Giao an boi duong HSG toan 7

Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: - Tớnh chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :... - Đọ

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

= n(n+ 1)(n+2) :3

1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 , 1

1

3

1 3

1 3

1 3

1 12 : 3

10 10

3 1

4

3 46 25

1 230 6

5 10 27

5 2 4

1 13

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

3 2 1 (

14 1 3

1 5 12 6

1 6

5 4

19

2 3

1 6 15 7

3 4 31

11 1

b) Chøng tá r»ng:

2004

1 2004

1

3

1 3

1 2

4

3 125 505

, 4 3

4 4 : 624 , 81

2

2 2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2004 2002

4 2 4 6

( 2012 ) ( 2012 )

( 2012 ) ( 2012 )

a

 th×

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

a

 Chøng minh r»ng:

2 2

2 2

d c

b a cd

b a d c

b a

HD : Xuất phát từ b a d c biến đổi theo các

d c b a b

d c b a a

d c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

a d b a

d c a d

c b d

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

z c

b a

y c

b a

b b

c b a

Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x x z x y y x y z z

Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

z z

x

y y

- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ; A A A,, 00

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A

Am = An  m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị

đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)

Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012  x = 2009 :2 (lấy)

Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) Nếu x  2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy)

Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2

Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối

Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x 1  x 3  x 5  x 7  8

HD : ta có x 2006y  0với mọi x,y và x  2012  0 với mọi x

Suy ra : x 2006y  x 2012  0 với mọi x,y mà x 2006y  x 2012  0

Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

+ Nếu m – n  2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà

VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9

HD : ta có x 2011y  0 với mọi x,y và (y – 1)2012  0 với mọi y

Suy ra : x 2011y  (y 1) 2012  0 với mọi x,y Mà x 2011y  (y 1) 2012  0

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

- Tính chất chia hết của một tổng , một tích

- ƯCLN, BCNN của các số

2 Bài tập vận dụng :

* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

5

x xy

2 2 2

5 p 2013 5  p q

HD : 5 2p  2013 5  2p2 q2  2013  q2  25p2  25p  2013  q2  25 (25p p 1)

Do p nguyên tố nên 2013  q2  25 2 và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q

Bài 5 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho: 2 n 1 chia hÕt cho 7

HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7

Với n  3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( k N *)

Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A  7

Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khôngchia hết cho 7

Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 khôngchia hết cho 7 Vậy n = 3k với k N *

* Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết:

* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

* a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

*A 2n

 0 với mọi A, - A 2n

 0 với mọi A

* A   0, A ,  A   0, A

* A B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

* A B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

2 Bài tập vận dụng:

* Dạng vận dụng đẳng thức : a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

Và a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:



khi x =

2

b a

Vậy Max B = 1 khi x = 1

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:





* Dạng vận dụng A 2n  0 với mọi A, - A 2n  0 với mọi A

Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :

1 ( 2 ) 0

Bài 3 : Tỡm GTLN của R = 2 4

2013 (x 2)  (x y )  3

Bài 4 : Cho phân số: 34  52

x

x

C (x  Z)a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó

A B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

A B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

Bài 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

Suy ra B  (x 2010  2012  x)  x 2011  2 Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra dấu “=” hay ( 2010)(2012 ) 0 2011

2011 0

x x

( 1)(100 ) 0 1 100 ( 2)(99 ) 0 2 99

HD : + Nếu m + n chia hết cho p  p m (  1) do p là số nguyên tố và m, n  N*

A cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?

b) Chøng minh r»ng: A 36  38 41 33 chia hÕt cho 7

 chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng

b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z)

Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a 2b 17  10ab 17 (a, b  Z )

b) Cho đa thức f(x) ax2bxc (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

HD a) ta cú 17a – 34 b  17 và 3a + 2b  17  17a 34b 3a 2 17b  2(10a 16 ) 17b 

 10a 16 17b vỡ (2, 7) = 1  10a 17b 16 17b  10a b  17

b) Ta cú f(0) = c do f(0)  3  c 3

f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hếtcho 3  2 3b  b 3 vỡ ( 2, 3) = 1

HD : b) ta cú (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- 1 chia hờt cho 3 và 2 n 1 là

số nguyên tố (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số

Bài 2 Chứng minh rằng : a b  2 ab (1) , a b c   3 3 abc (2) với a, b, c  0

HD : a b  2 ab  (a b )2 4ab a2 2ab b 2  4ab a2 2ab b 2  0 (a b )2  0(*)

Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng

Bài 3 : Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng

z y

y z

y x x

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0 Chøng minh r»ng: abbcca 0

 ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)

Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2  0

Bài 3 Cho đa thức f(x) ax2bxc với a, b, c là các số thực Biết rằng f(0); f(1); f(2)

có giá trị nguyên Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên

HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c

Do f(0) ,f(1), f(2) nguyờn  c , a + b + c và 4a + 2b + c nguờn

 a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyờn  2a , 2b nguyờn

Bài 4 Chứng minh rằng: f(x)ax3bx2cxd có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi

và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d

Nếu f(x) cú giỏ trị nguyờn với mọi x  d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là cỏc sốnguyờn Do d nguyờn  a + b + c nguyờn và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2bnguyờn  2b nguyờn  6a nguyờn Chiều ngược lại cm tương tự

Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:

- Tớnh chất đại lượng tỉ lệ thuận :

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :

- Đọc kỹ đề bài , từ đú xỏc định cỏc đại lượng trong bài toỏn

- Chỉ ra cỏc đại lượng đó biết , đại lượng cần tỡm

- Chỉ rừ mối quan hệ giữa cỏc đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)

- Áp dụng tớnh chất về đại lượng tỉ lệ và tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để giải

Bài 1 : Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng Trờn hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờnbốn cạnh là 59 giõy

Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A

trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau

Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đợc nửa quãng

đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút

Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Bài 4 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A Vận

tốc An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?

