Trêng thcs song mai TRƯỜNG THCS BẮC SƠN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN GV Đặng Thị Hòa ****** CHUYÊN ĐỀ ***** NHẬN DẠNG VÀ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐẠI SỐ LỚP 8 I LÍ DO CHỌN CHU[.]
Trang 1TRƯỜNG THCS BẮC SƠN
TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN
GV: Đặng Thị Hòa
****** CHUYÊN ĐỀ *****
NHẬN DẠNG VÀ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP PHÂN TÍCH ĐA
THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐẠI SỐ LỚP 8
I LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ:
1 Cơ sở lí luận:
Toán học là một ngành khoa học có vai trò rất quan trọng trong các ngành khoa học khác và trong thực tế
Môn toán ở bậc trung học cơ sở gồm có Số học, Đại số và Hình học, trong
đó Đại số được xem là một trong những môn học mà học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc lĩnh hội kiến thức, đặc biệt là việc áp dụng kiến thức vào để làm bài tập Một nội dung cơ bản và không thể thiếu được trong chương trình Đại số nói chung và chương trình Đại số lớp 8 nói riêng đó là việc học các tiết luyện tập Vì vậy, để học tốt môn Đại số học sinh cần phải nắm chắc và áp dụng tốt kiến thức thông qua các tiết luyện tập
2 Cơ sở thực tế:
Trên thực tế việc giảng dạy cho tiết học môn Đại số nói chung và việc giải các bài tập môn Đại số nói riêng là một hình thức chủ yếu của việc học toán Đặc biệt đối với học sinh lớp 8, việc học tốt môn Đại số và làm thành thạo các dạng bài tập đại số lớp 8 là một vấn đề hết sức quan trọng Vì nó là nền tảng giúp các em lĩnh hội kiến thức chương trình toán học 9 một cách dễ dàng và thuận lợi hơn
Khi áp dụng chuyên đề này trong quá trình giảng dạy luyện học sinh rất thích thú ,không tỏ thái độ thờ ơ với tiết luyện tập , vì bản thân GV cũng đã có sự chuẩn bị bài tập ,các ví dụ rất đa dạng , có nhiều bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa được về cùng kết quả của bài toán
Trang 2Chính vì những lí do nêu trên và những kinh nghiệm có được trong quá trình
giảng dạy là cơ sở để tôi đưa ra chuyên đề: “Phương pháp và giải một số
dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử đại số lớp 8 ”.
II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ:
1 Bản chất của việc luyện tập:
Luyện tập và thực hành giải toán nhằm củng cố, bổ sung, làm vững chắc thêm các kiến thức lí thuyết Trong luyện tập, người ta nhấn mạnh tới việc lặp lại với mục đích học thuộc những kí hiệu, quy tắc, định lí,định nghĩa , công thức, … đã học và làm cho việc sử dụng kĩ năng được thực hiện một cách tự động, thuần thục Trong luyện tập, người ta không chỉ nhấn mạnh vào việc học thuộc mà còn nhằm áp dụng hay sử dụng một cách thông minh các tri thức để giải được các bài toán khác nhau Vì thế, trong dạy học toán, bên cạnh việc cho học sinh luyện tập một số chi tiết cụ thể, giáo viên cũng cần lưu ý cho học sinh thực hành phát triển các kĩ năng
2 Tiến trình một tiết luyện tập:
Tuỳ vào từng tiết, nhưng nói chung khi dạy một tiết luyện tập ta thường tiến hành theo tiến trình sau:
- - Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ thường xuyên để học sinh tự giác học bài và làm bài ở nhà trước khi đến lớp
- Luyện tập + Củng cố kiến thức cũ, rèn luyện kỹ năng cơ bản
+ Tìm hiểu các bài mang tính chất cung cấp kiến thức mới + Luyện tập các bài tập mở rộng, nâng cao nhằm phát triển
tư duy cho học sinh
- Củng cố
- Hướng dẫn về nhà
Trang 3Cụ thể từng bước như sau:
2.1 Kiểm tra bài cũ:
Kiểm tra kiến thức, kỹ năng của tiết học trước
2.2 Luyện tập:
- Khi dạy luyện tập cần tích cực rèn cho học sinh kĩ năng trình bày bài, kĩ năng tính toán, kĩ năng về dấu … cần hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải bài toán: Giáo viên nên chọn các dạng bài tập khác nhau ,cần được nâng dần từ dễ đến khó, từ những bài toán rất đơn giản đến phức tạp
