TÀI LIỆU ÔN THI OLYMPIC TOÁN ĐẠI SỐ

TÀI LIỆU ÔN THI OLYMPIC TOÁN ĐẠI SỐ biên) – – – THANH PHONG 1 thi sinh viên T b 6, 9, 10 Oly 2 Ụ Ụ 1 Ụ Ụ 2 hươn 1 Ứ 6 1 Ứ 6 6 6 6 7 7 9 §2 Ủ Ứ 11 11 12 14 4 16 5 17 6 17 §3 Ứ 21 1 21 2 23 h.TÀI LIỆU ÔN THI OLYMPIC TOÁN ĐẠI SỐ

1

thi

sinh viên

T

b

[6], [9], [10]

Oly

2

Ụ Ụ

1

Ụ Ụ 2 hươn 1 Ứ 6

1 Ứ 6

6

6

6

7

7

9

§2 Ủ Ứ 11

11

12

14

4 16

5 17

6 17

§3 Ứ 21

1 21

2 23

hươn 29

1 Ủ N 29

29

29

29

29

5 30

31

3

31

2 Ma 31

31

31

31

6 Ma tr 32

32

33

§ 35

1 35

36

Ừ 42

42

42

NG Ủ 49

49

49

3 ng c a ma tr n 50

hươn 55

hươn Ứ 61 1 Ứ 61

61

61

Ứ 64

64

66

67

70

72

73

4

hươn Ì 81

§1 Ì 81

1 H n tính và không tuy n tính 81

2 D ng ma tr n c a h n tính 81

3 Nghi m c a h 82

4 H n 83

§ Ì 83

83

ử Gauss 86

89

4 Sử d nh lý v nghi m c c 91

5 Sử d i x gi i h i x ng 94

96

hươn Ô E TUY N TÍNH 108 §1 Ô E 108

1 Khái ni 108

c l p tuy n tính và ph n tính 108

và s chi u c 108

4 Ma tr n chuy t x x1, 2, ,x n sangy y1, 2, ,y n 109

5 Không gian con - H ng c a m t h 110

6 T ng và t ng tr c ti p 110

7 111

§2 ÁNH X TUY N TÍNH 116

1 Khái ni m ánh x tuy n tính 116

2 Ma tr n c a ánh x tuy n tính 117

3 Ảnh và h t nhân c ng c u tuy n tính 118

4 Giá tr 118

5 T ng c c 119

5

119

§3 CHÉO HÓA MA TR N VÀ ỨNG DỤNG 124

1 Chéo hóa ma tr n 124

2 Ứng d ng c a chéo hóa ma tr n 126

ng 128

§ ỨC CỰC TIỂU 134

c c c ti u 134

n c c ti u 134

3 Bài t p áp d ng 135

136

hươn 6 TỔ HỢP 144 §1 CHỈNH HỢP – TỔ HỢP – HOÁN V 144

1 Ch nh h p 144

2 T h p 144

3 Hoán v 145

§2 NH THỨC NEWTON – TAM GIÁC PASCAL 146

1 Nh th c Newton 146

2 Tam giác Pascal 147

ỨNG MINH VÀ NGUYÊN LÝ QUY N P 148

ng minh tr c ti p và ph n ch ng 148

2 Nguyên lý qui n p 149

§4 NGUYÊN LÍ DIRICHLET - NGUYÊN LÍ CỰC H N 152

1 Nguyên lí Dirichlet (hay còn g i là nguyên lí chu ng thỏ) 152

2 Nguyên lý c c h n 153

6 Error! Bookmark not defined 166

6

hươn 1 Ứ

, …

1 Ứ ử K K ,

1 h n hứ nh n h 1 K

0 1 ( ) n n, f x  a a x a x a iK i, 0,1, ,n a 0

do K K[x] ủ hứ

nh n h f x( ) a0 a x1   a x n n K n

a n 0 f (x n deg( f

ử a n f (x)

h n ừ nh n h hứ nh n h

0 0 ( ) ; ( ) n m i i i i i i f x a x g x b x    

nmvà a i b i, i 0, ,n nh n h

0 0 ( ) ; ( ) n m i i i i i i f x a x g x b x    

7

0 0

i

i

m n k







nh 1 0 f x g x( ), ( )K x[ ]

a) deg( ) f deg( )g ( ) f x g x( )0 deg( f g)max{deg( ),deg( )}.f g deg( ) f deg( )g f x( ) g x( )0 deg( f g)deg( )f deg( ).g b) deg(fg)= deg(f )+deg(g) h h ư nh  K[x], g(x)

