Giải toán tích phân bằng nhiều cách docx

Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số Nhận xét: Ta có xÌ = x”.x và pe +1 = 2x tir do ta dinh hướng giải như sau Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có

I TICH PHAN HAM HOU TY

Bai tap giai mau:

=InÍx? +1 d(x° +1)

nef noel) a

Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số

Nhận xét: Ta có xÌ = x”.x và pe +1) = 2x tir do ta dinh hướng giải như sau

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức

đê tách thành tông các tích phân là phương pháp tôi ưu nhât

Cách 6: Phân tích tử thức chứa mâu thức (thực chât là chia đa thức)

3

Bai 2: Tinh tich phan bat định: 7 = |

Giải:

Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức

Tinh J, bang phương pháp đồng nhất thức

Cách 4: nia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn

du = dx Dat u=xt+l>

Cách 5: Chia đa thức đê tách thành tông các tích phân đơn giản

x _111 x+1

l—x

Giải:

Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân

Phan tich x* =[(1—x)-1] =(I-x)’ -2(1-x)+1

Cach 2: Sir dung phwong phap bién déi sé

Dat t=x-I1 taco: x=t+1 nén dx=dt

- Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải không,

chính vì thê mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh vê đích nhât

Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý

dx thi dat ¢ = x+a là một phương pháp hiệu quả nhất

Cach 1: Bién đỗi số

Nhân cả tử và mẫu cho x7

x x (1+2°)

= [sae [odes [or 5 vd = [Fn + Fin “Nr =g h+rm>

Cách 1.2: Phan tich: 1 = x* +1-—x* =x *4(I-x? )(l42° )

:

a= {to 1ƒ +Í

đến đây thì đồng nhất thức hai về để giải hệ tìm 7 = A,B,C,D,E tuy nhiên

việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả nhât

Cách 6: Đặt x = tan > dx = (tan?+1) dt ban doc tu lam

Nhan xét: x° +1= (x+1)(x° —x+1)

Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:

l=x “te -1)=x -(x-I)(x+1)

x

Khi đó 7 = js dx [ae =1,-1,

Phan tich 3x* —5x° +7x-8=a(x+2) +b(x+2} +c(x+2} +d(x+2)+e đồng nhật đề tìm a, b, c, d, e

Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo)

- Qua các ví dụ trên ta thây kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyên tích phân ban đâu thành tích

phân đơn giản hơn

- Thông thường đề sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai P(x) = x” —1 còn mẫu là một đa thức

đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng cách này dài và rất phức tạp

Cách 1: Sử dụng phương pháp biên đôi sô

Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo

tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhât

ae, |X

Đôi cận

1= Fhe ( (1- Har 5 fe ( 1-1t)dt => sll -yra3[ 2)

Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phan

Cách 3: Khai triển (1— x`}` thành tổng các đa thức => x”(L— x`}” cách này không khó nhưng khai triển phức

tạp chỉ tham khảo thôi

Chú ý: Nếu ta đặt ? = x” cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thê tham khảo

- Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển (x + 1) hay phương pháp tích phân từng

phân như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của (x + I) là lớn

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bai 1: (DHV — D 2000) Tính tích phân sau: 7 = | ="

X+2x+l Đs: 7 - 9ln3—8

x

Bài 2: Tính tích phân sau: 7 = f 5 dx

(7 +3x+1)(x +x+]) HD:

Chia cả tử và mẫu cho xˆ ta được

Déng nhat thire: x? = x (x? +D-— x0? +1) +x

Cach 1: Dat x = tant

Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

u=X

Dat dye xdx :

2

(x +1)

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián

Phan tich x” = (2° sửa

A(x +1) =I (x7 +1) Ic +1)

Il TICH PHAN HAM VO TY

Bai tap giai mau:

=> dx = VỚI ƒ€ (0:5 hoac x =——

sin t

COS” f It = V1—cos*t

Cách 2: Phương pháp biên đôi sô

Nhân cả tử và mâu cho x ta được

Cách 1: Phương pháp biến đổi số

Cách 4: Lượng giác hóa

Dat x = cost > dx = —sIn/đf

" ›l/(; all 2Ƒ (2 1 ÏF/ 2 JYs y(2 oe ek

Khi đó [ = x s(x -1) o alls -1) av=—s](s -1) d(x —1) bạn đọc giải tiêp

2

x Bai 5: (DH — A 2004) Tinh tich phan: 7 = | ———— dx

la GIải:

Cách 1: Dựa vào đạo hàm

Khidd sa fo V3 sint(3cos” t —2V3 cost + ldt =-Ít —2(3co_ 2

(3+ 3cos” £)|3sini 3+3cos t 3+3cos t Cach 2:

