Gọi F là hình chiếu của E trên đường thẳng AB, a Chứng minh rằng tứ giác AEMN và tứ giác BMFE nội tiếp đường tròn.. Kẻ AK vuụng gúc với BD tại K, AK cắt MD tại I, BI cắt MA tại N, Chứng
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT – TRƯỜNG THCS AN BÌNH BÀI TẬP TỔNG HỌC ÔN THI VÀO 10 HÌNH HỌC
B i à 1: Cho ∆ABC nhọn (AB>AC), nội tiếp đường tròn (O; R), kẻ phân giác AD của ·BAC cắt (O) tại D, tia DO cắt
BC tại M và cắt (O) tại E (khác D) Gọi F là hình chiếu của E trên đường thẳng AB,
a) Chứng minh rằng 4 điểm B, E, F, M cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng MF// AD
c) Đường thẳng qua M và trung điểm N của đoạn thẳng AC cắt EA tại K
Biết ·BAC = 600, tính độ dài đoạn KF theo R
B i à 2: Cho ∆ABC nhọn (AB>AC), nội tiếp đường tròn (O; R), kẻ phân giác AD của ·BAC cắt (O) tại D, tia DO cắt
BC tại M và cắt (O) tại E (khác D), Đoạn thẳng AD cắt BC tại N Gọi F là hình chiếu của E trên đường thẳng AB, a) Chứng minh rằng tứ giác AEMN và tứ giác BMFE nội tiếp đường tròn
b) Tia MF cắt tia CA tại K Chứng minh rằng MF vuông góc với AE và ∆ KEF cân
c) Đường thẳng qua C vuông góc với đường thẳng AE tại H, MH cắt CA tại I Chứng minh rằng OI //KF
B i à 3: Cho ∆ABC nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O; R), kẻ phân giác AD của ·BAC cắt (O) tại D, tia DO cắt
BC tại M và cắt (O) tại E (khác D) Đường thẳng qua M song song với AD cắt AC tại N, Kẻ EK vuông góc với AB tại K,
a) Chứng minh rằng tứ giác CENM và tứ giác ANEK nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh rằng 3 điểm K, N, M thẳng hàng
c) Đường thẳng qua N song song với đường thẳng BC cắt EA tại H Chứng minh rằng BH vuông góc với AE
B i à 4: Cho ∆ABC nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O; R), kẻ phân giác AD của ·BAC cắt (O) tại D, tia DO cắt
BC tại M và cắt (O) tại E (khác D) AD cắt BC tại N, gọi K là hình chiếu của B trên đthẳng AD
a) Chứng minh rằng tứ giác EANM và tứ giác BDMK nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh rằng MK//AC
c) Đường thẳng MK cắt AE tại G, đường thẳng qua G song song với BC cắt AC tại H Chứng minh rằng EH vuông góc với AC
d) Nếu độ dài GF = 3
2
R , chứng minh rằng AC2 + AE2 + AB2 = 6R2
B i à 5: Cho ∆ABC nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O; R), kẻ phân giác AD của ·BAC cắt (O) tại D, tia DO cắt
BC tại M và cắt (O) tại E (khác D) Kẻ EF vuông góc với AC tại K,
a) Chứng minh rằng tứ giác CEFM nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh rằng AD MC = BD FC
c) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AD, Cminh rằng ∆BNF cân
B i à 6: Cho ∆ABC nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O; R), Gọi D là điểm chính giữa của cung »BC nhỏ, tia DO
cắt (O) tại E (khác D) và cắt AC tại M Tia EB cắt AD tại N
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMN và tứ giác BDMN nội tiếp đường tròn
b) Đường thẳng DB cắt AE tại K Chứng minh rằng K, M, N thẳng hàng
c) Gọi H là trung điểm của đoạn AD, đường tròn ngoại tiếp ∆ABH cắt đoạn thẳng AC tại F Chứng minh EF vuông góc với AC
Bài 7
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A
1, Chứng minh rằng tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT
2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC
3, Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC , góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tai một điểm
4, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC
Bài 8