- Tìm hiểu nội dung đề bài: Trong bước này giáo viên cần tập cho học sinh biết tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, trước khi làm bài ,ta cần nhìn bài toán một cách tổng quát Sau đó học sinh cần biết phân tích bài toán để hiểu rõ cái đã cho và cái phải tìm, mối quan hệ giữa cái chưa biết với cái đã cho
- Tìm cách giải: Để tìm cách giải học sinh cần biết phân tích bài toán đã cho, chia bài toán thành những bài toán nhỏ hơn, đơn giản hơn biến đổi bài toán đã cho quy lạ về quen, dự đoán bằng cách xét các trường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay bài toán tổng quát hơn…
- Trình bày lời giải: Sau khi đã tìm được cách giải học sinh cần biết trình bày lời giải Lời giải phải được trình bày rõ ràng, sáng sủa, mạch lạc Các phép tính phải chính xác, các suy luận phải có căn cứ Lời giải phải đầy đủ không được bỏ sót một trường hợp nào, một khả năng nào
- Kiểm tra lời giải và nghiên cứu sâu lời giải: Học sinh thường bỏ qua bước này Giáo viên cần cho thấy vai trò quan trọng của bước này trong việc rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo, rèn luyện kĩ năng giải toán Trong bước này ta thường làm những việc sau:
+ Kiểm tra kết quả tính toán
+ Kiểm tra suy luận
Trang 4+ Tìm thêm cách giải khác
+ Nghiên cứu thêm về bài toán, các khả năng mở rộng hoặc thu hẹp bài toán, khả năng ứng dụng kết quả hay phương pháp cho các bài toán khác, đề xuất bài toán mới
2.3 Củng cố:
Giáo viên chốt lại cách làm các dạng toán vừa chữa trong tiết học
2.4 Hướng dẫn ở nhà:
- Giáo viên nhận xét ý thức học
- Giao bài tập về nhà
- Hướng dẫn một số bài tập
3 Các phương pháp dạy học thường sử dụng khi dạy luyện tập:
Để cho một tiết học gây được hứng thú học tập cho học sinh, phát huy được tính tích cực cho học sinh, không gây cảm giác nhàm chán đòi hỏi giáo viên cần phải tìm tòi suy nghĩ… cần phải biết kết hợp hài hoà các phương pháp Đối với mỗi bài toán cần phải có những phương pháp giảng dạy khác nhau: phương pháp đàm thoại gợi mở, phương pháp hoạt động cá nhân,
phương pháp hoạt động nhóm
3.1 Phương pháp đàm thoại gợi mở:
Phương pháp này thường áp dụng cho những loại bài tập mà tự học sinh không thể hoặc khó có thể tự mình giải được, mà phải cần có sự dẫn dắt của giáo viên
3.2 Phương pháp hoạt động cá nhân:
Những bài tập đơn giản, chỉ mang tính chất áp dụng định lí, quy tắc, công thức… một cách thuần tuý mà học sinh với những kiến thức đã được trang bị hoàn toàn có thể giải được
3.3 Phương pháp hoạt động nhóm:
Trang 5Khi gặp những bài tập dài, cú cỏc nội dung tương đương nhau hoặc những bài tập cú vấn đề cần thảo luận… Những tỡnh huống này nờn cho học sinh thảo luận theo nhúm để đảm bảo thời gian và cũng rốn luyện cho học sinh khả năng làm việc theo nhúm được tốt hơn
III THỬ NGHIỆM THỰC TẾ:
Khi dạy tiết 14 “Luyện tập về phõn tớch đa thức thành nhõn tử ” tụi tiến
hành dạy như sau:
CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY - HỌC
A Hoạt động Khởi động
B C HOẠT ĐỘNG HèNH THÀNH KIẾN THỨC THễNG QUA LUYỆN TẬP
Hoạt động Phõn tớch đa thức thành nhõn tử bằng vài phương phỏp khỏc
(1) Mục tiờu:
Kiến thức: HS củng cố kiến thức về cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử đó học và biết thờm phương phỏp tỏch hạng tử, thờm bớt hạng
tử một cỏch linh hoạt thụng qua cỏc bài tập
(2)Phương phỏp, phương tiện dạy học:
+) Phương phỏp: Phương phỏp hoạt động cỏ nhõn
Phương phỏp hoạt động nhúm
Phương phỏp đàm thoại gợi mở
+) Phương tiện: Mỏy chiếu , bảng phụ
GV yêu cầu HS hoạt động nhóm
( Từ 5-7 phỳt )
Chia lớp làm 5 nhúm
NHểM 1: Phân tích đa thức x2 – NHểM 1:
Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử
a) x3 – 2x2 + x
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
Hóy chỉ rừ trong cỏch làm trờn em đó sử dụng những phương phỏp nào để phõn tớch đa thức thành nhõn tử ?
GV: ĐVĐ VÀO BÀI
Trang 63x + 2 thµnh nh©n tö.
Gợi ý:
Tách hạng tử -3x = - x – 2x
Khi đó : x2 - 3x + 2 = x2 – x - 2x + 2
NHÓM 2 : Ph©n tÝch ®a thøc x2 –
3x + 2 thµnh nh©n tö
Gợi ý:
Tách hạng tử 2 = - 4 + 6
Khi đó : x2 - 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6
NHÓM 3 : Ph©n tÝch ®a thøc x2 –
3x + 2 thµnh nh©n tö
Gợi ý: :
Tách hạng tử -3x = - 2x – x và 2 = 1 + 1
Khi đó x2 -3x + 2 = x2 -2x +1- x +1
NHÓM 4 : TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña
®a thøc
x2 + 1
2x + 1
16 tại x = 49,75
NHÓM 5 : TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña
®a thøc
x2 – y2 – 2y – 1 t¹i x = 93 vµ y = 6
Sau đó GV cho c¸c nhãm kiÓm tra
chÐo bµi cña nhau
GV nhận xét đánh giá bài làm của các
nhóm HS
GV giới thiệu
Với nhóm 4,5 đã biết vận dụng vào các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử để tÝnh nhanh gi¸ trÞ cña các
x2 - 3x + 2 = x2 – x - 2x + 2
= x(x -1 ) -2(x - 1) =(x -1)(x -2) NHÓM 2:
x2 - 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6 = (x2 – 4) – (3x – 6) = (x + 2) (x – 2) – 3(x –2) = (x – 2) (x + 2 – 3)
= (x – 2) (x – 1) NHÓM 3:
x2 -3x + 2 = x2 -2x +1- x +1 =(x - 1)2 –(x - 1) =(x -1)(x – 1 -1) =(x - 1)(x -2)
NHÓM 4: x2 + 1
2x + 1
16 tại x = 49,75 Ta có
x2 + 1
2x + 1
16 = x2 + 2 x 1
4 +
2
1 4
÷
=
2
1 x 4
= (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500 NHÓM 5: x2 – y2 – 2y – 1 t¹i x = 93 vµ y
= 6
Ta có : x2 – y2 – 2y – 1 = x2 – (y2 + 2y + 1) = x2 – (y + 1)2
= [x – (y + 1)] [x + (y + 1)] =(x – y – 1)(x + y +1)
= (93 – 6 – 1) (93 + 6 + 1) = 86 100= 8600
Trang 7đa thức khi biết giỏ trị cụ thể của cỏc
biến
cỏch làm như nhúm 1,2,3 trờn được goi là
quỏ trỡnh phõn tớch đa thức thành nhõn tử
bằng phương phỏp tỏch hạng tử
GV giới thiệu về cỏch tỏch hệ số b ……
GVTrở lại vấn đề với bài 53a : Đa thức
x2 – 3x + 2 là một tam thức bậc
hai có dạng
ax2 + bx + c với a = 1 ; b = –3 ; c =
2
Đầu tiên ta lập tích ac = 1 2 = 2
– Sau đó tìm xem 2 là tích của
các cặp số nguyên nào
– Trong hai cặp số đó, ta thấy có :
(–1) + (–2) = –3 đúng bằng hệ số
b
Ta tách – 3x = – x – 2x
Vậy đa thức x2 – 3x + 2 đợc biến
đổi thành
x2 – x – 2x + 2
GV : giới thiệu Tổng quát
Ngoài ra ta cũn cú thể tỏch cỏc hạng tử tự
do như …
GV : Tổng quát
ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c
phải có : 1 2
1 2
b b b
b b a.c
GV yêu cầu HS làm bài 53(b)
tr 24 SGK
Phân tích đa thức thành nhân
tử :
b) x2 + x – 6
c) x2 + 5x +6
b) = x2 + 3x – 2x – 6
= x (x + 3) – 2 (x + 3)
= (x + 3) (x – 2)
+ Xét xem 6 là tích của các cặp
số nguyên nào ?
6 = 1 6 = (–1) (–6)
= 2 3 = (–2) (–3) + Trong các cặp số đó, cặp số Đó là cặp số 2 và 3 vì 2 + 3 = 5
Trang 8nào có tổng bằng hệ số b, tức là
bằng 5
b , Phân tích đa thức thành nhân
tử :
x2 + 5x +6
Vậy đa thức x2 + 5x +6 đợc tách
nh thế nào ?
Hãy phân tích tiếp
Ta có : x2 + 5x +6
= x2 + 2x + 3x +6
= x (x + 2) + 3 (x + 2)
= (x + 2) (x + 3)
GV yêu cầu HS tách hạng tử tự do
đa thức : x2 + 5x + 6 để phân
tích đa thức ra thừa số
x2 + 5x + 6
= x2 + 5x – 4 + 10
= (x2 – 4) + (5x + 10)
= (x– 2) (x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2) (x– 2 + 5)
= (x + 2) (x + 3)
Bài 57 ( tr25 SGK)
GV : Phân tích đa thức sau
thành nhân tử x2 - 4x + 3
Cỏch 1: Tỏch hạng tử và nhúm hạng tử:
x2 - 4x + 3 = x2 - 3x - x + 3
= ( x2 - 3x) - (x - 3) = x(x - 3)-(x - 3)
= (x - 3) (x - 1) Cỏch2: Cộng trừ thờm cựng 1 số làm xuất hiện 1 hằng đẳng thức:
x2 - 4x + 3 = x2 - 4x + 3 +1 - 1 = ( x2 - 4x + 4) – 1 = (x - 2) - 1
= (x - 2 - 1)(x - 2 + 1) = (x - 3)(x - 1) Cỏch 3: Tỏch hạng tử nhằm xuất hiện hằng đẳng thức:
x2 - 4x + 3
Trang 9GV : Phân tích đa thức sau
thành nhân tử x2 + 3x + 2
= x2 - 2x + 1 - 2x + 2
= (x - 1) - 2(x - 1)
= (x - 1)(x - 1- 2) = (x - 1)(x - 3)
x2 + 3x + 2 C1 x2 + 3x + 2 = x2 + x + 2x + 2 = x (x2 + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1)(x + 2) C2: x2 + 3x + 2 = (x2 + 2x + 1) + (x +1) = (x + 1)2 + (x + 1) = (x + 1)(x + 2) C3: x2 + 3x + 2 = x2 + 4x + 4 – x – 2 = (x + 2)2 - (x + 2) = (x + 2)(x + 1)
GV yêu cầu HS làm bài 57(d) tr25
SGK
Phân tích đa thức x4 + 4 ra thừa
số
GV gợi ý : có thể dùng phơng pháp
tách hạng tử để phân tích đa
thức không ?
GV : Để làm bài này ta phải dùng
phơng pháp thêm bớt hạng tử
Ta nhận thấy : x4 = ( )2
2
x
4 = 22
Để xuất hiện hằng đẳng thức
bình phơng của một tổng, ta
cần thêm 2 x2 2 = 4x2
Bài 57(d) tr25 SGK.
Phân tích đa thức x4 + 4 ra thừa số
vậy phải bớt 4x2 để giá trị đa
thức không thay đổi x4 + 4 = x4
+ 4x2 + 4 – 4x2
GV yêu cầu HS phân tích tiếp
e) 4x4 + 1
x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 + 2 – 2x) (x2 + 2 + 2x) e) = 4x4 + 4x2 + 1 – 4x2
= (2x2 + 1)2 – (2x)2
Trang 10GV giới thiệu về cách cách làm như d,e
trên được goi là quá trình phân tích đa thức
thành nhân tử bằng phương pháp cộng trừ
thêm cùng 1 số(thªm bít ) hạng tử
GV: Kết luận : Khi gặp biểu thức
không có dạng của hằng đẳng thức,
không có nhân tử chung việc nhóm
hạng tử cũng chưa làm được ta
phải nghĩ ngay đến việc tách hạng
tử hoặc cộng trừ thêm cùng 1 số
thích hợp để có thể đưa về dạng
toán quen thuộc.
= (2x2 + 1 – 2x) (2x2 + 1 + 2x)
D E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG VÀ TÌM TÒI MỞ RỘNG
HS ch÷a bµi tËp 52 tr24 SGK
Chøng minh r»ng (5n + 2)2 – 4
chia hÕt cho 5 víi mäi sè nguyªn n
HS nhËn xÐt bµi lµm cña b¹n vµ
ch÷a bµi
GV nhËn xÐt, cã thÓ cho ®iÓm
HS.
HS1 ch÷a bµi tËp 52 tr24 SGK (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22
= (5n + 2 – 2) (5n + 2 + 2)
= 5n (5n + 4)
Ta có : 5n(5n + 4) lu«n lu«n chia hÕt cho 5
ch÷a bµi tËp 58 (tr 25 SGK)
IV KẾT QUẢ THU ĐƯỢC:
Loại
Lớp
8A
Ph©n tÝch n3 – n thµnh tÝch ba thõa sè liªn tiÕp
- TÝch hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2
- TÝch ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6
Trang 11V KẾT LUẬN CHUNG:
Qua quá trình giảng dạy ở 2 lớp (8A và 8B) một lớp áp dụng theo chuyên
đề trên ( 8A), một lớp thì không (8B), tôi thấy kết quả thu được có sự khác biệt khá rõ Lớp được áp dụng dạy theo chuyên đề có kết quả thu được cao hơn hẳn, lớp còn lại
Chuyên đề này có thể áp dụng cho việc dạy luyện tập thuộc phần Đại số trong chương trình toán THCS
Rất mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp./…
Bắc Sơn ,ngày 5/10/2017
GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
Đặng Thị Hòa