ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆNMôn thi: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1..
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn thi: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (3,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
12x +16x −5x−3
b) ( 2 )2 ( 2 ) 2
x − +x − x x − + +x x
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu
2 2 2
x + y + =z xy yz zx+ +
thì
x y z= =
b) Cho ba số a b c, ,
khác 0thỏa mãn :
2 2 2
2 2 2
Chứng minh rằng a b c= =
Câu 3 (4,0 điểm)
Giải các phương trình:
a)
2x− +1 2x− =5 4(1)
b)
( 2 )
2
x
−
Câu 4 (4,0 điểm)
a) Cho
, 0
x y>
thỏa mãn
2
x y+ =
Chứng minh rằng :
2 2
8
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2015 , 3
A x
=
− với xlà số nguyên
Câu 5 (6,0 điểm)
Trang 2Cho hình thang ABCD AB CD AB CD( / / , < ).
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt ACở F và cắt CD ở I Chứng minh rằng:
a) DK CI=
b) EF / /CD
c)
2
AB =CD EF
ĐÁP ÁN Câu 1.
a)
3 2
2
2 2
6 2 1 11 2 1 3 2 1
2 1 6 11 3
2 1 3 2 3 2 3
2 1 3 1 2 3
b) A=( 2 )2 ( 2 ) 2
x − +x − x x − + +x x
Đặt
, ta có:
Trang 3( ) ( )
2
2
1
Câu 2.
a) Ta có:
2 2 2
x + y + =z xy yz zx+ +
0 (1)
Ta có: ( )2 ( )2 ( )2
x y− ≥ y z− ≥ z x− ≥
Do đó
( )
0
0
x y
z x
− =
− =
2 2 2
2 2 2
4 2 4 2 4 2 2 2 2
a c b a c b abc a c c a b c
Đặt
2 , 2 , 2
x a c y b a z c b= = =
Ta được:
2 2 2
x + y + =z xy yz zx+ +
Áp dụng kết quả câu a ta được:
0
( )
a c b a c b ac b bc a ab c
a b c dfcm
⇒ = =
Trang 4Câu 3.
a) 2x− +1 2x− =5 4 1( )
Ta có:
( )
1 2 1 5 2 2 1 5 2
2 1 5 2 0
(Áp dụng tính chất:
0
a b+ = + ⇔a b ab≥
)
2 x 2
⇔ ≤ ≤
b)
( 2 )
2
x
−
(1) ĐKXĐ: x ≠ ±2
3 2
50 350 300 0
0 ( )
1 ( )
6 ( )
=
=
Câu 4.
a) Bài toán phụ : Chứng minh rằng
2 2 1
(1) 2
a + ≥b a b+
Trang 5Chứng minh ( )1 ⇔2a2 +2b2 ≥a2+2ab b+ 2
Áp dụng bài toán phụ (1) ta có:
2
2
(2)
Mà
(vì
2)
x y+ =
Với
, 0
x y >
ta có:
0
4
x y
xy +
< ≤
(vì ( )2 ( )2
2
2 2
Vi x y
2
16 (3)
Từ (2) và (3) suy ra :
2 2
8
b)
2015
5
B
x
=
− với xlà số nguyên Xét
x > ⇒ − > ⇒ >x B
Xét
3
x <
thì do x∈¢
nên x ∈{0;1;2}
+Khi
Trang 6+Khi
+Khi
Vậy minB= −2015⇔ = ±x 2
Câu 5.
a) Tứ giác ABCK có:
/ / / / ,
AB CK AB CD K CD∈
; AK / /BC gt( )
ABCK
⇒
là hình bình hành⇒CK =AB
DK CD CK CD AB
(1) Chứng minh tương tự , ta có: DI = AB
(2)
IC CD DI CD AB
Từ (1) và (2) suy ra DK =IC
b) ∆DEK
có AB DK/ / , theo hệ quả định lý ta let ta có:
EK = DK
(3)
Trang 7∆
có AB / /IC, theo hệ quả định lý Ta let ta có :
(4)
AF AB
FC = IC
Mà DK =IC
(câu a) (5)
Từ (3) (4) (5) suy ra
AE AF
EK = FC
AKC
∆
có
/ /
AE AF
EF KC
EK = FC ⇒
(Định lý Ta let đảo)⇒EF / /CD
c) Ta có:
AB CK
CD = CD
(vì
)
AB CK=
(6)
BCD
∆
có EK / /BC,
theo định lý Ta let ta có:
(7)
CD = BD
BDI
∆
có EF / /DI, theo định lý Ta let
BE EF
BD = DI
mà DI = AB
Suy ra
(8)
BE EF
BD = AB
Từ (6), (7), (8)
2
AB EF
AB CD EF