Tinh J, bang cach dat ¥3-7° =u, tinh J; bang cách đặt 43—ˆ = „(x3 -1)

Bài (ập tự giải có hướng dẫn:

7

Bai 1: (DHDN- 1997) Tinh tích phân: 7 = Í-———w =2—=4ln2+2ln3

5V24+x+41 HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số

Đặt / =J2+ x +1 Hoặc / =4/2+x

Bai 2: (DHSP QN ~ 1999) Tính tích phân: J = [- x41 - (28-394)

) V3x+2 x+2 _ 231

Ill TICH PHAN HAM SO MU VA LOGARIT

Bai tap giai mau:

I= alee xy (2+In? x) dv = sj+ xy d(2+In? x)

dx 2

— = “tái

X

t—1

In x = — Dat t=1+3Inx>

Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

p= [a de = [MI Bin ind (143102) 5 5[ViSinx[(1+ 310) )~1(I+3Inx)

Cách 1: Phương pháp biên đôi sô

Dat t=Vl+Inx >? -l+Inx 2# =®

Cách 1: Phương pháp biên đôi sô

dy = mm Y — J e* —] e

Khi đó

20

I=e*2Ne'— -2[ÏNe —1e*dx =16- 2 | ve" —1d(e* -1) =16-—(e" -1)Ve*=1 =

Hoặc có thế tính nhanh như sau

Cách 1: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

Cách 2: Phương pháp biến đổi số

Đặt 7= YJe'`+1<©¿7 =e`+1© 2tdi = e'dx => dự = “IS

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bai 1: (DHDB — D 2005) Tính tích phân sau 7 = (j= In'x_ 4,76

Bài 2: (ĐHBK - 2000) Tính tích phân sau: 7 =

B

Tổng quát: 7 = [e/g (x)dx ma f (x)=kg(x); ke R’ dat r= f(x)

IV TICH PHAN HAM LUONG GIAC

Bai tap giai mau:

Asin x _ 2 (sin x+ COS x) — (cos x — sin x) | _ 2 2(cos x—sin x)

(sin x+cos x) (sin x+cos x) (sin x+cos x) (sin x+cos x)

0 (sin x+cosx)' 0 mm 0 (sin x + cos x)

Đôi cận 2> 4

7T

4 Khi đó

(sin x+ cos x) cos” x(tan x+ l) cos” x(tan x+ )

sin’ x{ + cot x)

Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích kết hợp với phương pháp đưa vào vi phân

Phân tích tan” x = tan x.tan” x = tà > i) =tanx —tan x

COS“ X COS“ x Khi đó

—tan x tro lai cach 1

Phân tích tan” x = (tan x+tan x) —tanx = tan x 5

Cách 3: Phương pháp đôi biên sô

Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích oo,

Cách 1.1: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức biên đôi tông thành tích

lI-cos2x sinx cos2x.sinx

Ta có sin” x= sin” x.sin x= —2— sins = 5 ban doc tu giai tiép

Cách 1.2: Sử dụng công thức nhân 3

c3 4 3sin x — sin 3x

sin 3x = 3sinx—4sin° x > sin’ x = ——————_-

4 Khi do

Cách 1: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử

Cách 1.1: Đổi biến số đưa về tích phân hàm phân thức

Dat t = cos x => —dt = sin xdx

i=] dx = fsinxd | sin x 4š =-| đ(cos x)

v3 ) (1 + ) v3

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích và phương pháp tích phân từng phần

4 dx 4 sin? x + cos” xy 1 teos x

Cách 4: Tách thành tích ở dưới mẫu và Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

[=- 2 - {= 3 “dx Dén đây ta tích phân J = {= * dx ap dung (cach 3)

sin x _ tanx _tanx+I-l_, 1

sinx+cosx tanx+l tanx+1 tanx+1

0 SINE F COS E sin Xx +Cos x 2 4

Chú ý: fr (x)dx = [ro t) dt

Cach 4: Su dung tich phan lién két

Chọn 7 = | dx là tích phân liên kết của / = |—————dk

ọ SII X + COS X ) SIN X + COS X

Khi đó ta có hệ

vm vm vm vm

2 COS X 2 sin x 2 sin x + cos x 2 a 7

I+J=Ï- de | oan E lần xreosx ft C | S12 =5

ọ SH X + COS X sin x + COS x » SIN X + COS X 5 0 2

sin x sin x + COS Xx cos x —sin x

sin x.sin| x ea} + COS eld) x42

Giải:

Cách 1: Ta có

Khi do xét: J = [ dx

7T COS xCOS(x + D

_ 0 sin —

Sử dụng đồng nhất thức: 1= : =N2sin ( + *) — | = vã sin Ề + “) COS X — COS Ề + “) sin |