Trang 2BÀI TẬP HèNH HỌC ễN THI VÀO THPT – TRƯỜNG THCS AN BèNH
Cho đường trũn (O) và một điểm M ở ngoài đường trũn Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường trũn (O) (A, B là hai tiếp điểm) Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, MD cắt đường trũn (O) tại điểm C và MO cắt AB tại H Gọi E là giao điểm của AC và MH
1 Chứng minh tứ giỏc MAOB, tứ giỏc MCHB nội tiếp
2 Chứng minh AC vuụng gúc với CH
3 Gọi F là trung điểm của MB Chứng minh EF/// AB
4 Kẻ AK vuụng gúc với BD tại K, AK cắt MD tại I, BI cắt MA tại N, Chứng minh ND là tiết tuyến của (O)
Bài 9 Cho đường trũn đường kớnh AB Điểm I nằm giữa A và O (I khỏc A và O) Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB
tại I Gọi C là điểm tựy ý thuộc cung lớn MN (C khỏc M, N và B) Nối AC cắt MN tại E Chứng minh:
1.Tứ giỏc IECB nội tiếp
2. AM2 = AE.AC
3. AE.AC - AI.IB = AI2
Bài 10 Cho tam giỏc đều ABC cú đường cao AH Trờn đường thẳng BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC sao cho
MB > MC và hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AB là P (P nằm giữa A và B) Kẻ MQ vuụng gúc với đường thẳng
AC tại Q
1 Chứng minh 4 điểm A, P, Q, M cựng nằm trờn một đường trũn Xỏc định tõm O của đường trũn đú
2 Chứng minh: BA.BP = BM.BH
3 Chứng minh OH vuụng gúc với PQ
4 Chứng minh PQ > AH
Bài 11.
Cho đường trũn (O), dõy cung BC (BC khụng là đường kớnh) Điểm A di động trờn cung nhỏ BC (A khỏc B và C;
độ dài đoạn AB khỏc AC) Kẻ đường kớnh AA’ của đường trũn (O), D là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC Hai điểm E, F lõ̀n lượt là chõn đường vuụng gúc kẻ từ B, C đến AA’ Chứng minh rằng:
1) Bốn điểm A, B, D, E cựng nằm trờn một đường trũn
2) BD.AC = AD.A’C
3) DE vuụng gúc với AC
4) Tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc DEF là một điểm cố định
Bài 12
Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn đường kớnh AB với AC < BC và đường cao CH Trờn cung nhỏ BC lấy điểm M (M khỏc B và C), gọi E là giao điểm của CH và AM
1) Chứng minh tứ giỏc EHBM là tứ giỏc nội tiếp
2) Chứng minh AC2 = AH AB và AC EC = AE CM
3) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CEM Xỏc định vị trớ của điểm M để khoảng cỏch từ H đến tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CEM là ngắn nhất
Bài 12
Cho đường trũn (O) và một điểm P ở ngoài đường trũn Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường trũn (O) (A, B là hai tiếp điểm) PO cắt đường trũn tại hai điểm K và I (K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H Gọi D là điểm đối xứng của
B qua O, C là giao điểm của PD và đường trũn (O)
5 Chứng minh tứ giỏc BHCP nội tiếp
6 Chứng minh AC vuụng gúc với CH
7 Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ACH cắt IC tại M Tia AM cắt IB tại Q Chứng minh M là trung điểm của AQ
Bài 13: Xét (O ; R) một dây CD có trung điểm là H trên tia đối của DC lấy 1 điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA,
SB với đờng tròn Đờng thẳng AB cắt đờng thẳng SO và OH lần lợt tại E và F
a) Cmr : OE.OS = R2
b) Cm tg SEHF nội tiếp
c) Khi S di động trên tia đối của tia DC Cmr đờng thẳng AB đi qua 1 điểm cố định
Bài 14
Trang 3BÀI TẬP HèNH HỌC ễN THI VÀO THPT – TRƯỜNG THCS AN BèNH
Cho (O;R) có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau M là điểm bất kỳ thuộc đờng kính AB (M khác O,A,B) CM cắt (O) tại N (N khác C) Dựng đờng thẳng d vuông góc với AM tại M Tiếp tuyến với (O) tại N cắt
d ở E
a) CMR: OMEN nội tiếp
b) OCME là hình gì? tại sao?
