tªn cQ, tc cÊp trªn (1) TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT KHOA TOÁN KINH TẾ ĐỀ THI CUỐI KỲ Học kỳ II Năm học 2019 – 2020 (Được sử dụng tài liệu) Môn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Thời lượng 75 phút Mã đề ĐỀ MINH HỌA T.
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT
KHOA TOÁN KINH TẾ _
ĐỀ THI CUỐI KỲ Học kỳ II Năm học 2019 – 2020
(Được sử dụng tài liệu)
Môn: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT - Thời lượng: 75 phút
Mã đề: ĐỀ MINH HỌA
Tên SV : ……… MSSV: ………….…… … Mã lớp: ………
Đề thi gồm có: … trang
A
HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI
Chọn B Bỏ B - Chọn C Bỏ C - Chọn lại B
Phần trả lời trắc nghiệm (12 câu)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Lưu ý
Trong giờ làm bài, sinh viên được phép sử dụng các tài liệu bản quyền dưới đây
• Giáo trình Lý thuyết xác suất của UEL: bản in, không photocopy
• 01 tờ giấy khổ A4 ghi rõ Họ tên và Mã số SV với những ghi chú liên quan: chữ viết tay, không photocopy
Trang 2PHẦN I (Trắc nghiệm – 12 câu, 6 điểm)
Câu 1 Điều tra sự yêu thích các môn học thuộc lĩnh vực Toán ở một trường học Đại học người ta thu được thông tin sau: 50% sinh viên thích Toán Cao cấp (TCC), 25% thích Thống kê (TK), 40% thích Kinh tế lượng (KTL); 15% thích TCC và TK, 8% thích TK và KTL, 12% thích KTL và TCC; 3% thích cả ba loại môn học trên Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong trường Tính đúng (không xấp xỉ) xác suất để sinh viên đó không
thích bất cứ môn nào trong ba môn kể trên
A 17%
B 20%
C 23%
D Một đáp số khác
Đáp án: Đây là câu hỏi dễ cấp độ 1, dùng công thức cộng XS trường hợp không xung khắc Xác suất sinh viên được chọn không thích bất cứ môn nào trong ba môn kể trên là phần bù của thích ít nhất một môn, tức là
100% – [(50% + 25% + 40%) – (15% + 8% + 12%) + 3%] = 17%
Vậy chọn A
Câu 2 Mỗi lần mua một máy đo thân nhiệt tự động, xác suất máy bị trục trặc phải đổi trong thời gian bảo
hành là 0,1 Một trường Đại học cần mua mới 5 máy đo thân nhiệt để kiểm soát người ra vào tại các cơ sở của
trường Tính đúng (không xấp xỉ) xác suất để có đúng 3 máy trục trặc phải đổi trong thời gian bảo hành
A 0,0081
B 0,00081
C 0,0729
D Một đáp số khác
Đáp án: Đây là câu hỏi dễ cấp độ 1, dùng công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,1 XS cần tính là P5(3) Ta được P5(3) = C530,1 (1 0,1)3 − 5 3− = 0,0081 Vậy chọn A
Câu 3 Một cửa hàng nhập hai lô hàng Lô thứ nhất có 150 sản phẩm gồm 120 sản phẩm tốt và 30 sản phẩm
xấu Lô thứ hai có 60 sản phẩm gồm 40 tốt và 20 xấu Cửa hàng đó trộn chung sản phẩm của hai lô để bày bán Một khách hàng đến của hàng chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm bày bán thì chọn được sản phẩm tốt Tính