J= Vftan{ x4) V3 fran as = —J/2 In + V2 In|cos x|+C

—=/=A2In—= ` —=l-x+C

7 cos| x +—

x x x 1

Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

Biến đối l— 2sin” x = (cos x+ sin x )(cos x — sin x)và l+ sin 2x = (cos x + sin x)

l+sin 2x COS x + SIn x

Hoặc đặt / = sin x + cos x

Cách 1: Phương pháp biên đôi sô

Ta có: sin 2x + sIin x = sin x(2cosx+ 1)

—3sin x _ sinx —_ 2dt Dat t= VJ1+3cosx ta được đ =——————— +*x=——;

0 Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

Phan tich

7 (143co0sx)+—

Va dat t = ea hoặc / = —— hoặc đưa vào vi phần

Tổng quát: Đề tính 7 = SHXCOSAẢƠX_ vớia bz0

in? Asin? x(1—cos x Asin® x(1—cos x

đ$in + = ( ) = ũ Ì ˆ 4sin x— 4sin xeos x = 4sin x— 2sin 2z

l+cosx (I+cosx)(1— cos x) sin” x

Asin? x — 4sin x(1—cos x)(1+cos x)

= 4sin x— 2sin2x Phân tích đến đây rùi thì có những cách nào, bạn đọc

Cách 1: Phương pháp đưa vào biêu thức vi phân

T= j V sín x- sin x cot xdx = i Vsin° x sin x cotx dx

33 TT >cos xtsin^ x— sin x

Nhận xét: Hàm dưới dâu tích phân là hàm lẻ đôi với cos

Dat t =sin x => dt = cos xdx

Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhò đồng nhất thức sin” x + cos” x = I

Khi đó

dx sin’ x+cos’ x 2 ~

Cach 1: Dong nhat thirc

Ta phan tich: cos” x = (A sin x + Bcos x) (sinx+cosx)+C (sin? x+cos” x)

3

Sử dụng tích phân liên kêt J =|——=— cos” xdx

» sinx+~V3cos x I-3J =-1

Giai hé Vag In3 =>]= 3ln3— 2

COS”X_ COS” X.COS”x

Phân tích ———= -ÍI +— jan x = tan” x+ tan” x

sin” x sin* x tan“ x

Khi đó

Nhận xét: Vì hàm dưới dâu tích phân là hàm chăn đối với sin va cos nén ta c6 thé dat ¢ = tan x nhung cach do

khá dài và phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé!

7

2 Bài 18: Tính tích phân sau: 7 = | 1—cos’ x.sin x.cos” xdx

2 |X=— t=1

Đôi cận 2>

ro x=0

Chi y: d (cos x) = đ{ +COS x) va ta c6 thé dat t =cos x

Cach 1: Bién d6i cos 2x = cos’ x—sin’ x = (1 — tan x) cos’ x

Dat t = tan x

Hoặc sử dụng công thức cos 2x = J-tan x

l+ tan“ x Tổng quát:

1 J = pera v6i abe R

C1: Hạ bậc biên đôi tích thành tông

C2: Tích phân liên kêt

Bài 5: Tính tích phân sau: 7 = tas X x

1—2sin° x cos x+ sin x)(cos x— sin x cos xX — sin x

(sin x+CcoS x) 0 (sin x+cos x) 0 (sin x+COS x)

Dat t =sinx+cosx hoac biến đối vi phan trực tiếp

4

F sin? x Bai 6: (DHGT TPHCM - 2000) Tính tích phân: 7 = | <— dx

“ COS’ x

6

HD:

Ta c6 ——dx = tan’ x dx = tan x(I + tan x)d (tan x)

cos’ x COS“ X COS X

pẹ,2v3~8

15

Tu Bài 7: (ĐHĐN - 2000) Tính tích phân: 7 = |—————^

7 SIN X + COS X

4 HD:

3 3sin” x+4cos* x Ds: =

Vv BAL TAP HON HOP CUA NHIEU HAM SO

Bai tap giai mau:

Cách 2: Biến đổi 1+sin2x =1+cos l2: -Š = 2cos” 2 — *) tích phân từng phần

l= J xsin x.cos’ xdx = 1 fxd (cos” x) = ca xem a4, — Joos xà]

0

2 Vậy 7 =¢?

cos’ = 2cos” = 2cos“—

Hoặc ta biên đôi:

(1-+sin x) [sin +cos) 1

Khi đó 7= gen 3x— cos ì

Dựa vào đạo hàm ta có thể tính Nguyên hàm của một các dạng đặc biệt

Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích thương

Vi du: Tinh tich phan sau: J I , 2y dx

Tính J làm xuất hiện tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân

Bài tập tự giải có hướng dẫn: