4,0 điểm Cho tam giác ABCcân tại A.. M D, tương ứng là trung điểm của BC, AM.. Chứng minh rằng a ∆MHD: ∆CMD... Chứng minh rằng FB⊥ AC.
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1 (2,0 điểm)
Rút gọn biểu thức ( ) ( ) ( )
3
x y z xyz B
x y y z x z
=
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tìm số dư trong phép chia đa thức ( x+1) ( x+3) (x+5) ( x+ +7) 9
cho
2 8 12
x + x+
b) Tìm mọi số nguyên xsao cho
3 2 2 7 7
x − x + x−
chia hết cho
2 3
x +
Câu 3 (4,0 điểm)
Giải các phương trình:
a)
( )
3
b)
2
Câu 4 (4,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a)
b)
2 2
14 8 9
x x B
x x
=
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABCcân tại A M D,
tương ứng là trung điểm của BC, AM H
là hình chiếu của M trên CD AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E Chứng minh rằng a) ∆MHD: ∆CMD
Trang 2b) là trực tâm
Câu 6 (2,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M
là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo ACsao cho
· 90 0
BNM =
Gọi F là điểm đối xứng của A qua
N Chứng minh rằng FB⊥ AC.
Trang 3ĐÁP ÁN Câu 1 Ta có:
( ) ( ) ( )
3
3
2
2
*)
2
x y z xyz x y xy x y z xyz
x y z x y z x y z xy x y z
x y z x y z xz yz xy
x y z x y z xy xz yz xz yz xy
x y z x y z xy yz xz
x y y z x z
x xy y y yz z x xz z
x
= ( +y2 + +z2 xy yz xz− + )
Vậy
2
x y z x y z xy yz xz x y z
B
x y z xy yz xz
Câu 2.
a) Đặt f x( ) (= +x 1) (x+3) (x+5) (x+ +7) 9
Ta có: A= +( x 1) (x+7) (x+3) ( x+ +5) 9
Vậy số dư trong phép chia f x( )
cho
2 8 12
x + x+
là −6
b) Thực hiện phép chia đa thức
3 2 2 7 7
B x= − x + x−
cho
2 3
C x= +
, ta được:
Đa thức thương: x−2;
đa thức dư: 4x−1
Trang 4Suy ra : x −2x +7x− =7 (x +3) (x− +2) 4x−1
Do đó B xM( 2 + ⇔3) (4x−1 3)M( x2 +3 (1))
Vì 4x≠1vs 4x≠ −1
nên:
( ) ( ) ( )
2
2
49 ( 3)
x
M
M
Vì
2 3 3
x + ≥
nên xảy ra một tong hai trường hợp sau:
2 3 49,
x
• + =
không có giá trị nào thỏa mãn
x tm
=
Vậy x=2
Câu 3.
a) Đặt
( )
Ta có (pt đề) 3 3 ( )3
0
a b a b
( ) ( )
1
4 0
a b a b ab a b
ab a b
a
=
Trang 5Vậy
16 12; ;1 3
S = −
b) ĐKXĐ: x ≠ −1
2 2
( )
2 2 2
2 1
x x x x
+
2 2
2
2 0
VN
x x
Vậy S={ }1
Câu 4.
a) Áp dụng tính chất
,
a ≥a
dấu " "=
xảy ra ⇔ ≥a 0,
ta có:
Dấu “=” xảy ra ⇔3x+ ≥1 0
và
1
2 0
3
và x≥ −2
1 3
x
⇔ ≥ −
Vậy
1 min 6
3
b) Ta có
2 2
2 14 8 9 2
x x B
x x
2
2
Trang 6Với mọi x,
ta có: ( ) ( ) ( )
( )
2 2
1 2
x
x
−
Câu 5.
a) Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của ∆ABC
Mà ∆ABC
cân tại A (gt) nên AM là đường cao của ∆ABC
Xét ∆MHD
và ∆CMD
có:
MHD CMD= = MDH CDM=
( )
MHD CMD g g
b) ∆MHD: ∆CMD
(câu a)
HD HM HD HM
Vi MD AD CM BM
MD CM AD BM
Mặt khác ta có:
·ADH =900+·DMH =·BMH
Trang 7Suy ra
( )
HDA HMB c g c
Do đó:
AHD BHM= ⇒AHB DHM= = ⇒BH ⊥ AN
Kết hợp với AM ⊥BC⇒E
là trực tâm ∆ABN.
Câu 6.
Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E
Ta có: F
đối xứng với A qua N (gt)⇒N
là trung điểm của AF
Mà I là trung điểm của BF nên NI là đường trung bình ∆ABF
1 / / ,
2
NI AB NI AB
Mặt khác AB CD AB CD/ / ; =
(ABCD là hình chữ nhật và M là trung điểm của CD)
;
2
CD
AB⊥BC CM =
suy ra NI ⊥BC NI; / /CM
và NI CM=
⇒
Tứ giác CINM là hình bình hành ⇒CI / /MN
Trang 8Mà
·
MN ⊥BN BNM = ⇒CK ⊥ BN
tại K
Do đó I là trực tâm ∆BCN ⇒BF ⊥AC