Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán chuyên hàm, tích phân bằng nhiều cách

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN --- TẠ THỊ LAN ANH HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

TẠ THỊ LAN ANH

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12

GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

TẠ THỊ LAN ANH

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12

GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học ThS ĐÀO THỊ HOA

HÀ NỘI - 2016

Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Tạ Thị Lan Anh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của bản thân em dưới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12

giải bài toán nguyên hàm, tích phân bằng nhiều cách” không có sự

trùng lặp với các khóa luận khác và kết quả thu được trong đề tài là hoàn toàn xác thực

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Tạ Thị Lan Anh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Cấu trúc khóa luận 3

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 4

1.1 Khái niệm bài toán và lời giải bài toán 4

1.1.1 Khái niệm bài toán 4

1.1.2 Khái niệm lời giải của bài toán 4

1.2 Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học 4

1.2.1 Vai trò của bài tập toán học trên bình diện mục tiêu dạy học 5

1.2.2 Vai trò của bài tập toán học trên bình diện nội dung dạy học 5

1.2.3 Vai trò của bài tập toán học trên bình diện phương pháp dạy học 6

1.3 Phân loại bài toán 6

1.3.1 Phân loại theo hình thức bài toán 6

1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán 7

1.3.3 Phân loại theo nội dung bài toán 7

1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa toán học 7

1.4 Phương pháp chung để giải bài toán 8

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 10

CHƯƠNG 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH 11

2.1 Mục tiêu dạy học nguyên hàm, tích phân 11

2.2 Những kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân trong chương trình Toán lớp 12 bậc THPT 12

2.2.1 Một số kiến thức cơ bản về nguyên hàm 12

2.2.2 Một số kiến thức cơ bản về tích phân 13

2.3 Một số sai lầm thường gặp khi giải bài toán nguyên hàm, tích phân 17

2.4 Một số khó khăn khi tổ chức hướng dẫn học sinh giải bài tập thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân 20

2.5 Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán nguyên hàm, tích phân bằng nhiều cách 22

2.5.1 Nguyên hàm 22

2.5.2 Tích phân 35

2.5.3 Ứng dụng 55

2.6 Đánh giá chất lượng các cách hướng dẫn học sinh giải bài toán nguyên hàm, tích phân 64

2.6.1 Mục đích đánh giá 64

2.6.2 Nội dung đánh giá 64

2.6.3 Đối tượng đánh giá 64

2.6.4 Phương pháp đánh giá 64

2.6.5 Kết quả đánh giá 65

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 65

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

PHỤ LỤC 1 69

PHỤ LỤC 2 70

đã ảnh hưởng sâu sắc, toàn diện đến sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đặc biệt là giáo dục phổ thông Trong điều kiện đó, đặt ra yêu cầu đối với ngành giáo dục Việt Nam là phải đào tạo ra những con người có tri thức khoa học, bản lĩnh chính trị, có phẩm chất đạo đức và kĩ năng sống Chính vì thế Đảng đã chỉ rõ: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”

Trong Nghị quyết 29-NQ/TW của Ban Chấp hành Trung ương về

“Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo” đã nêu: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng và phát triển năng lực.”

Những nội dung trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục, để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới và thực trạng lạc hậu chung của phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay

Do đó, môn Toán nói chung và môn Toán ở trường trung học phổ thông nói riêng cũng đứng trước một yêu cầu cấp bách, đó là đổi mới về nội dung, mục tiêu và phương pháp dạy học

Trong chương trình Toán ở trung học phổ thông, chủ đề nguyên hàm,tích phân là một trong những kiến thức rất cơ bản và quan trọng Chủ đề này học sinh được học vào nửa cuối năm lớp 12 Phép tính tích phân không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Giải tích

2

mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lý thuyết về hàm số Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng trong các ngành khoa học khác như Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Hóa học,… Các bài toán này rất phong phú và đa dạng, phạm vi rộng và đặc biệt chúng xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia hàng năm Để giải được các bài toán về chủ đề nguyên hàm, tích phân, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản, vận dụng linh hoạt và liên hệ các kiến thức với nhau Khi giải các bài toán về chủ đề này, học sinh thường gặp những khó khăn trong việc nhớ bảng nguyên hàm cơ bản hay không biết

