Đề Thi Thử Học Sinh Giỏi Lớp 9 Toán 2013 - Phần 2- Đề 15 pot

Gọi OH là khoảng... Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn O A, B là hai tiếp điểm.. Gọi D là giao điểm của AB với OH.. Chứng minh rằng D là điểm cố định.. -Thí sinh không được s

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÂM ĐỒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 1 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2011-2012

Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012

Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab –

3ab(a – b +1)

Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B = 1007 2013 1007 2013

Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 ( nZ )

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x - 2012.So sánh f(1- 2011) và

f(1- 2013)

Câu 5: (1,5điểm) Cho ABC có trung tuyến AM Chứng minh

:

2

AB AC 2AM

2

  

Câu 6 : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương

Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : 4 4 3 3

x y xy x y

Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =  2

2x3 2 2x36

Câu 9: (1,5điểm) Cho ABC có Aµ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh rằng:

BC  2R.sin A

Câu 10:(1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = 1

Câu 11:(1,5điểm) Cho ABC, ®­êng th¼ng d c¾t AB , AC vµ trung tuyÕn AM theo thø

tù tại E ,F,N

(EA,B và FA,C ).Chøng minh : AB AC 2AM

AE AF  AN

Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn Gọi OH

là khoảng

cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a Từ M kẻ hai tiếp tuyến

MA,MB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm) Gọi D là giao điểm của AB với

OH Chứng minh rằng D là điểm cố định

HẾT -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

- Giám thị không được giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

LÂM ĐỒNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP

9 NĂM HỌC 2011-2012

Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM

Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = 3 Tính giá trị của biểu thức: A= a2 (a+1) – b 2 (b – 1) +ab

– 3ab(a–b+1)

A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab

0,5đ

= (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2) 0,5đ

= (a–b)3+(a–b)2

0,5đ

= 33+32=36

0,5đ

Câu 2(2,0 điểm) B = 2014 2 2013 2014 2 2013

=

( 2013 1) ( 2013 1)

= 2013 1 2013 1

= -1 0,5đ

Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n 2 – 13n + 18 chia hết cho 6 ( nZ )

A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 0,5đ

Do n(n – 1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) 6 0,5đ

Mặt khác – 6n2 – 12n + 18 6 nên A 6 0,5đ

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2 -5)x- 2012.So sánh f(1- 2011)và

f(1- 2013)

Biến đổi (4m - m2 - 5) = m  22 1

 m  22 1 0

   hàm số y = f(x ) nghịch biến 0,5đ

Câu 5 : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Chứng minh

:

2

AB AC 2AM

2

  

Vẽ AHBC ,HBC c/m được AB2+AC2 = 2AH2+ BH2+ CH2 (1) 0,5đ

c/m được AH2 = AM2 - HM2

BH2 = BM2 -2BM HM+HM2

CH2 = HM2 -2HM CM+CM2

0,5đ

Từ (1),(2) 

2

AB AC 2AM

2

   0,5đ

Câu 6: (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương

Vì a + 13 và a – 76 là các số chính phương

Đặt a + 13 = 2

m , a – 76 = 2

n với m, n N

0,25đ

 m2 – n2 = 89 (m – n)(m + n) = 89

0,25đ

Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên m n 1

m n 89

 





 



 m 45

n 44











0,75đ

0,25đ

A

Câu 7 : (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : 4 4 3 3

x y xy x y (1)

(1)  x4y4 xy3x y3 x(x3- y3) – y(x3- y3) 0

0,5đ

(x-y)2(x2 + xy + y2)  0 0,25đ

(x-y)2

y 3y

2 4

  

  

  

 

Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =  2

2x3 2 2x3 6

C= 2x322 2x 3 6

0,25đ

Đặt t = |2x- 3| 0  C = t2 – 2t + 6

0,5đ

C = (t –1)2 + 5  5

0,25đ

 giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 5 khi t = 1x = 2 hoặc x = 1

0,5đ

Câu 9: (1,5điểm) Cho tam giác ABC có Aµ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng

minh

rằng:BC  2R sin A

Vẽ đường kính BD BCD vuông tại C 0,5đ

 BC = BD.sinD (1) 0,25đ

Ta có Aµ µD, BD = 2R (2) 0,5đ

Từ (1) và (2)  BC = 2R.sinA

0,25đ

Câu 10: (1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y 2 = 1

x2 – 2y2 = 1  (x-1)(x+1) = 2y2 0,5đ

Vì y nguyên tố và x+1 > x-1 nên chỉ xảy ra các trường hợp:

0,25đ

B

O

A

C D

1)



2

2

2

1 2

3

1 1

2

x

y x





   





 

(loại)

0,25đ 3) 2 3 1 2 1 2 x x y y x             

0,25đ Vậy (x;y) = (3;2) 0,25đ Câu 11: Cho ABC, ®­êng th¼ng d c¾t AB vµ AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù lµ E , F , N (EA,B và FA,C )Chøng minh : AB AC 2AM AE AF  AN KÎ BI, CS / /EF (I, S  tia AM) 0,25đ Ta cã: AB AI AC AS , AE  AN AF  AN 0,25đ AB AC AI AS ( ) AE AF AN AN     

0,25đ c/m BIM   CSM (cgc)  IM  MS

0,25đ AI AS   AI AI IM MS     2AM

0,25đ

Thay vµo (*) ta ®­îc (®pcm)

0,25đ

Câu 12: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) ( A,B là hai tiếp điểm) Gọi D là giao điểm của AB và OH Chứng minh rằng D là điểm cố định Gọi C là giao điểm của AB và OM Chứng minh được OC.OM = OD.OH 0,5đ

Lập luận OC.OM = OA2= R2

0,25đ

 OD.OH = R2 0,5đ

0,25đ

d

F N

E

I

S

M B

A

C

Chứng minh được : OD R

OH

D thuộc đoạn thẳng cố định OH nên D cố định 0,25đ

HẾT