023 đề hsg toán 8 huyện

Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DAtại E, cắt BC tại F a Chứng minh : Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC b Chứng minh: AB CD EF c Gọi K là điểm bất kỳ thuộc OE

ĐỀ BÀI

Câu 1 ( 5 điểm) Tìm số tự nhiên n để:

a) A n 3  n2   là số nguyên tốn 1

b)

2

2

B

n



 có giá trị là một số nguyên c) D n 5 n là số chính phương.2

Câu 2 (5 điểm) Chứng minh rằng:

ab a  bc b  ac c   biết abc 1

b) Với a b c   thì 0 a4 b4 c4 2ab bc ca  2

c)

b c  a  b a  c

Câu 3 (5 điểm) Giải các phương trình sau:

a)

6

b) 2 8x x  1 4 2 x 1 9

c) x2  y2 2x 4y 10 0 với ,x y nguyên dương.

Câu 4 (5 diểm) Cho hình thang ABCD AB CD , O là giao điểm hai đường  / / 

chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DAtại E, cắt BC tại F

a) Chứng minh : Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC

b) Chứng minh:

AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kỳ thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và . chia đôi diện tích tam giác DEF

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) A n 3  n2  n 1n2 1 n 1

Để A là nguyên tố thì n 1 1  n Khi đó 2 A 5

b)

2

2

2 3

2

n

  



B có giá trị nguyên  2n2 2

n  là ước tự nhiên của 2

2 2

2 1

2 2

n n

  

 

 



0 ( )

 

 



 Vậy với n  thì B có giá trị nguyên.0

c)

2

Mà n n  1 n1 n 2 n2 5 (tích 5 số tự nhiên liên tiếp)

Và 5n n  1 n   Vậy D chia 5 dư 21 5

Do đó D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương.

Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương.

Câu 2.

a)

2

1 1

 

b)

(Vì a b c   )0

   2 2 2 2 2 2

Từ (1) và (2)  a4 b4c4 2ab ac bc  2

c) Áp dụng bất đẳng thức x2 y2 2xy Dấu bằng xảy ra khi x y

2 2

2 2

2 2

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

Dấu " " xảy ra khi a b c 

Câu 3.

a)

6

0

86 84 82

        

Vậy S 300

b)

2

2 8 1 4 1 9

Đặt

64 16

2

x  x k

Ta có:

k 0,5 k  0,5 72 k2 72,25 k 8,5

Với k 8,5ta có phương trình :

2

1 2

1 4

x

x









 



Với k 8,5 ta có phương trình:

 2

2

64x  16x  9 0 8x 1   (vô nghiệm)8 0

Vậy

1 1

;

2 4

S   

c) x2  y2 2x 4y 10 0  x2 2x1  y24y4 7 0

x 12  y 22 7 x y 1 x y 3 7

Vì ,x y nguyên dương nên x y   3 x y 1

3 7

x y

    và

3

1 1

1

x

x y

y





    



 Phương trình có nghiệm dương duy nhất x y ;  3;1

Câu 4.

I

F

E

O

K

a) Vì AB CD/ /  S DAB S CBA(cùng đáy và cùng đường cao)

DAB AOB CBA AOB

    hay S AOD S BOC

Mặt khác AB/ /DC

2 1 1 2



 c) Dựng trung tuyến EM dựng , EN / /MK N DF  

Kẻ đường thẳng KN là đường phải dựng.

Chứng minh: S EDM S EFM (1)

Gọi giao điểm của EM và KN là I thì S IKE S IMN 2

Từ (1) và (2) suy ra S DEKN S KFN