áp dụng các phương pháp đổi biến số hoặc lấy nguyên hàm, tích phân từng phần Đối với các giáo viên trẻ trong việc hướng dẫn học sinh giải bài tập còn gặp khó khăn trong việc xây dựng hệ thống câu hỏi giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải của bài toán; hay chỉ dừng lại ở một lời giải mà không khai thác được các hướng giải khác của bài toán

Để cải thiện việc dạy học đồng thời giúp học sinh lớp 12 có kĩ năng giải các bài toán thuộc chủ đề này cùng với sở thích, đam mê của

bản thân, em xin lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài

toán nguyên hàm, tích phân bằng nhiều cách”

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng và sử dụng một số cách hướng dẫn học sinh giải bài tập

cơ bản thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học thuộc chủ đề này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc giải toán

- Hệ thống các kiến thức cơ bản của chủ đề nguyên hàm, tích phân

- Xây dựng các tình huống hướng dẫn học sinh giải bài tập thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân

3

- Xin ý kiến chuyên gia về chất lượng của những cách hướng dẫn giải khác nhau cho cùng một bài toán nguyên hàm, tích phân

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Bài tập toán thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân

- Phạm vi nghiên cứu: Chương trình Toán lớp 12 bậc trung học phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận

- Quan sát điều tra

- Tổng kết kinh nghiệm

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng và sử dụng được các cách hướng dẫn học sinh giải các bài tập thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân phù hợp với trình độ học sinh thì sẽ nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề này, góp phần phát triển năng lực giải bài tập cho học sinh

7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chương

Chương 1 Cơ sở lí luận

Chương 2 Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán nguyên hàm, tích phân bằng nhiều cách

4

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Khái niệm bài toán và lời giải bài toán

1.1.1 Khái niệm bài toán

Theo G.Polya: bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.Polya cho ta thấy rằng: bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó Như vậy bài toán có thể đồng

nhất với một số quan niệm khác nhau như: đề tài, bài tập…[2]

1.1.2 Khái niệm lời giải của bài toán

Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt được mục đích đặt ra Như vậy, ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán

Một bài toán có thể: có một lời giải; không có lời giải hoặc có nhiều lời giải

Giải một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời

giải.[2]

1.2 Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ

5

Vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên ba bình diện: Mục tiêu,

nội dung và phương pháp dạy học.[4]

1.2.1 Vai trò của bài tập toán học trên bình diện mục tiêu dạy học

Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

- Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những

phẩm chất đạo đức của người lao động mới.[4]

Ví dụ: Khi giải phương trình “ 4 2

x  x  ”, đây là phương trình bậc 4 trùng phương, học sinh được ôn tập lại kiến thức về giải phương trình bậc 2 Vậy để xuất hiện bậc 2, ta sẽ đặt 2

ux Việc đặt 2

ux sẽ giúp ta giải quyết vấn đề Qua hoạt động tìm tòi trên đã giúp rèn cho học sinh thao tác tư duy, quy lạ về quen, linh hoạt vận dụng tri thức sẵn có

1.2.2 Vai trò của bài tập toán học trên bình diện nội dung dạy học

Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã

được trình bày trong phần lí thuyết.[4]

Ví dụ: Trong Đại số 10, khi giảng dạy về bài “ Công thức lượng

giác”, giáo viên đưa bài tập “ Hãy biểu diễn sin3a và cos3a qua

1.2.3 Vai trò của bài tập toán học trên bình diện phương pháp dạy học

Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở

đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi

động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, [4]

Ví dụ 1: Bài tập trong đề kiểm tra 15 phút hay 45 phút nhằm đánh

giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh sau một quá trình học tập

Ví dụ 2: Hình học lớp 11, khi học bài “Đường thẳng vuông góc

với mặt phẳng”, người ta đưa ra bài toán làm gợi động cơ, làm việc với

nội dung mới như sau: “Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm

trong mặt phẳng (P) Chứng minh rằng nếu đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P)”

1.3 Phân loại bài toán

1.3.1 Phân loại theo hình thức bài toán

Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa

ra một cách rõ ràng trong đề bài toán

7

Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn

trong đề bài toán [2]

1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angorit giải hay chưa để chia các bài toán thành 2 loại:

Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó

Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit

nào [2]

1.3.3 Phân loại theo nội dung bài toán

[2] Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo

thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau như sau:

Bài toán số học

Bài toán đại số

Bài toán hình học

1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa toán học

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó hay là bài toán nhằm phát triển tư duy Ta có hai loại bài toán như sau:

Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó

Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một kĩ năng

tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo [2]

8

1.4 Phương pháp chung để giải bài toán

[4] Dựa trên những tư duy tổng quát cùng những gợi ý chi tiết của

Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn

dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

 Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ trong việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

 Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó liên quan, sử dụng các phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp bài toán, toán dựng hình, toán quỹ tích…

 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bước thực hiện hoặc đặc bệ hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một tri thức liên quan…

 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bảy lời giải

Từ cách giải đã phát hiên, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hện các bước đó

9

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau

“Tính tích phân

3 2 0

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Đây là tích phân hàm phân thức hữu tỷ Mẫu thức có thể phân tích thành nhân tử: 2

Cách 3: Cho 1 số giá trị riêng của x rồi từ đó tìm ra được giá trị A, B

Bước 3: Trình bày lời giải

3

2 0

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Từ bài toán trong ví dụ này có thể phát biểu và giải những bài toán tương tự sau đây:

a) Tính

1 3 0

11

2 2

1

11

kì quan trọng Chính vì vậy, việc xây dựng nhiều lời giải cho một bài toán sẽ giúp cho học sinh có được tư duy linh hoạt, cách nhìn đa chiều

trong giải bài tập

11

CHƯƠNG 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH

2.1 Mục tiêu dạy học nguyên hàm, tích phân

- Biết ứng dụng tích phân trong một số bài toán tính diện tích các hình phẳng và tính thể tích các vật thể

* Tư duy

- Học sinh phát triển được tư duy thuật giải thông qua việc giải các bài toán thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân, được rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo khi giải các dạng bài tập khác nhau

- Rèn luyện cho học sinh tính quy củ, tính kế hoạch, cẩn thận, thói quen tự kiểm tra, đánh giá

12

- Thái độ tự giác, tích cực, chủ động trong học tập chủ đề [8] 2.2 Những kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân trong chương trình Toán lớp 12 bậc THPT

2.2.1 Một số kiến thức cơ bản về nguyên hàm

2.2.1.1 Khái niệm nguyên hàm

[7] Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên

hàm của f trên K nếu F x'( ) f x( ) với mọi x thuộc K

2.2.1.2 Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

* Định lí 1

[7] Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K Khi đó

a) Với mỗi hằng số C, hàm số yF x( )C cũng là một nguyên hàm của f trên K

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G x( )F x( )C với mọi x thuộc K

- Phương pháp dùng bảng nguyên hàm cơ bản

- Phương pháp đổi biến số

2.2.2 Một số kiến thức cơ bản về tích phân

2.2.2.1 Khái niệm tích phân

[7] Cho hàm số f liên tục trên K và a,b là hai số bất kì thuộc K

Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F(b) – F(a) đƣợc gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( )

b

a

f x dx

14

2.2.2.2 Một số tính chất cơ bản của tích phân

[7] Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là 3 số bất kì

- Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

- Phương pháp đổi biến số

[7] Cho hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số

g x dx f u du

u x v x dx u x v x  v x u x dx

- Phương pháp sử dụng tích phân liên kết

Trong một số bài toán tính tích phân ( )

16

Thường sử dụng tích phân liên kết khi các biểu thức ( ); ( )f x g x có

tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau mà việc tính trực tiếp tích phân I gặp khó khăn

S(x) là diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại điểm có hoành độ x (a x b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì thể tích của B là

( )

b

a

V  S x dx

17

* Thể tích của khối tròn xoay

- Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh

- Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường x = f(y), trục tung, y = c và y = d (c < d) sinh ra khi quay quanh

2.3 Một số sai lầm thường gặp khi giải bài toán nguyên hàm, tích phân

a) Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Học sinh đổi biến nhƣng không đổi về biến ban đầu

dxI

2

3 3

* Cách khắc phục: Yêu cầu các học sinh nhớ định nghĩa tích phân

Giúp các em tạo thói quen: Khi tính b

a

f (x)dx

 cần chú ý kiểm tra xem hàm

19

số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc

nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của

nguyên hàm và tích phân Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần

e) Sai lầm khi đổi biến số

1

20

dt t I

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi thực hiện đổi biến số học

sinh đã quên không tính vi phân dt

* Lời giải đúng: Đặt t 2x 1 dt2dx

10

dt t I

t

I  t dt 

*Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không đổi cận tích phân

và cao cấp; ở phạm vi THPT chỉ dừng lại ở mức độ: Nguyên hàm xem nhƣ là phép toán ngƣợc của đạo hàm và tích phân đƣợc tính qua công thức Newton – Leibnitz

21

Chính vì thế làm cho học sinh không hiểu rõ được bản chất đích thực của phép tính tích phân, đồng thời cũng làm cho giáo viên khó khăn trong việc truyền đạt kiến thức và hướng dẫn học sinh giải các bài tập thuộc chủ đề này

Để khắc phục điều này, khi tổ chức dạy học hướng dẫn học sinh giải các bài tập nguyên hàm, tích phân thì giáo viên cần:

Thứ 1, hệ thống các kiến thức cơ bản

Các kiến thức cơ bản bao gồm:

- Ba phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm, tích phân, cụ thể: Phương pháp sử dụng định nghĩa và tính chất; phương pháp đổi biến số;

phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần

- Một số kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm, tích phân: Sử dụng phép biến đổi vi phân; nhân, chia với đại lượng thích hợp để biến đổi vi phân hay đổi biến

- Phân tích biểu thức trên tử theo mẫu và đạo hàm của nhân tử dưới mẫu; đổi biến không làm thay đổi cận tích phân; kĩ thuật ghép cặp

để tìm nguyên hàm, tích phân; sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ việc tính tích phân

Thứ 2, giáo viên cần tuân thủ 4 bước trong giải Toán, đây là điểm đặc biệt quan trọng quyết định sự hình thành và phát triển các năng lực giải toán ở người làm toán

Đồng thời, thực hiện các biện pháp vấn đáp, đàm thoại, tự vấn đáp; qua hoạt động ngôn ngữ này sẽ kích thích tư duy hướng đích của người làm toán

Bước 1: Tiếp cận và phân tích bài toán nguyên hàm – tích phân

Cụ thể: Bài toán có quen thuộc, tương tự như bài đã làm hay công thức

cơ bản nào không? Hàm số trong bài có giống một biểu thức hay một phần của phương trình nào đã gặp không?

Quyết định chọn phương pháp nào trong ba phương pháp cơ bản? Biến mới là gì? Có những cách chọn nào cho u và dv? Hãy thử làm theo dạng tích phân đặc biệt?

Bước 2: Tiến hành theo cách đã lựa chọn Nếu không thực hiện

được tiếp, cần trả lời các câu hỏi: Khó khăn lớn nhất xuất hiện ở đây là gì? Biến đổi nào phá bỏ được nó? Hãy quay lại bước phân tích

Bước 3: Trình bày lời giải một cách ngắn gọn nhất, đảm bảo

chính xác

Bước 4: Những kinh nghiệm thu được từ quá trình trên, cụ thể:

Dạng nguyên hàm – tích phân tổng quát cho bài này là gì? Những kĩ thuật nào giúp giải dạng đó? Biến đổi then chốt của cách làm trên là biến đổi nào? Hãy ghi nhớ

Còn cách giải nào khác? Còn cách trình bày nào khác? Bước biến đổi không thành công ở trên dẫn tới bài toán mới nào? Hãy tạo ra những bài toán cùng dạng Hãy thay đổi hình thức bài toán qua phép đổi biến

Thứ 3, giáo viên chú ý xây dựng được các cách khác nhau hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải của bài toán

2.5 Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán nguyên hàm, tích phân bằng nhiều cách

Dưới đây là một số tình huống trong việc hướng dẫn học sinh giải bài tập toán thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân

2.5.1 Nguyên hàm

Bài 1: Tính cos sin x3x dx [3]

23

+ Cách 1

- Giáo viên cần lưu ý: Bài toán trên là nguyên hàm của một hàm

số lượng giác Hàm dưới dấu tích phân gồm có sin x và cos x Hơn nữa,

ta có (sin )'x cosx và (cos )'x  sinx Chính vì thế, ta có thể dùng phương pháp đổi biến số

- Giáo viên có thể hướng dẫn dựa vào hệ thống câu hỏi:

(?1) Đây là nguyên hàm của hàm số gì?

(?2) Hàm lượng giác này bao gồm những thành phần nào? Các em hãy cho cô biết về mối liên hệ giữa chúng về mặt đạo hàm?

(?3) Nhìn vào hàm dưới dấu tích phân, ta thấy sinx có bậc 1, cosx bậc 3, hơn nữa sinxdx d(cos )x , suy ra ta nên đặt u là sin x hay

- Giáo viên hướng dẫn dựa vào hệ thống câu hỏi:

(?1) Hãy tính vi phân của các hàm số sau: ycosx?

(?2) Từ kết quả dy sinxdx ở trên, đưa sin x vào vi phân và tính

24

Nhận xét, đánh giá

Bài toán trên là bài toán cơ bản của phần nguyên hàm Đối với học sinh, khi vừa mới làm quen với khái niệm nguyên hàm, giáo viên nên hướng dẫn theo cách 1 Cách này giúp các em rèn luyện được phương pháp đổi biến số, cách nhìn nhận được hàm số dưới dấu tích phân để đổi biến cho phù hợp Cách 2 có ưu điểm là lời giải nhanh, gọn và không cần đổi biến số Tuy nhiên, kiến thức vi phân nhiều em học sinh còn rất mơ màng, nắm không vững Cho nên, học sinh còn gặp khó khăn trong việc đưa hàm số vào vi phân để giải toán Trong 2 cách trên thì cách 1 là tối

ưu hơn cả nhưng giáo viên nên giới thiệu hướng giải thứ 2 cho học sinh khá – giỏi có thể tiếp cận đến 1 lời giải nhanh, gọn và hiệu quả hơn nếu

- Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào hệ thống câu hỏi

(?1) Đây là nguyên hàm của hàm gì?

(?2) Sử dụng phương pháp đổi biến số

2 cách trên thì cách 1 là phù hợp với đa số đối tượng học sinh

Bài 3: Tính x3.(3 2 x4 3) dx

+ Cách 1

- Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào hệ thống câu hỏi:

(?1) Đây là nguyên hàm của hàm số gì?

(?2) Các em hãy phá ngoặc và triển khai theo hằng đẳng thức hàm

số trên?

(?3) Kết quả ta sẽ thu được 1 đa thức bậc 16, sử dụng định nghĩa, tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản, một học sinh đứng lên trình bày lời giải

- Giáo viên hướng dẫn dựa vào hệ thống câu hỏi

(?1) Đây là nguyên hàm của hàm gì?

(?2) Sử dụng phương pháp đổi biến

(?3) Dùng phương pháp đổi biến, đặt t (3 2 )x4 3

Nhận xét, đánh giá

Bài toán trên là một bài toán ở mức trung bình – khá, nó không quá khó để tìm ra được lời giải Hai cách trên là hai cách giải khác nhau, cho ta hai kết quả nhìn về hình thức thì khác nhau, tuy nhiên cả hai kết

quả đều đúng

Quan sát 2 cách hướng dẫn, chúng ta thấy rằng nếu bậc của

4

(3 2 ) x không phải là 3 mà cao hơn nữa, ví dụ như 200 chẳng hạn, khi

đó, cách 1 sẽ quá khó khăn để thực hiện được Nhưng nếu sử dụng cách

2 thì bài toán lại được thực hiện 1 cách dễ dàng

Trong 2 cách nêu trên thì cách 2 là cách giải hiệu quả nhất, giúp cho học sinh có tư duy linh hoạt để giải quyết các bài toán tương tự

27

Bài 4: Tính

3 2

x dx

x

+ Cách 1

- Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào hệ thống câu hỏi

(?1) Đây là nguyên hàm của hàm gì?

(?2) Sử dụng phương pháp đổi biến

(?3) Dùng phương pháp đổi biến đặt u x 1 Như vậy hàm này hoàn toàn có thể biểu diễn được theo biến u

- Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào hệ thống câu hỏi

(?1) Đây là nguyên hàm của hàm gì?

(?2) Hãy triển khai mẫu số theo hằng đẳng thức

(?3) Nhìn vào đề bài, bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu, ta thực hiện chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản hơn Hãy chia đa thức trên

- Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào hệ thống câu hỏi

(?1) Đây là nguyên hàm của hàm gì?

(?2) Với hàm đã cho hoàn toàn là 1 hàm đa thức, liệu ta có thể sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần hay không?

(?3) Quan sát

3 2

x dx

Ba cách giải với 3 hướng suy nghĩ khác nhau Mỗi cách giải đều

có ưu điểm và nhược điểm của nó

Đối với cách 1, học sinh có thể dễ dàng tiếp cận vì việc đổi biến trong bài này tương đối đơn giản Nhìn vào hàm

3 2

Cách 2 là hướng giải mà ta sẽ nghĩ ngay đến khi gặp biểu thức mà

có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu Việc chia đa thức sẽ giúp chúng ta đưa 1 biểu thức phức tạp về biểu thức đơn giản hơn, từ đó có thể áp dụng

tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản để hoàn thiện

Cách 3 sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Đối với biểu thức hoàn toàn là đa thức như trên thì việc nghĩ đến sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần là điều mà ít học sinh nghĩ đến Qua cách hướng dẫn này, giáo viên giúp học sinh thấy rằng, chúng ta

30

phải tiếp cận một bài toán dưới nhiều góc độ, từ đó rèn luyện tư duy linh

hoạt, sáng tạo

Đối với bài toán này, cách 1 là đơn giản, hiệu quả và phù hợp với

đa số học sinh Tuy nhiên, khi gặp những bài toán có biểu thức phức tạp

hơn thì nên hướng học sinh theo hướng suy nghĩ theo cách 2

Bài 5: Tính x 2 5 xdx

+ Cách 1

- Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào hệ thống câu hỏi:

(?1) Đây là nguyên hàm của hàm gì?

(?2) Đối với bài toán trên, ta không thể sử dụng tính chất hay bảng nguyên hàm cơ bản để giải Hãy thử đổi biến?

(?3) Để đơn giản hóa biểu thức, ta nên đặt biến mới cho biểu thức phức tạp nhất, vậy trong tình huống này đặt u là gì?

31

(?1) Đây là nguyên hàm của hàm gì?

(?2) Hơn nữa, ta có thể viết 2 5x dưới dạng lũy thừa như thế nào?

(?3) Từ việc đưa hàm vô tỉ 2 5x thành hàm đa thức với lũy thừa 1

2, ta thấy hàm này trở nên quen thuộc hơn Các em hãy biến đổi x sao cho nó chứa nhân tử (2 5 ) x ?

32

theo biến mới Đây là cách mà học sinh thường nghĩ đến khi giải những

bài toán dạng này

Cách 2 đòi hỏi học sinh có kĩ năng quan sát và phân tích Đầu tiên

là đưa 2 5x về dạng

1 2

Có rất nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc đưa 1 biểu thức vào trong

vi phân

Đối với bài trên, cách 1 là phù hợp với mọi đối tượng học sinh Đối với học sinh khá – giỏi, giáo viên có thể hướng dẫn thêm theo tình huống 2 để học sinh có nguồn kiến thức phong phú hơn, rèn luyện tư duy

linh hoạt trong các bài tập phức tạp hơn

- Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào hệ thống câu hỏi

(?1) Hàm dưới dấu tích phân là hàm gì?

(?2) Quan sát hàm sin

x

x x ta nhận thấy ngay là không thể sử

dụng định nghĩa, tính chất, đổi biến hay nguyên hàm từng phần để giải quyết được Vậy đối với bài toán có dạng mới như trên, ta sẽ giải quyết như thế nào?

(?3) Vì biểu thức trên có dạng phân thức nên ta biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu và đạo hàm của mẫu

Tức là tìm A, B sao cho sin sin cos cos sin