chương 6. dao động

Các phương trình trên chứng tỏ rằng độ dời x, vận tốc v, gia tốc a đều là những hàm tuần hoàn của t với chu kì: T0= T gọi là chu kì dao động của con lắc: Chu kì của một dao động là thời

CHƯƠNG 6 DAO ĐỘNG

Dao động là một dạng chuyển động rất thường gặp trong đời sống và trong kỹ

thuật Thí dụ: dao động của con lắc đồng hồ, dao động của cầu khi xe lửa chạy qua, dao

động của dòng điện trong mạch… Tổng quát, dao động là một chuyển động được lặp lại nhiều lần theo thời gian

Quan sát một hệ dao động, thí dụ một con lắc, ta thấy nó có những tính chất tổngquát sau:

a) Hệ phải có một vị trí cân bằng bền và dao động qua lại hai bên vị trí đó.

b) Khi hệ dời khỏi vị trí cân bằng bền, luôn luôn có một lực kéo hệ về vị trí cân bằng bền gọi là lực kéo về.

c) Hệ có quán tính: Khi chuyển dời đến vị trí cân bằng, do quán tính, nó tiếp tục vượt qua

Khi ta kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng O một đoạn OM = x (x gọi là độ dời của

quả cầu), lò xo đàn hồi tác dụng lên quả cầu một lực kéo về urE ngược chiều với độ dời Nếutrị số x không lớn lắm, thực nghiệm chứng tỏ rằng giá trị của lực kéo về F tỉ lệ với độ dời:

F = -kx (dấu – chứng tỏ F và x ngược chiều) k là một tỉ lệ gọi là hệ số đàn hồi.

Nếu ta thả quả cầu ra, dưới tác dụng của lực kéo uvF

, nó sẽ dao động quanh vị trí cân bằng

Nếu không có ma sát, dao động đó sẽ tiếp diễn mãi và được gọi là dao động điều hoà.

6.1.2 Phương trình dao động điều hoà.

Phương trình Niutơn đối với quả cầu: m.a = F= - k.x (1)

Gia tốc a của quả cầu cho bởi: a=dv = d x22

dt dt (2)Thay (2) vào (1) ta được: m d x22 = −k x.

Dao động điều hoà là dao động trong đó độ dời là một hàm số sin của thời gian t

Dao động này cũng gọi là dao động điều hoà riêng

6.1.3 Khảo sát dao động điều hoà

Đại lượng A được gọi là biên độ dao động, rõ ràng là: A= x max

Đại lượng: 0 = k

m

ω được gọi là tần số góc của dao động

(ω 0t+ ϕ) gọi pha của dao động, nó xác định trạng thái dao động tại thời điểm t

ϕ là pha tại thời điểm t = 0, được gọi là pha ban đầu

Vận tốc của con lắc:v = dx = − 0Asin( 0t+ )

Vậy gia tốc luôn ngược chiều và tỉ lệ với độ dời

Các phương trình trên chứng tỏ rằng độ dời x, vận tốc v, gia tốc a đều là những hàm

tuần hoàn của t với chu kì: T0=

T gọi là chu kì dao động của con lắc:

Chu kì của một dao động là thời gian ngắn nhất để hệ biến đổi từ một trạng thái chuyển động nào đó lại trở lại trạng thái ấy

Tần số là một đại lượng có trị số bằng số dao động toàn phần mà hệ thực hiện được trong một đơn vị thời gian 0

0 0

1 2

T

ω υ

π

6.14 Năng lượng dao động diều hoà.

Năng lượng dao động là cơ năng W: W = Wđ + Wt

(trong đó W đ và W t’ lần lượt là động năng và thế năng của con lắc lò xo)

Động năng của con lắc lò xo tại thời điểm t

= ∫ = −∫ = − công này có trị số bằng độ giảm thế năng của con lắc lò xo từ O đến M

( W t) – W t 2

2

o

kx

= − (trong đó (W t ) o là thế năng tại O, W t là thế năng tại M)

Nếu ta quy ước thế năng của con lắc lò xo tại O bằng không (Wt)o = 0, thì

hay: W = 1 2 1 2 2

2kA = 2mA ωo

Đó là biểu thức năng lượng của hệ dao động điều hoà : nó được bảo toàn trong quá

trình dao động Điều này phù hợp với định luật bảo toàn cơ năng Trong quá trình dao động

điều hoà, cơ năng, tức là tổng động năng và thế năng, bảo toàn, nhưng luôn luôn có sự chuyển hoá giữa động năng và thế năng

o 1 2W

ω = (8- 21)

Công thức này cho phép ta tính tần số riêng ωokhi biết A, m và W Những kết quả trên

đây tính toán đối với dao động điều hòa của con lắc lò xo nhưng cũng đúng đối với một hệbất kì dao động điều hoà

6.1.5Con lắc vật lí

Con lắc vật lý là một vật rắn khối lượng

M, có thể quay xung quanh một trục cố

định O nằm ngang Gọi G là khối tâm của

vật rắn G cách O một đoạn d Trong

phạm vi không gian không rộng lắm, có

thể coi G là điểm đặt của trọng lực Mgv

củacon lắc Gỉa thiết con lắc lệch khỏi vị trí

cân bằng sao cho đường OG hợp với

đường thẳng đứng một góc θ, θ gọi là độ

dời róc Khi con lắc dao dộng dưới tác

dụng của trong lượng Mgv

, θ thay đổi theothời gian t Ta thiết lập phương trình dao

θ là gia tốc góc của con

lắc, µ là mômen các ngoại lực tác dụng ở đây µ là mômen của lực urF đối với O, trị của µ

Trường hợp riêng: con lắc toán học.

Con lắc toán học gồm một chất điểm khối

lượng m teo ở đầu một sợi dây, chiều dài l

không khối lượng, không co dãn Đầu kia

của dây buộc chặt vào một trục ngang

O(h.8-4) Trong những điều kiện độ dời

góc θ nhỏ và không có ma sát, dưới tác

dụng của trọng lượng mg, con lắc toán sẽ

dao động điều hoà xung quanh O Ta hãy

áp dụng công thức (8-23) để tính chu kì

dao động của con lắc toán học ở đây:

6.2: DAO ĐỘNG CƠ TẮT DẦN

1 Hiện tượng

Trong thực tế, khi khảo sats dao động của một hệ, ta không thể bỏ qua các lực ma sát

Do đó, năng lượng của hệ dao động không phải là hằng số mà giảm dần theo thời gian Kếtquả, theo (8-20), biên dộ dao động giảm dần theo thời gian Ta nói rằng dao động của hệ là

dao động tắt dần Ta hãy xét một trường hợp thồng thường: hệ dao động chịu tác dụng của

lực cản của môi trường (lực nhớt) Nếu vận tốc dao động của hệ nhỏ thì thực nghiệm chứng

Dưới đây ta thiết lập phương trình dao động tắt dần của con lắc lò xo Tổng hợp lực tác dụnglên quả cầu là:

Phương trinh vi phân này gọi là phương trình vi phân của dao động tắt dần Theo giải

tích, khi ω 0>β, nghiệm của nó có dạng:

− (h.8-5) Như trên đã nói, biên độ A, giảm dần theo thời gian Về mặt lí thuyết mà nói,

khi t = ∞ thì biên độ A giảm đến không Nhưng thực tế chỉ sau một thời gian đủ lớn, biên độ

giảm đến một trị số không đáng kể, coi như bằng không Để đắc trưng cho mức độ tắt dần

của dao động, người ta định nghĩa một lượng gọi là giảm lượng lôga: giảm lượng lôga có trị

số bằng lôga tự nhiên của tỉ số giữa hai trị số liên tiếp của biên độ dao động cách nhau mộtkhoảng thời gian bằng một chu kì T

Theo định nghĩa này ta có

δ =ln A t T(A t( )+ )

hay, căn cú vào (8-29):

( ) 0

Vậy chu kì dao động tắt dần lớn hơn chu kì riêng của dao động điều hoà của hệ

Chú thích: Ta chỉ có nghiệm dạng dao động tắt dần (8-27) khi các hệ số ω 0 và β

trong phương trình vi phân (8-25’) thoả mãn điều kiện

0

ω >β

Nếu ω 0 ≤ β, người ta chứng minh rằng nghiệm x = x(t) không có dạng dao động mà có

dạng hàm mũ theo thời gian, biểu diễn một chuyển động tiến dần về vị trí cân bằng Vì điềukiện ω 0 ≤ β chứng tỏ lực cản quá lớn, nên hệ không thể dao động được.

1 Hiện tượng

Trong quá trình dao động tắt dần, hệ chỉ nhận được một năng lượng ban đầu, sau đónăng lượng này giảm dần để sinh công thắng công của lực ma sát Nếu bây giờ ta liên tụccung cấp năng lượng cho hệ để bù lại những phần năng lượng đã giảm thì dao động của hệ

sẽ không tắt dần nữa Nói cách khác, dao động của hệ sẽ được duy trì Việc cung cấp liên tụcnăng lượng cho hệ có thể thực hiện bằng cách tác dụng lên hệ một ngoại lực Công do lựcnày sinh ra sẽ có trị số bằng phần năng lượng bù đắp cho hệ Rõ ràng là để cho hệ tiếp tụcdao động, ngoại lực tác dụng phải biến thiên tuần hoàn theo thời gian Dao động mà hệ thực

hiện dưới tác dụng của ngoại lực toàn hoàn gọi là dao động cưỡng bức Khi tác dụng ngoại

lực tuần hoàn lên hệ, hệ bắt đầu dao động Thực nghiệm chứng tỏ rằng trong giai đoạn đầu,doa động của hệ khá phức tạp Nó là chồng chất của hai dao động: dao động riêng tắt dầndưới tác dụng của nội lực và dao động cưỡng bực dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn.Sau một thời gian đủ lớn (gọi là thời gian quá độ), dao động tắt dần coi như không còn nữa;khi đó dao động của hệ chỉ là dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn

Thực nghiệm cũng chứng tỏ rằng dao động cưỡng bức có chu kì bằng chu kì của ngoại lực

tuần hoàn tác dụng.

2 Phương trình dao động cưỡng bức

Ta thiết lập phương trình của dao động cưỡng bức đối với con lắc lò xo Lực tác dụnglên quả cầu bây giờ gồm: Lực kéo về F = -kx, lực cản F c=-rv và ngoại lực tuần hoàn Ta xéttrường hợp ngoại lực tuần hoàn này là hàm số cos của thời gian t:

Ta được một phương trình vi phân gọi là phương trình vi phân của dao động cưỡng

bức Theo giải tích, nghiệm của nó là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình không vế

phải ( chính là phương trình của dao động tắt dần) và nghiệm riêng của phương trình có vếphải ( chính là phương trình của dao động cưỡng bức) Qua thời gian quá độ, dao động động

tắt dần coi như không còn nữa: lúc đó chỉ còn dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoạilực t = HcosΩt Dao động cưỡng bức là một dao động hình sin có chu kỳ bằng t của ngoạilực tuần hoàn Biểu thức của nó là:

(điều kiện 2 2

3 Khảo sát dao động cưỡng bức Cộng hưởng

Trước hết, ta thấy rằng biên độ A và pha ban đầu φ của dao động cưỡng bức đều phụ

thuộc tần số góc Ω của ngoại lực tác dụng Nghiêm cứu sự phụ thuộc của biên độ A theo Ω

, ta được kết quả sau

của hệ số cản r Ta thấy β càng giảm (nghĩa là hệ số cản r càng

nhỏ) thì Ωch càng tăng và càng gần tới giá trị ω0, đồng thời giá

trị Amax cũng tăng Đặc biệt, khi ma sát nhỏ (β ≈ 0) thì, theo

công thức (8-36), tao có:

ch

Ω =ω0 (8-38)

Khi đó Amax sẽ có giá trị rất lớn và đường biểu diễn

tương ứng có một đỉnh nhọn Ta nói rằng có hiện tượng cộng hưởng.

Các ứng dụng trình bày sau đây cho ta thấy rõ tác dụng của hiện tượng cộng hưởng

cơ, đặc biệt là hiện tượng cộng hưởng nhọn

4 ứng dụng của hiện tượng cộng hưởng cơ

a) Đo tần số dòng điện – tần số kế

Tần số là gồm một dẫy những thanh thép gắn song song, mỗi thanh có một tần số daođộng riêng (h.8-7) Phía dưới các thanh có đặt một nam châm điện được từ hoá bởi dòngđiện xoay chiều có tần số cần phải xác định Cứ trong mỗi khoảng thời gian bằng một chu kìcủa dòng điện xoay chiều, các thanh thép được nam châm đặc biệt hút vào, nhả ra hai lần

liên tục Nói cách khác, các thanh thép bị cưỡng bức dao động với tần số bằng hai lần tần số

của dòng điện xoay chiều Thanh thép nào có tần số riêng đúng bằng hai lần tần số của dòng

điện xoay chiều sẽ dao động mạnh nhất (cộng hưởng nhọn) Chia đôi tần số riêng của thanhthép, ta sẽ được tần số của dòng điện xoay chiều Để cho tiện, trên mỗi thanh thép đều đã ghisẵn một tần số bằng nửa tần số riêng của nó

b) Ngăn ngừa sự phá hoại vì cộng hưởng cơ

Trong thực tế, hiện tượng cộng hưởng cơ thường gây tác hại Cầu bắc qua sông, đắcbiệt là cầu treo, bao giờ cũng có một tần số dao động riêng Nếu cầu chịu một lực tác dụngtuần hoàn có tần số xấp xỉ tần số riêng của cầu, cầu sẽ rung động rất mạnh và có thể gẫy

Dưới đây ta xét trường hợp nguy hiểm có thể xẩy ra khi có một động cơ quay đặt trênmột nền xi măng (h.8-8) Khi động cơ quay, nền xi măng rung động ứng với một tần sốquay nào đó của động cơ, nền xi măng sẽ rung động mạnh nhất và có thể bị phá vỡ Nguyênnhân là vì các bộ phận quay của động cơ không thể nào chế tạo hoàn toàn đối xứng được,nên trọng tâm của các bộ phận này không nằm trên trục quay Khi động cơ quay, các bộphận sinh ra một lực kích thích tuần hoàn tác dụng lên trục máy và nền xi măng ứng vớimột vận tốc góc quay bào đó của động cơ (tức là tần số góc của lực kích thích) thì xảy rahiện tượng cộng hưởng nhọn và nền xi măng có thể bị phá vỡ, trục động cơ có thể bị gẫy

Vận tốc góc này của động cơ gọi là vận tốc góc nguy hiểm Để tránh tai nạn, ta phải cố gắng

làm cho các bộ phận quay trong động cơ được đối xứng tốt, cho động cơ chạy với vận tôcgóc gấp hai, ba lần vận tốc góc nguy hiểm Và khi mở máy, ta phải cho động cơ quay thậtnhanh qua vận tốc góc nguy hiểm này

bài 4, dao động điện từ điều hoà

Dựa vào kết quả nghiên cứu dao động cơ, ta hãy chuyển động sang nghiên cứu một

loại dao động tương tự với dao động cơ về mặt hình thứcm đó là các dao động điện từ Về bản chất, loại dao động nay thể hiện sự biến đổi tuần hoàn theo thời gian của các đạ lượng

điện và từ như điện tích trên bản tụ điện, cường độ dòng điện trong mạch điện xoay chiều,

hiệu điện thế giữa hai đầu một ống dây điện, điện trường và từ trường trong không gian …Tuỳ theo cấu tạo của mạch điện, dao động điện từ trong mạch cũng chia ra: dao động điện từđiều hoà, dao động điện từ tắt dần và dao động điện từ cưỡng bức Trong tiết này ta hãy xétdao động điện từ điều hoà

1 Hiện tượng

Ta xét một mạch điện gồm một tụ điện có điện dung C và một cuộn dây có hệ số tựcảm L (h.8-9) Coi điện trở của toàn mạch không đáng kể Trước hết, ta nối hai bản của tụđiện với hai cực của một bộ ăcquy để tích điện cho tụ điện Sau đó ta ngắt bỏ ăcquy và đóngkhoá K của mạch dao động lại Trong mạch sẽ xuất hiện một dòng điện xoay chiều, cũngnhư của điện tích trên tụ điện, hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện … có dạng hình sin với biên

độ không đổi Vì vậy loại dao động điện từ này được gọ là dao động điện từ điều hoà Mạch

có tụ điện dung C và ống dây có hệ số tự cảm L được gọi là mạch dao động LC Mặt khác,

ngoài sự nạp điện lúc ban đầu cho tụ điện C, dao động điện từ điều hoà chỉ do mạch daođộng quyết định, không có sự tham gia của các yếu tố bên ngoài Vì vậy dao động điện từ

điều hoà đó còn được gọi là dao động điện từ riêng.

Qúa trình hình thành dao động đieenj từ điều hoà trong mạch LC như sau Gỉa sử ởtrạng thái ban đầu, khi hai bản của tụ điện đã được nạp điện (h8-10a), điện tích của tụ điện là

q0, hiệu điện thế giữa hai bản là 0

0

q U C

= , năng lượng điện trường của tụ điện là:

2 0 0

1

2

q W

C

Khi đóng khoá K, tụ điện C bắt đầu phóng điện qua cuộn dây L Dòng điện do tụ điện phóng

ra phải tăng từ giá trị không trở lên Dong điện này gửi qua cuộn dây L một từ thông tăngdần Trong cuộn dây L phải xuật hiện một dòng điện tự cảm Theo định luật Lenx, dòng điện

tự cảm này phải ngược chiều với dòng điện do tụ điện phóng ra Kết quả là, dòng điện tổng

hợp I trong mạch phải tăng dần từ giá trị không đến giá trị cực đại I 0 Còn điện tích q của tụ

điện thì giảm dần từ giá trị cực đại q0 Về mặt năng lượng thì năng lượng điện trường của tụđiện, 02

0

1

2

q W

Hình 8-10 Qúa trình tạo thành dao động điện từ riêng không tắt

Khi tụ điện C phóng hết điện (q=0), năng lượng diện trường We=0 dòng điện trongmạch đạt giá trị cực đại Imax=I0, năng lượng từ trường của ống dây L cũng đạt giá trị cực đại

quả là, dòng điện điện tổng hợp I trong mạch phải giảm dần (bắt đầu từ giá trị I 0 ) Trong

quá trình biến đổi này, cuộn dây L đã đóng vai trò của một nguồn điện nạp điện lại cho tụđiện C; nhưng theo chiều ngược với trước Điện tích q của tụ điện lại tăng dần từ giá trịkhông đến giá trị cực địa q0 Về mặt năng lượng thì năng lượng từ trường của cuộn dây sẽ

giảm dần, còn năng lượng điện trường của tụ điện sẽ tăng dần Vậy đã có sụ chuyển hoá dần

từ năng lượng từ trường thành năng lượng điện trường.

Khi cuộn dây L đã giải phóng hết năng lượng từ trường (I=0) thì diện tích của tụ điện

C lại đạt giá trị cực đại qmax= q0, nhưng đổi dấu ở hai bản, năng lượng điện trường lại đạt giá

2

e

q W

C

= (h.8-10c)

Từ đây, toàn bọ quá trình biến đổi trên lại được tái diễn: tụ điện C lại phóng điện,nhưng ngược chiều ban đầu, để cuộn dây L tích năng lượng; cuộn dây L lại giải phóng nănglượng để tụ điện C được nạp điện (h.8-10c, d, đ) Cuối cùng, mạch dao động trở về trạng tháiban đầu (h.8-10đ) và một dao động điện từ toàn phần đã được thực hiện

Cư tiếp tục như vâyj, do tác động qua lại của tụ điện C và cuôn dây L, trong mạch daođộng xuất hiện quá trình biến đổi tuần hoàn của các đại lượng điện và từ (q, I, W e, W m…) và

rõ ràng sự biến đổi của các đại lượng này chỉ do đặc tính riêng của mạch dao động quyếtđịnh, đồng thời các giá trị cực đại của chúng (biên độ dao động) luôn không đổi, nên loạidao động điện từ này được gọi là dao động điện từ riêng không tắt

Để khảo sát dao động điện từ điều hoà về mặt định lượng, ta hãy thiết lập phươngtrình của nó

2 Phương trình dao động điện từ điều hoà

Theo phần trình bầy trên đây, ta thấy trong quá trình dao động điện từ điều hoà, có sự

chuyển hoá giữa năng lượng điện trường và năng lượng từ trường, nhưng năng lượng toàn

phần của mạch dao đọng thì không đổi theo thời gian ( định luật bảo toàn và biến hoá năng lượng), nghĩa là

Phương trình (8-41) chính là phương trình dao động điện từ riêng không tắt Hằng số

I0 là biên độ dao động, nó chính là giá trị cực đại của cường độ dòng điện I Hằng ϕ là pha

ban đầu của dao động: hằng số ω 0là tần số góc riêng của dao động, có giá trị:

0

1

LC

Phương trình (8-41) chứng tỏ dòng điện I trong mạch LC biến thiên với thời gian theo dạng

hình sin(h.8-11) Vậy dao động điện từ riêng của mạch LC là một dao động điều hoà với

chu kì

Cuối cùng ta nhận xet thêm rằng điện tích của tụ điện C, hiệu điện thế U giữa hai bản

tụ điện này, cũng biến thiên với thời gian theo những phương trình có dạng tương tự phươngtrình (8-41)

Trong suốt quá trình nghiên cứu trên ta đã giả thiết điện trở của mạch dao động bằngkhông Nhưng trong thực tế, mạch dao động luôn luôn có một điện trở xác định khác không

Khi đó năng lượng W của mạch dao động phải giảm dần vì sự toả nhiệt Jun-Lenx Kếtquả là biên độ I0 của dòng điện trong mạch phải giảm dần Đấy là trường hợp của dao động

từ điều hoà, ở đây cũng có sự chuyển hoá giữa năng lượng điện trường của tụ điện C, sauđấy cho tụ điện này phóng điện qua điện trở R và ống dây L Tương tự như đã trình bàytrong phần dao động điện từ điều hoà, ở đây cũng có sự chuyển hoá giữa năng lượng điệntrường của tụ điện C và năng lượng từ trường của ống dây L Nhưng đồng thời năng lượngcủa mạch dao động cứ giảm dần vìe sự toả nhiệt Jun- Lenx trên điện trở R Kết quả là sựbiến thiên theo thời gian của cườn độ dòng điện xoay chiều trong mạch, cũng như của điện

tích tụ điện, mà biên độ của chúng giảm dần theo thời gian Vì vậy loại dao động điện từ này được gọi là dao động điện từ tắt dần Mạch dao động LRC ghép nối tiếp (h.8-12) được gọi là

2 Phương trình dao động điện từ tắt dần

Theo phần trình bày trên đây, ta thấy trong quá trình dao động điện từ riêng tắt dần, đã cómột phần năng lượng của dao động biến thành nhiệt Jun-Lenx toả trên điện trở R Gỉa sửtrong khoảng thời gian DT, năng lượng của dao động giảm một lượng –dW và nhiệt Jun-Lenx toả trên điện trở R là RI2dt theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng ta có:

2 2

1 0

d I R dI

dt + L dt +LC =