 K[x] sao cho f x( )g x q x( ) ( )r x( ), deg( )r deg( )g  0

q(x), r(x f (x) cho g(x) nh n h f (x), g (x)  K [x], K g (x) 

q(x)  K [x] sao cho f (x) = q (x)g (x f (x g (x) hay g (x

f (x) trong K [x f (x) | g (x) hay g x( ) f x( ) h ng n nh ủ h hứ nh n h 6 ử 0 f x g x( ), ( )K x[ ]

f (x g(x UCLN f x g x( ( ), ( )) h(x ỏ

a) h (x h (x

b) h (x) f (x g(x h (x) | f (x h (x) | g (x) c) f (x g (x h (x) nh n h f (x) g(x

▪ h n E ủ h hứ

nh f x g x( ), ( )K x[ ]và deg( )f deg( )g

a) = UCLN f x g x( ( ), ( ))b g x1 ( ),

f (x), g (x deg( )f deg( )g deg(g) = n q (x r (x) sao cho

r x( )0, suy ra 1UCLN f x g x( ( ), ( )) UCLN g x r x( ( ), ( ))

deg( )r deg( )g n ’(x), ’(x) sao cho

12

nh 2

a không

• ơ n

Cho f x( ) a0 a x1   a x n nK x[ ] ( )f x cho x c

     1

0 1 1 ( ) n n q x b b x b x r f c( ) ( )q x r

1 1 0 1 2 1 1 0 1 1 0 0

n n n n n n n a a a a c b a b a cb b a cb r a cb             2 h hứ nh n h ử c m * ( )f x K x[ ]

( ) ( )m ( ), ( ) [ ] f x  x c g x g x K x g(c)0 nh 3 Cho ( ) f x K x[ ]

f (x).■ 2

ử f(x x ỏ n trên K n+1

K Suy ra f (x) – g (x n

f (x) - g(x n n

f (x) – g(x f (x) = g(x).■ nh 4 x x1, 2, ,x k

1 0 ( ) n n n [ ]

f x a x ax    a x m m1, 2, ,m k

1 2 k

( ) ( ) (m ) (m ) m k

n n n n

n n

n n

n n n n

n n

n n

14

3 hứ h n ư n

nh n h 1 ử K f (x)  K [x

trong K [x K [x f (x) = g ( x )h ( x ), g (x), h (x)  K [x g (x) hay h (x

nh 1

f (x g(x R[x] sao cho ( ) ( ) 1 f x g x  R 0 deg( ) deg( ) deg( ) fg  f  g

deg( )f deg( )g 0, hay f x( )

f x( ) f (x ử R ■

ụ x + [ ] x [ ]x

nh 6

a)

b)

a) f x( )ax b K x a[ ], 0 f x( )0 f x( )

ử f x( )g x h x( ) ( ) g x h x( ), ( )K x[ ], deg(g) + deg(h) =

deg( ), deg( )g h deg( ).f deg(g) = 1; deg(h) = deg(g) = 0; deg(h) = 1 deg(g) = 1; deg(h) = h(x

deg(g) = 0; deg(h) = g(x

f x( )

f(x ■

ử f (x K

f (x f (x)= g(x)h(x); g(x), h(x)K[x g(x h(x

f (x) K f(x) f(x) K ■

15

nh  x ,

6 2,  x

ử f (x  x 2 2, 1), f (x f x( )(xc g x) ( ), deg( )g 0, ( )g x  [ ],x

x – c f (x f (x ■

nh ( ) f x  [ ]x z a ib b, 0 z a ib

( ) f x x22axa2 b2.

ử 1 1 0 ( ) n n n n

f x a x a x   a z

( )f x

1 1 1 0 ( ) n n n n 0

f z a z a z   a z a

    1 1 1 0 0 n n n n a z a  z   a za  z f (x f (x

2 2 2 (xz x)(   z) x 2ax a b a b, ,  ■

[ ], x

6 2, 3

 x ử f (x  x

f (x c f x( )(xc g x) ( ),

  deg( )g 0, ( )g x [ ].x x c f (x f (x f (x 2 2, 1), f (x

z 2, 3) suy ra f (x

g x( ) ( x z x)(    z) x2 (z z x)  z z,

17

nh

    1   1 0 ( ) n n , 0

n f x x a x a n a0

 1  (1), 1   -1)

  p,UCLN p q( , )1 q f (x p a 0 q  a 0  f (x f x( )  (x ) ( )g x g x( ) [ ].x f(1)  (1 ) (1)g f( 1)     (1 ) ( 1)g 1 

f 1  f (-1) ■

▪ n h h ủ hứ     1   1 0 ( ) n n n , i

f x x a x a a như

f (1); f -  f (x) không?  a 0 ỏ 

    (1) ( 1) ; 1 1 f f

f (x) không? 5 hứ h n ư n h

[x

Eisenste

h n Eisenstein 

   1    1 0 ( ) n n n n , n 0 ( 1) f x a x a x a a n

n 2 0

quy trong [x] 6 ụ n h hứ ụ 1 Cho m f (x) = x 5 – x + m [ ] x

20

7 2011, [4]) f x( )x2012x1006 1

nh 1 a a0, , ,1 a n 1 b b0, , ,2 b n ( ) f x

ư n n P(x P’ x)Q(x

P(x) = c(x + a) n c

n n ij

n n ij

p n

n n

h

A Khi detA

n k



ụ 1 A n sau:

3

0 3

n k n

n k

 Im (A) = Im f = {Ax| xU f

 Ker (A) = Ker f = { xU |Ax = f

 rank (A) = rank (f ) = dim Im (f)

  = {e1, e2 … e n U f { f (e i)}i = 1, ,n

dim Im(AB)dim(Ker A( )Im( ))B dim Im( )B

Suy ra rank AB( )rank B( ) dim(Im( ) B Ker A( )) (*)

(*) rank AB( )rank B( )

rank AB( )min{rank A rank B( ), ( )}

Ker A( )Im( )B  Ker A( ) D

rank B( )rank AB( )dim(Im( )B KerA)dimKer A( ) n rank A( )

Hay rank A( )rank B( ) n rank AB( ) ■

2 Cho A và B là hai ma tr n vuông cùng c p K

a) rank (A + B) ≤ rank (A) + rank (B)

b) rank (A) = rank (A), K *

ư n n

Im (A + B )  Im(A) + Im( B )

rank (A + B) ≥ | rank(A) - rank(B)|

ư n n rank (A) = rank(( A + B ) – B ) rank(B) = rank(A + B – B )

ư n n ử rank ( A ) + rank ( B ) – n ≤ rank ( AB )

9 2012, [5]) Cho A, B n sao cho

2012

55

ư n n Im(AB)Im( )B Im(AB) Im( ).B

B = BA r

X  x  ử j0 j0

A Y (y i j n n) 1

ij

4 Cho A detA = A T giao

61

hươn 3 Ứ

1 Ứ

62

V xem

i ii iii) ■

nh 6

k k

k k

      

1 2

, , , , , ,

, , ,

, , ,

, , , , , ,

1

, , ,

, , ,

, , , , , ,

66

2 ư n

t

ụ 1 nh nh hứ

1

2 3

67

1 1

69

D n-1 n – x1

11

71

-

11

1

n n n

n n

x x

y y

n

x x X x

m

b b B b

83

Y 0 là m t nghi m c a h AX = B khi và ch khi Y 0 - X 0 là m t nghi m c a h AX = 0,

t c là n u và ch n u Y0X0L Bao hàm th i Y0X0L.■

nh n h Nghi m riêng và nghi m t ng quát c a h n tính)

V i các gi thi t c nh lý 3.3.3, X 0 c g i là m t nghi m riêng c a h

86

hươn h h Gauss

t khi gi i m t h n tính, các phép bi cho ta các h c là h có cùng t p h p nghi m):

ii) N u r A r A B n thì h có duy nh t m t nghi m

ma tr n b sung [A|B] v d ng b c thang [A 1 |B 1]

• nh h ng c a ma tr n A và [A|B nh lý Kronecker – Capelli

87

hươn h – Jordan

– Jordan có n ử Gauss Tuy

nhiên sau khi n b sung [A|B] v d ng b c thang [A 1 |B 1], ta ti p t c dùng

ư ng d n Xét h g m (n – này có r(A|B) = r(A) =

n – 1 nên h có vô s nghi m v i 1 n t do là x n Tìm nghi m c a h t

n thì h có nghi m duy nh t là X = 0 n u det A0 và có vô s nghi m n u detA0

Ví dụ 1 Tìm tham s m h Cramer Tìm nghi m trong

n n

ư ng d n Vì detA nên h luôn có nghi m

n n

6

2013

1 2 20131.2 1.3 2012.2013

N u a = 1 h có vô s nghi m x y z, , ,   x y z 1 v i x y z, ,  tùy ý

20111

2012 1

th c Ch ng minh r ng không gian nghi m c AX = 0 và BX = 0 là

b ng nhau khi và ch khi t n t i ma tr n kh ngh ch C sao cho A = CB

t u tiên c ng th i th c hi n tr ng thêm m t s cây xanh C th trong tháng th nh t s tr ng thêm 100 cây, tháng th hai tr ng thêm 102 cây, tháng

th ba tr ng thêm 104 cây, tháng cu i cùng tr ng thêm 106 cây T i bu i t ng k t D

i ta cho bi t, t ng s cây hi n t i trong thành ph c khi th c hi n D án Hỏi hi n nay thành ph có bao nhiêu cây xanh?

ư ng d n Ký hi u y 0 là s u công ty qu n lý Ký hi u y 1 , y 2 , y 3 , y 4 là s

ng c a công ty cu i các tháng th 1, 2, 3, 4 T gi thi t ta thi t l c

m t h m 5 n trên Gi i h c k t qu là y 4 = 880

19 ([18]) M i cho bi ng giao thông (s

n/gi ) trên m t s tuy ng m t chi u trung tâm thành ph Baltimore

M ng âm trong m ng di chuy i

n Tuy nhiên, trong ví d này các tuy ng m t chi

bi n không th nh n giá tr âm Vì v y ta có th k t lu n:

I 1 = 1 (A), I 2 = 2 (A), I 3 = 1 (A)

21 ([19]) Hãy tính n i l c trên các thanh c

, ta áp d u ki n cân b ng t phân tích l có h g i h này ta

c k t qu :

450

22 ([18]) Các giao l c thi t k ng vòng m t chi u

i Gi sử r n giao thông ph i di chuy

ng d ng giao thông c a m i và tìm giá tr

26 ([20]) tính là ampe) trong m n sau:

I 1 = I 3 = I 4 = 1; I 2 = I 6 = 2; I 5 = 3

27 ([19]) Hãy tính n i l c trên các thanh DF, DG c

29 ([18]) Cho b ng giá tr ng các ch m, ch t carbohydrate và ch t béo có

trong s a không béo, b u nành và váng s a cùng s ng c a t ng ch t mà m i

n dùng trong m

m i ngày c n dùng

c b ng cách tính chu k c a sao Hỏa và sao M c

Chu k c a sao M

107

31 ([18]) Gi sử t i m t thành ph i và

vùng ngo i Bi t r ng m % i dân ngo i ô chuy n vào thành ph (97% l i ngo % i dân thành ph chuy n ra ngo i ô (95% l i thành ph )

Hãy tính dân s c a thành ph A và vùng ngo

S dân c a thành ph và vùng ngo

S dân c a thành ph và vùng ngo

(i) T p V cùng v i phép c ng là m t nhóm Abel

(ii) V i m i a,bK và m i x,yV, ta có:

a(x + y) = ax + ay (a + b)x = ax + bx (ab)x = a(bx) 1x = x

5 Không gian con - H ng của m t h ơ

nh n h 7 T p con không r ng W c g i là m t không gian con c a V n u

x yW  k K x y W kx, W

M nh 2 N u W là m t không gian con c a V thì dimW dimV

ẳng th c dimW = dimV x y ra khi và ch khi W = V

n

i i i i

113

0

1

E

n

a a

V y E n là không gian con c a Map , 

 Vì 1,cos ,sin ,cos 2 ,sin 2 , ,cosx x x x nx,sinnx là h sinh c a E n nên ta ch c n

Theo gi thi t quy n p ta cóa o   a1 a n10;b1  b n10.

Theo (1) suy raa ncosnx b nsinnx0