đúng (không xấp xỉ) xác suất để sản phẩm tốt đó vốn là sản phẩm thuộc lô thứ hai
A 0,25
C 16/21
D Một đáp số khác
Đáp án: Đây là câu hỏi trung bình (cấp độ 2), tính XS bằng công XS điều kiện
Gọi T là biến cố sản phẩm đã chọn là sản phẩm T; H là biến cố sản phẩm đã chọn vốn là của lô thứ hai
Ta cần tính P(H/T) Ta có
P(H/T) = ( ) 40 / (150 60)
( ) (120 40) / (150 60)
P TH
P T
+
=
Vậy chọn A
Câu 4 Một doanh nghiệp đã nhận được 10 hồ sơ ứng viên là sinh viên vừa tốt nghiệp UEL tham gia phỏng
vấn tuyển dụng Biết rằng trong số 10 ứng viên đó có: 3 ứng viên loại giỏi với xác suất được tuyển dụng đều
là 0,8; 5 ứng viên loại khá với xác suất được tuyển dụng đều là 0,7; còn lại 2 ứng viên loại trung bình với xác
suất được tuyển dụng đều là 0,5 Chọn ngẫu nhiên một ứng viên Tính đúng (không xấp xỉ) xác suất để ứng
viên này được tuyển dụng
A 0,69
B 2/3
C 0,7
D Một đáp số khác
Đáp án: Đây là câu hỏi trung bình (cấp độ 2), tính XS bằng công thức XS đầy đủ
Gọi: G, K, T lần lượt là biến cố ứng viên đã chọn tương ứng thuộc loại giỏi, khá, trung bình
Gọi: D là biến cố ứng viên đã chọn được tuyển dụng
Ta cần tính P(D) Ta có G, K, T là hệ đầy đủ Theo công thức XSĐĐ, ta có
P(T) = P(G)P(D/G) + P(K)P(D/K) + P(T)P(D/T) = 3 0,8 5 0, 7 2 0,5
10 +10 +10 = 0,69
Vậy chọn A
Trang 3Câu 5* Có 2 lô hàng Lô thứ nhất có 6 sản phẩm gồm 4 sản phẩm tốt, 2 phế phẩm Lô thứ hai có 7 sản phẩm
gồm 5 sản phẩm tốt, 2 phế phẩm Từ lô thứ nhất lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 2 sản phẩm
tùy ý rồi đem đi trưng bày Các sản phẩm còn lại của hai lô thứ nhất và thứ hai được đổ dồn lại thành một lô
mới Từ lô mới này lấy ra ngẫu nhiên (không trả lại) 1 sản phẩm; sau đó lấy tiếp 1 sản phẩm nữa Tính xác
suất để sản phẩm lấy lần sau tốt biết rằng lần đầu lấy được phế phẩm
A 437/585
B 437/1890
C 13/42
D Một đáp số khác
Đáp án: Đây là bài khó cấp độ 3 Cần sử dụng tổng hợp khéo léo công thức cộng XS, công thức nhân XSĐĐ
và công thức xác suất điều kiện
Gọi
- Ai là biến cố trong 3 sản phẩm trưng bày có i sản phẩm tốt; i = 0, 1, 2, 3
- Xk là biến cố lấy lần thứ k từ lô mới được phế phẩm; k = 1, 2
- Tk là biến cố lấy lần thứ k từ lô thứ ba mới được sản phẩm tốt; k = 1, 2
Ta cần tính P(T2/X1) Theo công thức xác suất điều kiện ta có
P(T2/X1)= P(X1T2)/ P(X1) (1)
Ta thấy {A0, A1, A2, A3} là hệ đầy đủ các biến cố Do đó ta sẽ dùng công thức XSĐĐ để tính cả tử lẫn mẫu
của (1)
Trước hết ta có
P(X1) = P(A0)P(X1/A0) + P(A1)P(X1)/A1) + P(A2)P(X1/A2) + P(A3)P(X1/A3) (2)
Mà P(A0) =
2 2 2 7
1 63
2 6
C
C = ; P(A1) =
1 1 2
2 5 2
12 63
C C C
C + C = ; P(A2) =
30 63
C
C + C = ; P(A3) =
2 5 2 7
20 63
4 6
C
C = Lưu ý rằng
+ Khi A0 xẩy ra thì Hộp 3 sẽ có 10 sản phẩm với 9 tốt và 1 phế phẩm
+ Khi A1 xẩy ra thì Hộp 3 sẽ có 10 sản phẩm với 8 tốt và 2 phế phẩm
+ Khi A2 xẩy ra thì Hộp 3 sẽ có 10 sản phẩm với 7 tốt và 3 phế phẩm
+ Khi A3 xẩy ra thì Hộp 3 sẽ có 10 sản phẩm với 6 tốt và 4 phế phẩm
Do đó
P(X1/A0) =
1
10; P(X1)/A1) =
2
10; P(X1/A2) =
3
10; P(X1/A3) =
4
10 Thay vào (2) ta được
P(X1) = 1 1
63 10 +
12 2
63 10+
30 3
63 10 +
20 4
63 10 =
13
42 Mặt khác ta lại có
P(X1T2) = P(A0)P(X1T2/A0) + P(A1)P(X1T2)/A1) + P(A2)P(X1T2/A2) + P(A3)P(X1T2/A3) = 1 (1 9 )
63 10 9 +
12 2 8 ( )
63 10 9 +
30 3 7 ( )
63 10 9 +
20 4 6 ( )
63 10 9 =
437
1890 Thay P(X1) và P(X1T2) vào (1) ta được P(T2/X1)= 437
585 ( 74,7%) Vậy chọn A
Câu 6 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau
Với a là hằng số nào đó Biết rằng kỳ vọng E(5X + 3) = 30 Tìm a
A a = 7
B a = 8,5
C a = 1
D Một đáp số khác
Đáp án: Đây là câu hỏi trung bình (cấp độ 2) về ĐLNN rời rạc hữu hạn
Ta có E(X) = 0,4a + 2,6 Do đó E(5X + 3) = 2a + 13 + 3 = 30 a = 7 Vậy chọn A
Trang 4Câu 7 Một người cầm một chùm 6 chìa khóa từ giống hệt nhau trong đó có đúng 3 chìa mở được cửa Người
đó thử lần lượt từng chìa (thử xong chìa nào thì loại chìa đó khỏi chùm) cho đến khi mở được cửa thì dừng
Xác định kỳ vọng E và phương sai V của số chìa người đó phải thử
A E = 1,75; V = 0,7875
B E = 1,75; V = 3,85
C E = 4,25; V = 0,7875
D Một đáp số khác
Đáp án: Đây là câu hỏi trung bình (cấp độ 2) về ĐLNN rời rạc
Gọi T là số chìa người đó phải thử Ta có T = {1, 2, 3, 4} Hơn nữa ta có
P(T = 1) = 3
6 = 0,5; P(T = 2) =
3 3
6 5 = 0,3; P(T = 3) = 3 2 3
6 = 0,15; P(K = 4) = 5 4 3 2 1
6 = 0,05; 5 4
Do đó bảng PPXS của T như sau
T 1 2 3 4
P 0,5 0,3 0,15 0,05
Do đó E = E(T) = 1,75; V = V(T) = 0,7875
Vậy chọn A
Câu 8 Tuổi thọ X của một loại sản phẩm (đơn vị tính: 1000 giờ) là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục với
hàm mật độ xác suất được cho như sau
f(x) = [ , ]
[ , ]
kx khi x khi x
0 0 1 (k là tham số thực)
Tính đúng (không xấp xỉ) tuổi thọ trung bình (tức là kỳ vọng) (đơn vị tính là giờ) của sản phẩm đó
A 800
B 200
C 4000
D Một đáp số khác
Đáp án: Đây là câu hỏi trung bình (cấp độ 2) về ĐLNN liên tục
Từ biểu thức của f(x) ta cần tìm k ( 0) bởi hệ thức
1 3
0
4
k
+
−
= = = =
Do đó, tuổi thọ trung bình của sản phẩm chính là kỳ vọng EX và cho bởi
1 4
0 ( ) 4
xf x dx x dx
+
−
=
Vậy chọn A
Câu 9 Cho vectơ ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y) với bảng phân phối xác suất đồng thời như sau:
Y
X 1 2 3
0
1
p 0,2 0,15 0,25 0,2 0,1
Ở đây p là một số thực dương thích hợp Xét các mệnh đề dưới đây
(1) EX = 0,55; EY = 1,9 và E(XY) = 1,045
(2) X, Y độc lập
(3) Cov(X, Y) = 0,095
Đếm số khẳng định đúng
A 0
B 1
C 2
D 3
Đáp án: Đây là câu hỏi trung bình (cấp độ 2) về vectơ 2 chiều rời rạc
Trang 5Từ tính chất tổng các xs tương ứng đồng thời bằng 1 ta được
p = 1 – (0,2 + 0,15 + 0,25 + 0,2 + 0,1) = 0,1
Ta có E(XY) = 0(…) + 110,25 + 120,2 + 130,1 = 0,95
Mặt khác PP lề bên phải của X và lề dưới của Y cho ta
Suy ra EX = 0,55; EY = 1,9 và EX EY = 1,045 0,95 = E(XY) Vậy X, Y chắc chắn không độc lập Hơn nữa Cov(X, Y) = E(XY) – EX EY = 0,95 – 1,045 = – 0,095
Như vậy cả ba khẳng định đều sai Vậy chọn A
Câu 10 Đề thi Toán trong kỳ thi Trung học Phổ thông là đề trắc nghiệm với 50 câu hỏi độc lập, mỗi câu có 4
phương án trả lời trong đó chỉ có duy nhất một phương án phù hợp với câu hỏi Mỗi câu đúng đều được 0,2 điểm, mỗi câu sai bị trừ 0,1 điểm Một thí sinh đi thi hoàn toàn không học bài nên làm bài bằng cách chọn hú họa cho từng câu hỏi Tính kỳ vọng E và phương sai V của số điểm mà sinh viên đó nhận
A E = – 1,25; V = 0,84375
B E = 3,75; V = 2,8125
C E = 1,125; V = 0,84375
D Một đáp số khác
Đáp án: Đây là câu hỏi trung bình (cấp độ 2) về về PP nhị thức
Gọi X là số câu thí sinh đó làm đúng và Đ là điểm mà thí sinh đó nhận
Mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có duy nhất một phương án phù hợp với câu hỏi nên khi đánh hú họa có xác suất đúng sẽ là ¼ = 0,25 Vì đề gồm 50 câu độc lập nên X B(50; 0,25) Do đó
EX = 50 0,25 = 12,5 và VarX = 50 0,25 (1 – 0,25) = 9,375
Vì mỗi câu đúng được 0,2 điểm, mỗi câu sai bị trừ 0,1 điểm nên rõ ràng
Đ = 0,2X – 0,1(50 – X) = 0,3X – 5
Từ đó suy ra
E = E(Đ) = 0,3EX – 5 = – 1,25 ; V = Var(Đ) = 0,32 VarX = 0,84375
Vậy chọn A
Câu 11 Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 8 phế phẩm và 12 chính phẩm Chọn ngẫu nhiên đồng thời
5 sản phẩm để kiểm tra chất lượng Gọi C là số chính phẩm trong số 5 sản phẩm đã kiểm tra Xét các khẳng
định dưới đây
(1) C có phân phối siêu bội kiểu H(20, 12, 5)
(2) E(C) = 3
(3) Var(C) = 18/19
Đếm số khẳng định sai
A 0
B 1
C 2
D 3
Đáp án: Đây là câu hỏi trung bình (cấp độ 2) về PP siêu bội
Rõ ràng C có PP siêu bội kiểu H(20, 12, 5) Do đó
E(C) = 5(12/20) = 3; Var(C) = 5(12/20)(1 – 12/20)(20 – 5)/(20 – 1) = 18/19
Như vậy cả ba khẳng đúng đều đúng Vậy chọn A
Câu 12 Tại một trạm bán xăng, các xe cộ ghé trạm một cách ngẫu nhiên, độc lập và trung bình cứ 5 phút có
20 xe ghé trạm Gọi X(t) là xe ghé trạm đó trong khoảng thời gian t phút (t > 0) Xét các khẳng định dưới đây
(1) Xác suất để có đúng 5 xe ghé trạm trong 1 phút là 128/(15e 4 );
(2) