Một số mở rộng của hàm lối và ứng dụng 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM——————————– VÕ THỊ ÁNH LY MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS... Lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

———————————

VÕ THỊ ÁNH LY

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

VÕ THỊ ÁNH LY

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số:

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng - Năm 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kì công trình nào khác

Đà Nẵng, tháng 08 năm 2021

Tác giả

Võ Thị Ánh Ly

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn TS Phan Đức Tuấn đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quátrình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy côgiáo đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập của khóa học.Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp PPTSCK39

đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Võ Thị Ánh Ly

Tên đề tài: MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG.

Ngành: Phương pháp toán sơ cấp.

Họ và tên học viên: Võ Thị Ánh Ly.

Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn.

Cơ sở đào tạo: Đại học Đà Nẵng

Trường Đại học sư phạm.

1/ Những kết quả chính của luận văn.

Lý thuyết các tập lồi và hàm lồi có một vị trí quan trọng trong toán học liên

quan đến hầu hết các ngành như giải tích lồi, giải tích hàm, hình học, toán kinh tế,

tối ưu hóa,…và đặc biệt là ứng dụng để chứng minh các bất đẳng thức trong

chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán phổ thông Với một vị trí quan trọngnhư vậy trong toán học, việc nghiên cứu về các hàm lồi vẫn luôn là một đề tài thú

vị, nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học Các vấn đề liên quan tớihàm lồi không ngừng nảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, có giá trị ứng dụng caotrong toán học và trong thực tế Ngày nay, các nhà toán học không chỉ dừng lại ởviệc nghiên cứu các đề tài về hàm lồi và phát triển các mở rộng của hàm lồi để có

được những kết quả tốt hơn Được sự hướng dẫn của thầy giáo TS Phan Đức

Tuấn, tôi đã chọn đề tài “ Một số mở rộng của hàm lồi và ứng dụng” để thực hiệnluận văn thạc sĩ của mình

Mục tiêu của đề tài nghiên cứu của luận văn là trình bày lại một cách có hệthống các khái niệm, tính chất và ứng dụng của hàm lồi Nghiên cứu các mở rộngcủa hàm lồi và ứng dụng của chúng

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là tham khảo các nguồn tài liệu, các bài

báo khoa học

Cấu trúc của luận văn bao gồm: Mở đầu, nội dung chính, kết luận và tài liệutham khảo Nội dung chính của luận văn gồm có hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Mở rộng của hàm lồi và ứng dụng

2/ Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn.

Đề tài “Một số mở rộng của hàm lồi và ứng dụng” có ý nghĩa khoa học và

thực tiễn, với một hệ thống kiến thức được trình bày theo một hệ thống logic, cácbài tập phong phú sắp xếp theo một cách khoa học từ dễ đến khó Có thể nói rằngluận văn là tài liệu tham khảo bổ ích dành cho giáo viên dạy toán trong việc dạy vềphần mở rộng của hàm lồi và các ứng dụng, góp phần nâng cao chất lượng dạy vàhọc

3/ Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài.

Trong thời gian tới, chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu và đi sâu tìmhiểu nhiều hơn nữa về các mở rộng của hàm lồi như m- lồi, hàm (s, m)- lồi,…vàcác ứng dụng của chúng

TS Phan Đức Tuấn Võ Thị Ánh Ly

Name of thesis: Some Extensions Of Convenient Functions And Applications Major: Primary Math Method.

Full name of Master Student:Vo Thi Anh Ly.

Supervisor: Phan Duc Tuan Ph.D.

Training institution: Da Nang University

The University of Pedagogy.

1 / The main results of the thesis.

The theory of convex sets and convex functions has an important place inmathematics related to almost all branches such as convex analysis, functionalanalysis, geometry, econometrics, optimization and especially applications used toprove inequalities in the program of fostering good students in high school math.With such an important position in mathematics, the study of convex functions hasalways been an interesting topic, receiving a lot of attention from mathematicians.Problems related to convex functions constantly arise and have many beautiful

results, with high application value in practice Today, mathematicians don’t just

stop at studying topics on convex hams and developing extensions of convexfunctions to get better results Under the guidance of teacher Phan Duc Tuan Ph.D,

I chose the topic “Som extensions of convenient functions and applications” tocarry out my master’s thesis

The goal of the research topic of the thesis is to systematically present theconcepts, properties and applications of convex functions Study the extensions ofconvex functions and their applications

The research method of the topic is to refer to the sources of documents,scientific articles

The structure of the thesis includes: introduction main body, conclusion andreferences The main body of the thesis consists of two chapters:

Chapter 1: Preparatory knowledge

Chapter 2: Extensions of convex functions and their applications

2 / The scientific and practical significance of the thesis.

The topic “Som extensions of convex functions of convex functionsand applications” has scientific and practical significance, with a system of

knowledge presented in a logical system, rich exercises arranged in a scientificway from easy to difficult It can be said that the thesis is a useful reference formath teachers in teaching about the extension of convex functions and theirapplications, contributing to improving the quality of teaching and learning

3 / Further research directions of the thesis

about the extensions of convex functions such as m- convex, (s, m)- convex

functions,… and their applications

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện 3

1.2 Hàm lồi và hàm lõm 4

1.2.1 Định nghĩa hàm lồi 4

1.2.2 Các phép toán trên hàm lồi 5

1.2.3 Sự liên tục của hàm lồi 7

1.3 Các ứng dụng của hàm lồi 9

1.3.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển 9

1.3.2 Áp dụng hàm lồi chứng minh các bất đẳng thức đại số 18

1.3.3 Áp dụng hàm lồi chứng minh các bất đẳng thức hình học 20 1.3.4 Chứng minh các bất đẳng thức tích phân 24

Chương 2 MỞ RỘNG HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG 26

2.1 Một số mở rộng của hàm lồi 26

2.1.1 Hàm tựa lồi 26

2.1.2 Hàm lồi mạnh 32

2.1.3 Hàm s−lồi 38

2.1.4 Hàm h− lồi 43

2.1.5 Hàm GA− lồi 46

2.1.6 Hàm lồi hình học 49

2.2 Ứng dụng mở rộng của hàm lồi 57

2.2.1 Ứng dụng của hàm tựa lồi 57

2.2.2 Ứng dụng hàm lồi mạnh [5] 58

2.2.3 Ứng dụng của hàm s−lồi [6] 59

2.2.4 Ứng dụng hàm h− lồi [9] 62

2.2.5 Ứng dụng của hàm GA− lồi 64

2.2.6 Ứng dụng hàm lồi hình học 66

Kết luận 69Tài liệu tham khảo 70

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các tập lồi và hàm lồi có một vị trí quan trọng trong toánhọc, liên quan đến hầu hết các ngành như giải tích lồi, giải tích hàm, hìnhhọc, toán kinh tế, tối ưu hóa và đặc biệt là ứng dụng để chứng minhcác bất đẳng thức trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán phổthông Với một vị trí quan trọng như vậy trong toán học, việc nghiên cứu

về các hàm lồi vẫn luôn là một đề tài thú vị, nhận được rất nhiều sự quantâm của các nhà toán học Các vấn đề liên quan đến hàm lồi không ngừngnảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, có giá trị ứng dụng cao trong toán học

và trong thực tế Ngày nay, các nhà toán học không chỉ dừng lại ở việcnghiên cứu các đề tài về hàm lồi và phát triển các mở rộng của hàm lồi

để có được những kết quả tốt hơn Được sự hướng dẫn của thầy giáo TS.Phan Đức Tuấn, tôi đã chọn đề tài “Một số mở rộng của hàm lồi và ứngdụng” để thực hiện luận văn Thạc sĩ của mình

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống cáckhái niệm, tính chất và ứng dụng của hàm lồi Từ đó, nghiên cứu sâu hơnđến các mở rộng của hàm lồi và ứng dụng của chúng Tôi kỳ vọng rằngkết quả nghiên cứu sẽ giúp tôi có kiến thức sâu, rộng hơn về lý thuyết cáchàm lồi và các ứng dụng của chúng

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Trình bày lại một cách có hệ thống các khái niệm, tính chất và ứngdụng của hàm lồi

- Nghiên cứu các mở rộng của hàm lồi và ứng dụng của chúng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Hàm lồi và các mở rộng của hàm lồi

3.2 Phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, tôi tập trung nghiên cứuhàm lồi, các mở rộng của hàm lồi và ứng dụng

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo các nguồn tài liệu, các bài báo khoa học;

- Tham khảo ý kiến chuyên gia;

- Phương pháp phân tích và tổng hợp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Kết quả nghiên cứu sẽ giúp tôi có kiến thức sâu, rộng hơn về lý thuyếtcác hàm lồi và các ứng dụng của chúng Hơn thế, sau khi luận văn hoànthành sẽ cung cấp thêm nguồn tư liệu tham khảo về lý thuyết hàm lồi vàcác mở rộng của hàm lồi

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn được chiathành hai chương Chương 1, trình bày các khái niệm, một số tính chấtcủa tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi và hàm lõm và các ứng dụng của hàmlồi Chương 2, trình bày các định nghĩa, ví dụ và tính chất của các hàmlồi mở rộng: hàm tựa lồi, hàm s- lồi, hàm lồi mạnh, hàm h- lồi, GA- lồi,hàm lồi hình học, và trình bày các ứng dụng của các hàm lồi mở rộng

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện

Giả sử C là một tập trong một không gian vector thực hay phức Cđược gọi là lồi nếu với mọi x và y thuộc C và với mọi t trong khoảng [0, 1],điểm

(1 − t)x + tycũng thuộc C

a) co A = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}

b) C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C, tức là

dim C := dim Aff(C)

c) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA cũng lồi.Định nghĩa 1.1.1 (Tập đa diện) [[1]] Nếu P ⊆ Rn là giao của một số hữuhạn các nửa không gian đóng thì P dươc goi là môt tập đa diện (polyhedralset)

Bổ đề 1.1.1 ([1]) Tập đa diện là một tâp lồi (Vì là giao của m tập lồi)

Do tính chất này nên ta thường quen gọi tập đa diện là tập lồi da diện(poly-hedral convex set)

Một tập lồi đa diên có thể không bị chăn Một tập lồi đa diện bị chăncòn được gọi là một đa diện lồi (polytope) Các đa giác lồi theo nghĩathông thường trong măt phẳng (tam giac, hình chữ nhật, hình thang, )

là nhũng ví dụ cụ thể về đa diện lồi

α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức dưới của hàm f tương ứng với mức

Mệnh đề 1.2.1 ([1]) Nếu f lồi thì dom f lồi

Mệnh đề 1.2.2 Nếu f lồi thì C(f ; α) lồi với mọi α ∈ R

Mệnh đề 1.2.3 ([1]) Cho f : X → (−∞, +∞] Lúc đó,

f lồi ⇔ f (λx+(1−λ)y) ≤ λf (x)+(1−λ)f (y); ∀x, y ∈ X; ∀λ ∈ (0, 1) Mệnh đề 1.2.4 (Bất đẳng thức Jensen) [[1]] Cho f : X → (−∞, +∞].Lúc đó,

Một ví dụ đơn giản của hàm lồi là hàm chỉ; Cho C là tập con của X,

Mệnh đề 1.2.5 ([1]) Cho hàm thuần nhất dưong f : X → (−∞, +∞]

Ba phát biểu sau là tương đương

1.2.2 Các phép toán trên hàm lồi

Mệnh đề 1.2.8 ([1]) Cho hàm lồi f : X → R và hàm lồi không giảm

Ta thấy mỗi hàm f trên X xác định một tập hợp epi f ⊂ X × R Bâygiờ, với mỗi tập F ⊂ X × R cho trước, ta xét hàm tương ứng fF trên Xđược định nghĩa như sau

Cho họ hàm fα : X → R, α ∈ I Ta gọi cận trên và cận dưới của họhàm này lần lượt là các hàm

1.2.3 Sự liên tục của hàm lồi

Cho f : X → R f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x0 nếu

Mệnh đề 1.2.18 ([1]) ¯f (cof ) là hàm đóng (lồi đóng) lớn nhất trong sốcác hàm đóng (lồi đóng) non hơn f Hơn nữa,

epi ¯f = epi f ; epi(¯cf ) = co(epi f )

Chú ý: co ¯f không nhất thiết là hàm đóng và do đó, nói chung co ¯f 6=cof

Mệnh đề 1.2.19 ([1]) Một hàm lồi, đóng, không chính thường thì khôngnhân giá trị hũu han nào

Mệnh đề 1.2.20 ([1]) a) f đóng khi và chi khi f = ¯f

b) Nếu f lồi thì ¯f lồi và do đó cof = ¯f

c) Nếu f1, f2 đóng thì f1+ f2 đóng

d) Nếu fα đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα đóng

e) Nếu fα lồi, đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα lồi, đóng

b) Sự liên tục của hàm lồi

Một hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 nếu tồn tại một lâncận gốc lồi, cân đối V và hằng số K > 0 sao cho

|f (x) − f (x0)| ≤ KpV (x − x0) ; ∀x, x0 ∈ x0+ V

f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập mở U ⊂ X nếu nó Lipschitzđịa phương tại mọi điểm thuộc U Dẽ thấy các định nghĩa này không phụthuộc vào lân cận V được chọn và, khi X là không gian định chuẩn, tanhận được định nghĩa hàm Lipschitz thông thường bằng cách chọn V làhình cầu đơn vị

Định lý 1.2.21 ([1]) Cho f lồi chính thường, các phát biểu sau là tươngđương

a) f liên tục tai một điểm ¯x ∈ X

b) f bị chăn trên trong một tập lồi mở khác rồng nào đó

c) Int( epi f ) 6= ∅.

d) Int(dom f ) 6= ∅ và f Lipschitz địa phương trên Int(dom f )

e) Int(dom f ) 6= ∅ và f liên tục tại mọi điểm thuộc Int(dom f )

1.3 Các ứng dụng của hàm lồi

1.3.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển

Trong bất đẳng thức thì lớp bất đẳng thức kinh điển đóng vai trò quantrọng, là cơ sở để chứng minh rất nhiều các bất đẳng thức khác Các loạibất đẳng thức này hay gặp nhất(dưới dạng tường minh hay không tườngminh) trong đại số Các bất đẳng thức kinh điển thường gặp là bất đẳngthức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức Holder, Bấtđẳng thức Mincopxki, bất đẳng thức Karamata, Bất đẳng thức liên hệgiữa trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình toàn phương và trungbình điều hòa

1 Tồn tại ai = 0(1 ≤ i ≤ n) Khi đó bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Pn j=1b2j, i = 1, n.

b21 + b

2 2

a22

b22 + + b

2 n

a2n

b2 n



(a1b1+ a2b2+ + anbn)2 ≤ a21+ a22+ + a2n
b21+ b22+ + b2n
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn.

b2

+ + a

2 n

f (λ1x1+ λ2x2+ + λnxn) ≤ λ1f (x1) + λ2f (x2) + + λnf (xn) Suy ra

b1

+ a

2 2

b2

+ + a

2 n

b2

+ + a

2 n

Pn j=1bqj; xi = aib

Pn j=1bqj =

1

Pn j=1bqj

Pn j=1bqj

Pn j=1bqj ⇔

e) Bất đẳng thic Mincopxki [[1]] Cho hai dãy số a1, a2, , anvà b1, b2, , bn





 6ln



1 + b1

a 1

+ ln



1 + b2

a 2

+ + ln

s(a1+ b1) (a2+ b2) (an + bn)

a1· a2 an





a1· a2 an .Suy ra

!.Do

P

j6=ixj

Pn j=1xj

f (0).(1.5)Cho i = 1, n ta có n bất đẳng thức dạng (1.5) Cộng vế với vế của nbất đẳng thức trên ta được

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Pn

i=1xi = 0 hay xj = 0 (j = 1, m)

Xét hàm số f (x) = ex suy ra f00(x) = ex > 0 với mọi x ∈ R.

Suy ra f (x) lồi trên R

f (ln a + ln b) ≤ 1

pf (p ln a) +

1

qf (q ln b)hay

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x0 = a1; x1 = a2; x2 = a3

Chứng minh Trước hết ta chứng minh mọi x ∈ R thì

f (x) ≥ f (a1) + (x − a)f0(a1) (1.8)

Thật vậy

+) Nếu x > a1 xét hàm số f (x) trên đoạn [a1; x] Theo giả thiết f (x)liên tục trên đoạn [a1; x] , f (x) khả vi trên khoảng (a1; x) Do đó theo định

lý Lagrange tồn tại ξ1 ∈ (a1; x) sao cho f (x) − f (a) = (x − a)f (ξ1)

Do f00(x) > 0(∀x ∈ R) nên f0(x) là hàm đồng biến nên từ ξ1 > a1 ta có

f0(ξ1) > f0(a1)

Mặt khác x − a1 > 0 ⇒ (x − a1) f0(ξ1) > (x − a1) f0(a1)

Suy ra f (x) − f (a1) = (x − a1) f0(ξ1) > (x − a1) f0(a1)

Hay f (x) > f (a1) + (x − a1) f0(a1) suy ra (1) đúng với ∀x > a1

+) Nếu x < a1, xét hàm số liên tục trên đoạn [x; a1]

Theo giả thiết f (x) liên tục trên [x; a1], khả vi trên [x; a1], theo định lýLagrange tồn tại ξ2 ∈ (x, a1) sao cho f (a1) − f (x) = (a1− x) f0(ξ2).Tương đương

Từ (1.8), (1.9), (1.10) ta có

f (x0) + f (y0) + f (z0) > f (a1) + f (a2) + f (a3) + (x0− a1) f0(a1)

+ (x0− a2) f0(a2) + (x0− a3) f0(a3)+ (x0− a2) f0(a2) + (x0− a3) f0(a3) Mặt khác, ta có

f (a1) + f (a2) + f (a3) + (x0− a1) f0(a1) + (x0− a2) f0(a2) + (x0− a3) f0(a3)

= f (a1) + f (a2) + f (a3) + (x0− a1) f0(a1) + (y0− a2) f0(a2)

+ (z0− a3) f0(a3) + (x0− a1) f0(a3) − (y0− a2) f0(a3) + (x0− a1) f0(a2)+ (y0− a1) f0(a2) − (x0− a1) f0(a2) + (x0− a3) f0(a1)

V P (5) ≥ f (a1) + f (a2) + f (a3) (1.12)

Từ (1.11) và (1.12) ta có

f (x0) + f (y0) + f (z0) ≥ f (a1) + f (a2) + f (a3) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x0 = a1; y0 = a2; z0 = a3

Vậy bất đẳng thức Karamatar được chứng minh

1.3.2 Áp dụng hàm lồi chứng minh các bất đẳng thức đại số

• Dựa vào bài toán chọn f(x) là hàm thích hợp;

aa + bb = aa + (1 − a)1−a = f (a) + f (1 − a) (1.14)

Áp dụng bất đẳng thức Jensen với hàm lồi f (x) trên (0, 1), ta có

12

=

r1

2.

Từ đó (theo (1.14))

aa + bb ≥ √2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.3.2 Cho a, b, c, d là những số thực dương thỏa mãn a+b+c+d = 1.Chứng minh rằng

= √23hay

4.Vậy bất đẳng thức được chứng minh

4.2 sin π

2x cos

π2x > 4 sin

π2xcos

π2xcos

π

x + 4 sin

π2x.

Suy ra

2 cos π2x > cos

π2xcos

π

x + 1.

Suy ra

cos π2x > 1 − 2 sin

2 π2xcos

π2x.Suy ra

sin π4x < sin

√2

π4xcos

π4x > 2

√2

2 sin

π4x =

√

2 sin π4x.Suy ra

sin π

xcos

π4x >

√2

sin π4x



√2

2 = sin

π4x.

Do đó (1.16) đúng suy ra (1.15) đúng Vậy (1) được chứng minh.ii) Từ chứng minh phần a ta có S4n− S2n < S2n − Sn

(b − a) ≤

f a + b

dt+

Trong tích phân thứ nhất ở vế phải của đẳng thức (1.21) ta thực hiện

phép biến đồi biến số t = −u Khi đó dt = −du và

Thay vào (1.21) ta được

:

a + b

12

 a + b

+ 12

 a + b



Vì f lồi trên [a, b] nên từ đó suy ra



f  a + b

2 + t

+ f a + b

.(1.23)

Chương 2

MỞ RỘNG HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Một số mở rộng của hàm lồi

2.1.1 Hàm tựa lồi

Định nghĩa 2.1.1 ([2]) Hàm f : [a, b] → R là hàm tựa lồi trên [a, b] nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}, ∀x, y ∈ [a, b] và λ ∈ [0, 1]

là hàm tựa lồi trên

Nhắc lại rằng f là hàm tựa lồi nếu ∀x, y ∈ X, ∀z ∈ [x, y] thì

Ví dụ 2.1.3 Xét hàm số f xác định trên R như sau :

(i) f là hàm lồi;

(ii) ∃x∗ ∈ ∂f (x) : hx∗, y − xi > 0 ⇒ f (z) ≤ f (y), ∀z ∈ [x, y]

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Trong trường hợp ∂f ⊂ ∂CRf

Giả sử x, y ∈ domf, x∗ ∈ ∂f (x) thoả mãn

f↑(x, y − x) ≥ hx∗, y − xi > 0

Vì vậy, tồn tại ε > 0 sao cho ∀n ∈  có thề tìm được xn ∈ B ε

n(x)

f (¯z) > f (x) với ¯z nào đó z ∈ (x, y)

Do tính chất tựa lồi của hàm f ,

hx∗n, y − xni > 0, ∀n ∈ 

Giả thiết (ii) kéo theo ∀n ∈ , mọi điểm zn ∈ (x, y] xác định bởi

zn = λx + (1 − λ)ythoả mãn

f (z) ≤ f (y)

Do đó theo tính chất nửa liên tục dưới ta có f (z) ≤ f (y)

Kết quả sau đây chỉ ra rằng một hàm liên tục hoặc liên tục radian (cónghĩa là liên tục trên mỗi đoạn ) hai tính chất (Q) và (QS) là tương đương.Mệnh đề 2.1.2 ([2]) Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới ∂ -trơn Mọi hàm liên tục radian, nưa liên tục dưới thoả mãn tính chất (Q)

Vì vậy, sử dụng tính chất nửa liên tục dưới của hàm f ta có

Nhắc lại, ánh xạ đa trị A : X → X∗ là tựa đơn điệu nếu ∀x, y ∈ X,

∃x∗ ∈ A(x) : hx∗, y − xi > 0 ⇒ ∀y∗ ∈ A(y) : hy∗, y − xi ≥ 0

Sự tương tự giữa tính chất tựa lồi của hàm và tựa đơn điệu của dưới viphân của nó đã được nghiên cứu trong [2] cho trường hợp ∂ ⊂ ∂CR

Mục đích của hai kết quả tiếp theo chỉ ra rằng

f là hàm tựa lồi ⇒ ∂f là tựa đơn điệu

và suy luận ngược lại là hệ quả của định lý 1.1

Mệnh đề 2.1.3 ([2]) Giả sử X là không gian Banach Khi đó dưới viphân Clarke − Rockafellar và dưới vi phân Dini trên của hàm tựa lồi

f : X →  ∪ {+∞} là tựa đơn điệu

Chứng minh Giả sử rằng f là hàm tựa lồi và giả sử

x, y ∈ dom∂CRf, x∗ ∈ ∂CRf (x)sao cho