Bài 5 : Ba đội cụng nhõn làm 3 cụng việc cú khối lượng như nhau Thời gian hoàn

thành cụng việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày Biờt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ

là 2 người và năng suất của mỗi cụng nhõn là bằng nhau Hỏi mỗi đội cú bao nhiờucụng nhõn ?

Bài 6 : Ba ụ tụ cựng khởi hành đi từ A về phớa B Vận tốc ụ tụ thứ nhất kộm ụ tụ thứ

hai là 3 Km/h Biết thơi gian ụ tụ thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quóng đường ABlần lượt là : 40 phỳt, 5

8 giờ , 5

9 giờ Tớnh vận tốc mỗi ụ tụ ?

PHẦN HèNH HỌC

I Một số phương phỏp chứng minh hỡnh hoc

1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó

- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân

- Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng

- Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng

2.Chứng minh hai góc bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó

- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân

- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị

- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác

3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

P 2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)

- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm

- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3

- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao

4 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

P 2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo

- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc

- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao

5 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )

P 2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác

6 So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :

P 2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan

hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác

- Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên

Có : BAE 90 0 BAC DAC  

* Gọi I là giao điểm của AB và CD

a) Ta có BAE 90 0 BAC DAC    DAC BAE  , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt)

Suy ra ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c)  DC = BE

b) Gọi I là giao điểm của AB và CD

1

1 2

1 K

Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn, vậy nếu cú

∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn , Từ B kẻ BK CD tại D thỡ ba điểm E, K, B thẳng hàng

Ta cú bài toỏn 1.2

Bài 1 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Từ B kẻ BK CD tại KChứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng

HD : Từ bài 1 chứng minh được DC BE mà BK CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng

Phõn tớch tỡm hướng giải

HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC

Để CM MA BC  ta cần CM ∆AHC vuụng tại H

 Để CM ∆AHC vuụng tại H ta cần tạo ra 1 tam giỏc

C

E

D

B A

 EAD ADN    180 0( cặp gúc trong cựng phớa) mà EAD BAC    180 0  BAC ADN

Xột ∆ABC và ∆DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN và BAC ADN ( chứng minh trờn )  ∆ABC = ∆DNA (c.g.c)  N 1ACB

Xột ∆AHC và ∆DQN cú : AC = DN , BAC ADN và  

1

 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ∆AHC vuụng tại H hay MA BC

* Khai thỏc bài toỏn 1.3

+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MABC , ngược lại

nếu AH BC tại H thỡ tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta cú bài toỏn 1.4

Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE

HD : Từ bài 1.2 ta cú định hướng giải như sau:

Kẻ DQ  AM tại Q, ERAM tại R

Ta cú : + DAQ HBH   ( Cựng phụ BAH )

AD = AB (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

 DQ = AH (1)

+ACH  EAR ( cựng phụ CAH )

AC = AE (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

+ Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MADE , ngược lại

nếu H là trung điểm của BC thỡ tia KA sẽ vuụng gúc với DE, ta cú bài toỏn 1.4

Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H trung điểm của

BC

Chứng minh rằng tia HA vuụng gúc với DE

HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toỏn 1.4

Trờn tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’

Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)

 A’B = AC ( = AE) và HAC HA B   '

Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7

2 1 R

1 Q

H M

C

E

D

B A

 AC // A’B  BAC ABA  ' 180  0 ( cặp gúc trong cựng phớa)

Mà DAE BAC    180 0  DAE ABA'

Xột ∆DAE và ∆ABA’ cú : AE = A’B , AD = AB (gt)

DAEABA  ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)

 ADE B  AA ' mà ADE B  AA ' 90  0  ADE MDA   90 0

Suy ra HA vuụng gúc với DE

Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia

đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D

và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay

b) Để Cm Đờng thẳng BC cắt MN tại trung

điểm I của MN  Cần cm IM = IN



Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)

c) Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với

đường thẳng vuụng gúc với MN kẻ từ I  Cần cm O là điểm cố định

Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia

AC lấy điểm N sao cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN tại I

Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của MN

b) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi

Bài 3 : Cho ∆ABC vuụng tại A, K là trung điểm của cạnh BC Qua K kẻ đường

thẳng vuụng gúc với AK , đường thẳng này cắt cỏc đường thẳng AB và AC lần lượt ở

D và E Gọi I là trung điểm của DE

a) Chứng minh rằng : AI  BC

b) Cú thể núi DE nhỏ hơn BC được khụng ? vỡ sao?

*Phõn tớch tỡm lời giải

a) Gọi H là giao điểm của BC và AI

K I H A

C

E

Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC Đường thẳng đi

qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E

BME cã E1 lµ gãc ngoµi suy ra   

hay 2BME  ACB B  (®pcm)

Từ AHEAHF Suy ra AE = AF và  

Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn Trên tia đối của tia

AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE =

AC

a) Chứng minh rằng : BE = CD

b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB Chứng minh M,A,N thẳng

hàng

c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B

và C trên tia Ax Chứng minh BH + CK  BC

d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất

M E

D B

A

F