Biến Đổi Laplace Và Ứng Dụng Giải Phương Trình Vi Phân Đạo Hàm Riêng.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– TRỊNH THỊ LÊ MAI BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————————————–

TRỊNH THỊ LÊ MAI

BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, 2015

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

Thanh Hóa, 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Trịnh Thị Lê Mai

LỜI CẢM ƠN

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo ở khoa

Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, những người đã

tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, giúp

tác giả hoàn thành luận văn một cách thuận lợi

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn đồng nghiệp, các bạn học

viên, những người đã động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn

thành khóa học của mình

Do khả năng và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên bản luận văn có thể

chưa đầy đủ và có những thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả rất mong nhận được

sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn này

được hoàn thiện hơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Hồng Đức, tỉnh

Thanh Hóa dưới sự hướng dẫn của PGS - TS Nguyễn Minh Tuấn ThanhHóa, tháng 10 năm 2015

Học viên

Trịnh Thị Lê Mai

Mục lục

Mở đầu 1

1 Biến đổi Laplace và các tính chất 3 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 3

1.2 Điều kiện tồn tại phép biến đổi Laplace 4

1.3 Điều kiện hội tụ 5

1.4 Biến đổi Laplace ngược 10

1.4.1 Công thức Mellin 11

1.4.2 Điều kiện đủ để tồn tại gốc 11

1.5 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 12

1.5.1 Tính chất tuyến tính 13

1.5.2 Tính chất đồng dạng 15

1.5.3 Các định lí dịch chuyển 16

1.5.4 Ảnh của hàm tuần hoàn 19

1.5.5 Đạo hàm 20

1.5.6 Tích phân 24

1.5.7 Tích chập 28

1.5.8 Tích phân Duhamel 32

2 Ứng dụng giải phương trình vi phân đạo hàm riêng 34 2.1 Nhắc lại về phương trình vi phân đạo hàm riêng 34

2.2 Phương trình truyền sóng 35

2.3 Phương trình truyền nhiệt 38

2.4 Phương trình Laplace 43

Kết luận 47

Tài liệu tham khảo 48

Mở đầu

Biến đổi Laplace được đặt theo tên của nhà Toán học và Thiên văn học Pierre

- Simon Laplace Mặc dù được Abel, Lerch, Heaviside và Bromwich sử dụng từthế kỉ XIX nhưng mãi đến sau chiến tranh thế giới II mới được sử dụng phổbiến cho tới ngày nay Từ năm 1744, Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân

z = ∫

X (x)e ax dx và z = ∫

X (x)x A dx để giải các phương trình vi phân JosephLouis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, khi nghiên cứu cách tính tích phâncủa hàm mật độ xác suất, ông đã đưa ra biểu thức

∫

X (x)e −ax a x dx.

Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khiông tiếp tục nghiên cứu công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân đểgiải các phương trình

Năm 1878, Spitzer là người gắn tên của Laplace cho biểu thức

biến đổi này để giải quyết những vấn đề chủ yếu liên quan trong lĩnh vực vật lí.

Và Bromwich, người đưa ra phép biến đổi Laplace ngược

với y thuộc bên phải các đường kỳ dị của κ.

Phép biến đổi Lalace có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của Toán học,Vật lí, Kĩ thuật, Chẳng hạn, trong Toán học, ta có thể sử dụng phép biến đổiLaplace để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trìnhtích phân, Bởi vì qua biến đổi Laplace, các phương trình này có thể chuyểnthành các phương trình đại số đơn giản hơn

Luận văn này trình bày những kiến thức cô đọng nhất của phép biến đổiLaplace và ứng dụng giải phương trình vi phân đạo hàm riêng Luận văn đượcchia thành hai chương:

Chương 1: Phép biến đổi Laplace và các tính chất.

Chương 2: Ứng dụng giải phương trình vi phân đạo hàm riêng.

Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót Tác giảrất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn

Chương 1

Biến đổi Laplace và các tính chất

Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân rất hữu hiệu trong giải các bàitoán vật lí Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạohàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số Vì vậy nó được

sử dụng phổ biến trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàmriêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong cácbài toán vật lí Chương này xây dựng cơ sở lý thuyết của phép biến đổi Laplace(xem [1, 2, 3, 4, 5, 6])

Định nghĩa 1.1.1 (xem [3]) Giả sử rằng f là một hàm nhận giá trị thực hoặcphức xác định với mọi t > 0 và s là một tham số thực hoặc phức Biến đổiLaplace của hàm f được định nghĩa

1.2 Điều kiện tồn tại phép biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân (1.1.1) hội tụ Nếu tích phân này phân

kì thì không có biến đổi Laplace Có hai kiểu hội tụ của tích phân Laplace, đólà:

Hội tụ tuyệt đối: Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

τ ′

∫

τ

e −st f (t) dt → 0,

khi τ → ∞, với τ ′ > τ Điều này suy ra rằng L(f(t)) hội tụ

Hội tụ đều: Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ đều với s thuộc miền xác

định Ω⊂C với bất kì ε > 0, tồn tại τ0 > 0 sao cho nếu τ > τ0 thì

Ta sẽ xây dựng một lớp các hàm có biến đổi Laplace.

Định nghĩa 1.3.1 (xem [3]) Điểm t0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm f

nếu hai giới hạn

t →0+

không tồn tại, vì vậyt = 0không phải là điểmgián đoạn của hàm f

Định nghĩa 1.3.2 (xem [3]) Hàmf được gọi là liên tục từng mảnh trên [0, ∞)

nếu

(i) Tồn tại lim f (t)

t→0+

= f (0+);(ii) f liên tục trên mỗi khoảng hữu hạn (0, b), có thể trừ ra một số hữu hạn cácđiểm τ1, τ2, , τ n trong (0, b) là các điểm gián đoạn của hàm f

Trên mỗi khoảng con hàm f cũng bị chặn, hay nói cách khác

Định nghĩa 1.3.3 (xem[2]) Hàm f được gọi là có mũ α nếu tồn tại hằng số

M > 0 và số α sao cho với t0 ≥ 0,

Định lý 1.3.1 (xem[3]) Hàm f liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ α , thì biến đổi Laplace L(f) tồn tại và hội tụ tuyệt đối với ℜ(s) > α

Vậy tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối (và do đó hội tụ) với ℜ(s) > α

Ví dụ 1.5 Áp dụng tích phân từng phần đối với hàmL(sin ωt),L(cosωt) (t > 0)



e −st sin ωt

ω