c) CMR: Tích CM.CN không đổi
d) CMR: E chạy trên đờng thẳng cố định khi M chuyển động trên đờng kính AB (M khác A,B)
Bài 15
Cho Δ nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R Hạ các đờng cao AD, BE của tam giác Các tia AD, BE lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng:
1) Bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đờng tròn Tìm tâm I của đờng tròn đó
2) MN // DE
3) Cho đờng tròn (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB Chứng minh rằng độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp Δ CDE không đổi
Bài 16 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Lờy điểm D trên cung AB (D không trùng với A, B), lấy điểm C
nằm giữa O và B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ các tia Ax, By vông góc với AB Đờng thẳng qua D vông góc với DC cắt Ax và By lần lợt tại E và F
Chứng minh rằng ãDFC DBC=ã
Chứng minh ΔECF vuông
Giả sử EC cắt AD tại M, DB cắt CF tại N Chứng minh MN ∕∕ AB
Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp ΔEMC và đờng tròn ngoại tiếp ΔDNF tiếp xúc nhau tại D
Bài 17
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB =2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax
và By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D
1 Chứng minh :
a) CD = AC + BD
b) AC BD = R2
2 Xác định vị trí của điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất
3 Cho biết R = 2cm, diện tích tứ giác ABCD bằng 32 cm2 Tính diện tích tam giác ABM
Bài 18
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Gọi I là trung điểm của AO Qua I kẻ dây CD vuông góc với AB
1 Chứng minh:
a) Tứ giác ACOD là hình thoi
b) ã 1ã
2
2 Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác BCD
3 Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tổng (MB + MC + MD) đạt giá trị lớn nhất
Bài 19
Cho tam giác ABC (có 3 góc nhọn, AC > BC) nội tiếp đờng tròn tâm O Vẽ các tiếp tuyến với nửa đờng tròn tâm
O tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC
a Chứng minh: MAOH nội tiếp
b Chứng minh: Tia HM là phân giác của góc AHB
c Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt các đờng thẳng MA, MB lần lợt tại E và F Nối HE cắt AC tại P, nối HF cắt BC tại Q Chứng minh: PQ song song với EF
Bài 20
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn Đường trũn đường kớnh BC cắt AB, AC lõ̀n lượt tại F, E Gọi H là giao điểm của BE với CF, D là giao điểm của AH với BC
1 Chứng minh:
a) Cỏc tứ giỏc AEHF, AEDB nội tiếp đường trũn;
b) AF AB = AE AC
2 Gọi r là bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC Chứng minh rằng :
Nếu AD + BE + CF = 9r thỡ tam giỏc ABC đều
Bài 21
Cho hỡnh vuụng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khỏc B và C) Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với DM, đường thẳng này cắt cỏc đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K
1 Chứng minh cỏc tứ giỏc ABHD, BHCD nội tiếp đường trũn ;
2 Tớnh gúc CHK
3 Chứng minh KH.KB = KC.KD;
Trang 4BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT – TRƯỜNG THCS AN BÌNH
4 Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N Chứng minh 12 1 2 1 2
Bài 22.
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B) Trên tia
MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E
1 Chứng minh rằng AHEK là tứ giác nội tiếp và ∆CAE đồng dạng với ∆CHK
2 Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F Chứng minh ∆NFK cân
3 Giả sử KE = KC Chứng minh: OK//MN và KM2 + KN2 = 4R2
Bài 23 Cho đường tròn O, đường kính AB = 2R Điểm C năm trên tia đối của tia BA sao cho BC = R Điểm D
thuộc đường tròn tâm O sao cho BD = R Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại M
1 Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp
b) AB.AC = AD AM
c) CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
2 Đường tròn tâm O chia tam giác ABM thành hai phần, tính diện tích phần tam giác ABM nằm ngoài đường tròn tâm O theo R
Bài 24.
Cho đường tròn (O; R), dây cung BC (BC không là đường kính) Điểm A di động trên cung lớn BC (A khác B và C; độ dài đoạn AB khác AC) Kẻ đường kính AD của đường tròn (O), H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AD Chứng minh rằng:
1) Chứng minh rằng: Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh rằng: HE vuông góc với AC
3) Đường thẳng qua H song song với BD cắt AD tại F, đường thẳng qua F vuông góc với HF cắt BC tại K Chứng minh rằng DK//AH
4) Cho · 0
60
ABC= v à B là điểm chính giữa cung AD, tính độ dài BC theo R
Bài 25 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB với AC < BC và đường cao CH Trên cung nhỏ BC
lấy điểm M (M khác B và C), gọi E là giao điểm của CH và AM
1) Chứng minh tứ giác EHBM là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh AC2 = AH AB và AC EC = AE CM
3) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM Xácđịnh vị trí của điểm M để khoảng cách từ H đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM là ngắn nhất
Bài 26
Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và D) với đáy lớn AB có độ dài gấp đôi đáy nhỏ DC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HA, HB và I là trung điểm của AB
1 Chứng minh: MN ⊥ AD và DM ⊥ AN
2 Chứng minh: các điểm A, I, N, C, D nằm trên cùng một đường tròn
3 Chứng minh: AN.BD = 2DC.AC
Bài 27
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn (B, C là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E) Gọi H là giao điểm của AO và BC
a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng AH.AO = AD.AE
c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt tia AB tại P và cắt tia AC tại Q
Chứng minh rằng IP + KQ ≥ PQ
Trang 5BÀI TẬP HèNH HỌC ễN THI VÀO THPT – TRƯỜNG THCS AN BèNH Bài 28 Từ điểm S nằm ngoài đờng tròn tâm (O;R) vẽ hai tiếp tuyến SA;SB (A;B là các tiếp điểm ) Cát tuyến SMN
cắt bán kính OB Gọi Q là trung điểm MN
a) Chứng minh tứ giác SAOQ nội tiếp đờng tròn
b) Chứng minh QS là phân giác của góc AQB
c) Qua Q vẽ đờng thẳng vuông góc với OS cắt tia SA,SB thứ tự tại C,D Khi (O;R) và đờng thẳng MN cố định Tìm
vị trí của S trên đờng thẳng MN để diện tích tam giác SCD nhỏ nhất
Bài 29 Cho đờng tròn (O;R), dây BC cố định (BC < 2R) và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC
có ba góc nhọn Các đờng cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau ở H
a)Chứng minh rằng tứ giác ADHE nội tiếp
b)Giả sử ãBAC=600, hãy tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC theo R.
c)Chứng minh rằng đờng thẳng kẻ qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định
d) Phân giác góc ãABD cắt CE tại M, cắt AC tại P Phân giác góc ãACE cắt BD tại N, cắt AB tại Q Tứ giác
MNPQ là hình gì? Tại sao?
Bài 30 Trờn đường trũn (O,R) cho trước,vẽ dõy cung AB cố định khụng di qua O.Điểm M bất kỳ trờn tia BA sao
cho M nằm ngoài đường trũn (O,R).từ M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường trũn (O,R) (C,D là hai tiếp điểm)
a\ Chứng minh tứ giỏc OCMD nội tiếp
b\ Chứng minh MC2 = MA.MB
c\ Gọi H là trung diểm đoạn AB , F là giao điểm của CD và OH
Chứng minh F là điểm cố định khi M thay đổi
Bài 31 Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O) Hai đường cao BD và CE của tam giỏc ABC
cắt nhau tại điểm H Đường thẳng BD cắt đường trũn (O) tại điểm P; đường thẳng CE cắt đường trũn (O) tại điờm thứ hai Q Chứng minh rằng:
1) BEDC là tứ giỏc nội tiếp
2) HQ.HC = HP.HB
3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ
Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng PQ
Bài 32 Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, khụng là tam giỏc cõn, AB < AC và nội tiếp đường trũn tõm O, đường
kớnh BE Cỏc đường cao AD và BK của tam giỏc ABC cắt nhau tại điểm H Đường thẳng BK cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai là F Gọi I là trung điểm của cạnh AC Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc AFEC là hỡnh thang cõn
b) BH = 2OI và điểm H đối xứng với F qua đường thẳng AC
Bài 33 Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R Từ điểm A bờn ngoài đường trũn, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường
trũn (B, C là cỏc tiếp điểm) Từ B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường trũn tại D (D khỏc B) Nối AD cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai là K Nối BK cắt AC tại I
1 Chứng minh tứ giỏc ABOC nội tiếp đường trũn
2 Chứng minh rằng : IC2 = IK.IB
3 Cho ãBAC 60= 0 chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng
Bài 34 Cho đường trũn tõm O, vẽ dõy cung BC khụng đi qua tõm.Trờn tia đối của tia BC lấy điểm M bất kỡ.Đường
thẳng đi qua M cắt đường (O) lõ̀n lượt tại hai điểm N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O năm bờn trong gúc PMC Trờn cung nhỏ NP lấy điểm A sao cho cung AN bằng cung AP.Hai dõy cung AB,AC cắt NP lõ̀n lượt tại D và E
a)Chứng minh tứ giỏc BDEC nội tiếp
b) Chứng minh : MB.MC = MN.MP
c) Bỏn kớnh OA cắt NP tại K Chứng minh: MK2 >MB MC
Bài 35 Cho đường trũn (O; R) cú hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau Trờn đoạn thẳng AO lấy điểm M
(M khỏc A và O) Tia CM cắt đường trũn (O; R) tại điểm thứ hai là N Kẻ tiếp tuyến với đường trũn (O; R) tại N Tiếp tuyến này cắt đường thẳng vuụng gúc với AB tại M ở P
1) Chứng minh: OMNP là tứ giỏc nội tiếp
2) Chứng minh: CN // OP
3) Khi 1
AM AO
3
= Tớnh bỏn kớnh của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OMN theo R
Bài 36 Cho nửa đường trũn tõm (O ;R) ,đường kớnh AB.Gọi C là điểm chớnh giữa của cung AB.Trờn tia đối của tia
CB lấy điểm D sao cho CD = CB OD cắt AC tại M
Trang 6BÀI TẬP HèNH HỌC ễN THI VÀO THPT – TRƯỜNG THCS AN BèNH
Từ A , kẻ AH vuụng gúc với OD ( H thuộc OD) AH cắt DB tại N và cắt nửa đường trũn (O,R) tại E
1) Chứng minh MCNH là tứ giỏc nội tiếp và OD song song với EB
2) Gọi K là giao điểm của EC và OD Chứng minh ∆CKD= ∆CEB,Suy ra
C là trung điểm của KE
3) Chứng minh tam giỏc EHK vuụng cõn và MN // AB
4) Tớnh theo R diện tớch hỡnh trũn ngoại tiếp tứ giỏc MCNH
Bài 37 Cho đường trũn (O) đường kớnh AB và một điểm C cố định trờn bỏn kớnh OA (C khỏc A và O) , điểm M
di động trờn đường trũn (M khỏc A,B) Qua M kẻ đường thẳng vuụng gúc với CM , đường thẳng này cắt cỏc tiếp tuyến tại A và B của đường trũn (O) lõ̀n lượt tại D và E
a) Chứng minh ACMD và BCME là cỏc tứ giỏc nội tiếp
b) Chứng minh DC⊥EC
c) Tỡm vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc ADEB nhỏ nhất
Bài 38 ) Cho đường trũn (O), đường kớnh MN và dõy cung PQ vuụng gúc với MN Tại I ( khỏc M, N) trờn
cung nhỏ NP lấy điểm J (khỏc N, P) Nối M với J cắt PQ tại H
a) Chứng minh: MJ là phõn giỏc của gúc ãPJQ
b) Chứng minh: tứ giỏc HINJ nội tiếp
c) Gọi giao điểm của PN với MJ là G; JQ với MN là K Chứng minh GK// PQ
d) Chứng minh G là tõm đường trũn nội tiếp PKJV
Bài 39 4: (3 điểm)
Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính BC Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OC (D khác O và C) Dựng
đờng thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt nửa đờng tròn (O) tại điểm A Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia BM cắt đờng thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đờng thẳng d tại điểm E Đờng thẳng BE cắt nửa đờng tròn (O) tại điểm N (N khác B)
1 Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp
2.Chứng minh ba điểm C, K và N thẳng hàng
3 Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BKE Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đờng thẳng
cố định khi điểm M thay đổi
Bài 40 Cho đường trũn tõm O, đường kớnh AB = 2R Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường trũn (O) tại hai điểm
A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường trũn (O) (E khụng trựng với A và B) Đường thẳng d
đi qua điểm E và vuụng gúc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lõ̀n lượt tại M, N
1) Chứng minh AMEI là tứ giỏc nội tiếp
2) Chứng minh ENI EBI ã = ã và MIN 90 ã = 0
3) Chứng minh AM.BN = AI.BI
4) Gọi F là điểm chớnh giữa của cung AB khụng chứa E của đường trũn (O) Hóy tớnh diện tớch của tam giỏc MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng
Bài 41:
Cho đường trũn (O) cú tõm O, đường kớnh BC Lấy một điểm A trờn đường trũn (O) sao cho AB > AC Từ
A, vẽ AH vuụng gúc với BC (H thuộc BC) Từ H, vẽ HE vuụng gúc với AB và HF vuụng gúc với AC (E thuộc AB,
F thuộc AC)
a) Chứng minh rằng AEHF là hỡnh chữ nhật và OA vuụng gúc với EF
b) Đường thẳng EF cắt đường trũn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F)
Chứng minh AP2 = AE.AB Suy ra APH là tam giỏc cõn
c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm cựa AD và đường trũn (O) (K khỏc A) Chứng minh AEFK là một tứ giỏc nội tiếp
d) Gọi I là giao điểm của KF và BC Chứng minh IH2 = IC.ID
Bài 42: Cho đường trũn (O) cú tõm O và điểm M nằm ngoài đường trũn (O) Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF) Vẽ cỏt tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khỏc phớa đối với đường thẳng MO)
a Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF
b Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm C lờn đường thẳng MO Chứng minh tứ giỏc AHOB nội tiếp
Trang 7BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT – TRƯỜNG THCS AN BÌNH
c Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC
d Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng
Bài 43: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Các đường cao AD và CF của
tam giác ABC cắt nhau tại H
a Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp Suy ra ·AHC = 180o - ·ABC
b Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua
AC Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp
c Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN Chứng minh góc AJI = ANC
d Chứng minh rằng: OA vuông góc với IJ
Bài 44: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm bất kì
trên cung AC (M khác A và C) Đường thẳng BM cắt AC tại H Kẻ HK vuông góc với AB (K thuộc AB)
a Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp
b Chứng minh CA là tia phân giác của góc MCK
c Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân
Bài 45: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) Kẻ các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau
tại H, EF cắt BC tại M
1 Chứng minh: Các tứ giác BDHF, BCEF nội tiếp đường tròn;
2 MF.ME = MB.MC và FB là tia phân giác của góc MFD
3 Đường thẳng qua D song song với EF cắt các đường thẳng AB, AC và CF lần lượt tại N, I, K Chứng minh
D là trung điểm của NI
4 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNK đi qua trung điểm của BC
Bài 46: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF đến đường tròn (EF không
qua O và B, C là các tiếp điểm) Gọi D là điểm đối xứng của B qua O DE, DF cắt AO theo thứ tự ở M và N Chứng minh:
a) AO // CD và tứ giác ACME nội tiếp
b) ΔCEF và ΔDNM đồng dạng
c) OM=ON
d) CE, CF cắt AO tại P, Q Chứng minh AM.AQ = AP.AN
(ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NĂM HỌC 2013 - 2014
Bài 47: Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) (B, C cố định, A di động trên
cung lớn BC) Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I
a) Chứng minh rằng MBC = BAC Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE
c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q) Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng
d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất
(ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP HCM NĂM HỌC 2012-2013)
Bài 48: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < CD) Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; DP
cắt AB tại E và cắt CB tại K; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I
a Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp được và IK // AB
b Chứng minh: AP2 = PE PD = PF PC
c Chứng minh: AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED
d Gọi R1, R2 là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED
Chứng minh:
Trang 8BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT – TRƯỜNG THCS AN BÌNH Bài 49: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (O; R), (B, C là hai
tiếp điểm) Đường thẳng d tùy ý đi qua điểm A cắt đường tròn (O) tại hai điểm phõn biệt P và Q sao cho tia AP nằm giữa hai tia AB và AO Đường thẳng đi qua O và song song với d cắt đường thẳng AC tại điểm N Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng PQ
1) Chứng minh các điểm A, B, M, O, C cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh tam giác AON đồng dạng với tam giác MCO
3) Chứng minh là đại lượng không đổi khi đường thẳng d quay quanh điểm A
Bài 50: Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC không là đường kính Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
Các tiếp tuyến tại B, C- của (O) cắt nhau tại S Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB và M là trung điểm của CH Tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N
a) Gọi D là giao điểm của SA với BC Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp
b) Tia SN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E Chứng minh rằng CE song song với SA
c) Chứng minh đường thẳng CN đi qua trung điểm của đoạn thẳng SD
Bài 51: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O), trên
cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C) Đường thẳng đi qua H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn tại C Gọi giao điểm của tiếp tuyến với nửa đường tròn kẻ từ D với HC là E, giao điểm của AD và HC là I
a) Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp được
b) Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân
c) Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD, K là giao điểm của BC với đường tròn (F) Chứng minh: KI song song với AB và góc ABF có số đo không đổi khi D chạy trên cung BC (D khác B và C)
Bài 52: Cho tam giác nhọn ABC và AB = AC = a Dựng đường tròn (O, r) tiếp xúc với đường thẳng AB tại điểm B
và tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm C Gọi M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC của (O) và M khác B, M khác
C Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các đường thẳng AB, AC và BC
1) Chứng minh tứ giác ADME nội tiếp
2) Cminh tam giác MDF đồng dạng với tam giác MFE
3) Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để biểu thức 1/MD2 + 1/ME2 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a và r
Bài 53: Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), BD là đường phân giác của góc ABC Đường thẳng
BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E Đường tròn (O1) đường kính DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là
F
1 Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD đi qua trung điểm của cạnh AC
2 Biết tam giác ABC vuông tại B, góc BAC= 600 và bán kính của đường tròn (O) bằng R Hãy tính bán kính của đường tròn (O1) theo R
Bài 54: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại
tiếp tam giác HBC (P khác B, C và H) và nằm trong tam giác ABC PB cắt (O) tại M khác B, PC cắt (O) tại N khác
C BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A
1) Chứng minh rằng Các tứ giác AMEQ,nội tiếp
2Chứng minh rằng EQ// FC và ba điểm M, N, Q thẳng hàng
3) Giả sử AP là phân giác góc MAN Chứng minh rằng khi đó PQ đi qua trung điểm của BC
Bài 55: Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân Đường tròn (O) tiếp xúc với BC, AC, AB lần lượt tại M, N,
P Đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F
1) Chứng minh rằng góc OEN và góc OCA bằng nhau hoặc bù nhau
2) Bốn điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn
3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp∆ OEF Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng
Bài 56: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) Một
đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O)
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp
2) Chứng minh: AN2 = AB.AC Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4cm, AN = 6cm
Trang 9BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT – TRƯỜNG THCS AN BÌNH
3) Gọi I là trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T Chứng minh MT//AC 4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại K Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điểu kiện đầu bài
Bài 57: Cho ∆ABC có góc A= 600 Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại
D, E, F Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N
a) Chứng minh rằng: tứ giác IFMK và IMAN là tứ giác nội tiếp
b) Gọi J là trung điểm BC Chứng minh A, K, J thẳng hàng
c) Gọi r là bán kính đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r và chứng minh: IMN S S 4
Bài 58: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AH Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt AC tại N
Gọi E là điểm đối xứng của H qua AC, EN cắt AB tại M và cắt (O) tại điểm thứ hai D
1) Chứng minh: AD = AE
2) Chứng minh HA là phân giác của MHN •
3) Chứng minh: a) 5 điểm A, E, C, M, H thuộc đường tròn (O1) b) 3 đường thẳng CM, BN, AH đồng quy
4) DH cắt (O1) tại điểm thứ hai Q Gọi I, K lần lượt là trung điểm của DQ và BC Chứng tỏ I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK
Bài 59: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm của AC, vẽ đường tròn (O) đường kính CD cắt BC tại
E, BD cắt đường tròn (O) tại F
a) Chứng minh rằng: Tứ giác ABCF là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng gócAFB=gócACB và tam giác DEC cân c) Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại H Chứng minh rằng: Tứ giác CEDH là hình vuông
Bài 60: Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O) D là điểm đối xứng với A qua O Tiếp
tuyến với (O) tại D cắt BC tại E Đường thẳng DE lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC tại K, L Đường thẳng qua
A song song với EO cắt DE tại F Đường thẳng qua D song song với EO lần lượt cắt AB, AC tại M, N Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCLK nội tiếp b) Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF c) D là trung điểm của đoạn thẳng MN
Bài 61:
Bài 62:
Bài 63:
Bài 64:
Bài 65:
Bài 66:
Bài 67: