), ,
hn(u) Khi đó, biến đổi Sumudu của
(f ∗ g)n(t) =
Z Z t 0
Z t 0
f (τ )g(t − τ )(dτ )n (2.19)được cho bởi công thức
S ((f ∗ g)n(t)) = unF (u)G(u) (2.20)Hơn nữa, với n ≥ 1 nguyên dương,
S [(h1∗ h2∗ ∗ hn)(t)] = un−1H1(u)H2(u) Hn(u) (2.21)
Cụ thể, phép biến đổi Sumudu của (f ∗ g ∗ h), với f, g, h ∈ A được cho bởicông thức
S [(f ∗ g ∗ h)(t)] = u2F (u)G(u)H(u) (2.22)
Trang 20Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI SUMUDU
3.1 Giải phương trình vi phân
Ví dụ 3.1.1 Xét phương trình vi phân không thuần nhất
tf00(t) − tf0(t) + f (t) = 2,
f (0) = 2, f0(0) = −1 (3.1)Lời giải bằng biến đổi Laplace: Theo biến đổi Laplace và sử dụng điềukiện ban đầu, ta có
sử dụng điều kiện ban đầu, ta có
f (t) = 2 + at (3.7)
Trang 21Chú ý rằng, nếu ta so sánh hai phương trình (3.4) và (3.7), ta thấy rằngnghiệm thu được bới biến đổi Laplace ở trong tập số phức và nghiệm thuđược bởi biến đổi Sumudu ở trong tập số thực Điều này có nghĩa rằngnếu nghiệm tồn tại theo biến đổi Sumudu thì nghiệm cũng tồn tại theobiến đổi Laplace.
Ví dụ 3.1.2 Xét mạch điện RLC trong hình bên dưới, với điện áp mộtchiều Vs
−+
Zidt = Vs (3.8)Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (3.8) ta có
Trang 22Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3.9) là
i(t) = K1es1 t+ K2es2 t, (3.13)với K1 và K2 được xác định từ điều kiện ban đầu
Nếu ta định nghĩa α = hệ số tắt dần = R
2L và ωn =
r1
LC, còn đượcbiết tần số tự nhiên không tắt dần hay tần số cộng hưởng Do đó, ta có
s1, s2 = −α ±pα2− ω2
n (3.14)Nghiệm của phương trình phụ thuộc vào các trường hợp
R24L2 > 1
LC,
R24L2 = 1
LC và
R24L2 < 1
LC.Lời giải theo biến đổi Sumudu: Áp dụng biến đổi Sumudu vào phươngtrình (3.9), ta có:
u2+ RCu + LC = 0 (3.16)Nghiệm của phương trình (3.16) có dạng
(u2+ 1)F0(u) + uF (u) = 0
Trang 233.2 Giải phương trình tích phân
Ví dụ 3.2.1 Ta sẽ sử dụng biến đổi Sumudu để giải phương trình tíchphân Volterra loại 2 Phương trình tích phân Volterra loại 2 có dạng nhưsau:
g(x) = f (x) +
Z x 0
F (u)
1 − u · K(u)
.Đặt R(x, t) là giải thức của phương trình tích phân Volterra loại 2, ta thuđược đẳng thức sau:
g(x) = f (x) +
Z x 0
R(x − t)f (t)dt
⇒ G(u) = F (u) + u.r(u)F (u)
⇒ r(u) = G(u) − F (u)
Thay phương trình (3.20) vào phương trình (3.22), ta có
r(u) = K(u)
1 − u.K(u). (3.23)
Trang 24Áp dụng biến đổi Sumudu ngược vào phương trình (3.23), ta thu được giảithức
S−1[r(u)] = R(x, t; 1) = R−1
K(u)
1 − u.K(u)
(3.24)
3.3 Giải phương trình vi tích phân
Định lý 3.3.1 Nếu α, β, ρ, λ ∈ C và t ∈ R, Re(η) > 0, Re(β) > 0, và giả
sử f (t) là một hàm số liên tục trên khoảng [0, t], 0 < t < ∞, và có chỉ sốtăng σ khi t → ∞, thì phương trình tích phân Volterra
0Dτ−λ[h(τ )] = ηf (τ ) + kτ0tβ−1Eα,βρ (tα)h(τ − t)dt (3.25)
có nghiệm tường minh
h(τ ) = η
Z τ 0
θ(τ − t)f (t)dt (3.26)với
h(τ ) = η
Z τ 0
θ(τ − t)f (t)dt, (3.31)với θ(τ ) được cho bởi (3.27)
... sinh tt(2 .10 )
2.3 Các tính chất biến đổi Sumudu< /h3>
Định lý 2.3 .1 Cho hàm số f (t) ∈ A với phép biến đổi Laplace F (s)
và phép biến đổi Sumudu G(u) Khi đó,... data-page= "19 ">
2.5 Tích chập
Định lý 2.5 .1 Cho f (t), g(t) ∈ A với biến đổi Laplace F (s) vàG(s), biến đổi Sumudu M (u) N (u) Khi phép biến đổi Sumuducủa tích chập f g,
(f ∗ g)(t) =... class="text_page_counter">Trang 17
Định lý 2.2.2 Phép biến đổi Sumudu khuếch đại hệ số chuỗihàm,
Hệ 2.2.3 Với sai khác hàm không, phép biến đổi Sumudu ngược,