Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BCtại F a Chứng minh : Diện tích tam giác AODbằng diện tích tam giác BOC b Chứng minh: AB CD+ = EF... c Gọi là điểm bất kỳ thuộc N
Trang 1ĐỀ BÀI Câu 1 ( 5 điểm) Tìm số tự nhiên nđể:
a)
A n= − + −n n
là số nguyên tố
b)
2
2
B
n
+ + + −
=
+
có giá trị là một số nguyên c)
D n= − +n
là số chính phương
Câu 2 (5 điểm) Chứng minh rằng:
a)
1
ab a +bc b +ac c =
biết abc =1 b) Với a b c+ + =0
thì 4 4 4 ( )2
2
a + + =b c ab bc ca+ +
c)
2 2 2
2 2 2
a b c c b a
b +c + a ≥ + +b a c
Câu 3 (5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
214 132 54
6
x− + x− + x− =
b) ( ) (2 )
2 8x x−1 4x− =1 9
c)
2 2 2 4 10 0
x −y + x− y− =
với
,
x y
nguyên dương
Câu 4 (5 diểm) Cho hình thang ABCD AB CD( / / )
, O là giao điểm hai đường
chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB
cắt DA
tại E, cắt BCtại F a) Chứng minh : Diện tích tam giác AODbằng diện tích tam giác BOC
b) Chứng minh:
AB CD+ = EF
Trang 2c) Gọi là điểm bất kỳ thuộc Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và
chia đôi diện tích tam giác DEF
Trang 3ĐÁP ÁN Câu 1.
a) A n= −3 n2 + − =n 1 (n2 +1) (n−1)
Để A là nguyên tố thì n− = ⇔ =1 1 n 2
Khi đó A=5
b)
2
2
2 3
2
B n n
n
= + −
+
B
có giá trị nguyên
2
2 n 2
⇔ M +
2 2
n +
là ước tự nhiên của 2
2 2
2 1
2 2
n n
+ =
⇒
+ =
2 1( )
0 ( )
= −
Vậy với n=0
thì B có giá trị nguyên
c)
2
Mà n n( −1) (n+1) (n−2) (n+2 5)M
(tích 5 số tự nhiên liên tiếp)
Và 5n n( −1) (n+1 5)M
Vậy D
chia 5 dư 2
Do đó D
có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương
Vậy không có giá trị nào của nđể D là số chính phương
Câu 2.
a)
2
1 1
ab a bc b ac c abc ac c abc abc ac ac c
b)
Trang 4( )
2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(Vì a b c+ + =0
)
2 ab ac bc 2 a b a c b c (2)
Từ (1) và (2) 4 4 4 ( )2
2
a b c ab ac bc
c) Áp dụng bất đẳng thức
2 2 2
x + y ≥ xy
Dấu bằng xảy ra khi
x y=
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a b a b a
b c b c c
a c a c c
b a b a b
c b c b b
a c a c a
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
Dấu " "=
xảy ra khi a b c= =
Câu 3.
a)
Trang 5( )
214 132 54
6
300 300 300
0
86 84 82
− + − + − =
⇔ − +÷ − ÷ + − ÷=
⇔ − + + ÷= ⇔ − = ⇔ =
Vậy S ={ }300
b)
2
2 8 1 4 1 9
64 16 1 8 2 9 64 16 1 64 16 72
Đặt
64 16
2
x − x+ =k
Ta có:
(k +0,5) (k −0,5) =72⇔k2 =72,25⇒ = ±k 8,5
Với k =8,5
ta có phương trình :
2
1 2
64 16 8 0 2 1 4 1 0
1 4
x
x
=
− − = ⇔ − + = ⇔ −
=
Với k = −8,5
ta có phương trình:
( )2 2
64x −16x+ = ⇔9 0 8x−1 + =8 0
(vô nghiệm)
Vậy
1 1
;
2 4
S = −
c) x2 −y2 +2x−4y−10 0= ⇔( x2 +2x+ −1) ( y2 +4y+ − =4) 7 0
Trang 6( ) ( ) ( ) ( )
Vì
,
x y
nguyên dương nên
x y+ + > − −x y
3 7
x y
⇒ + + =
và
3
1 1
1
x
x y
y
=
Phương trình có nghiệm dương duy nhất ( ) ( )x y; = 3;1
Câu 4.
a) Vì AB CD/ / ⇒S DAB =S CBA
(cùng đáy và cùng đường cao)
hay S AOD =S BOC
b) Vì
/ / EO AO
EO DC
DC AC
Mặt khác AB/ /DC
+
+
c) Dựng trung tuyến EM,
dựng EN / /MK N DF( ∈ )
Trang 7Kẻ đường thẳng KNlà đường phải dựng.
Chứng minh: S EDM =S EFM (1)
Gọi giao điểm của EM
và KNlà I thì S IKE =S IMN( )2
Từ (1) và (2) suy ra DEKN KFN
S =S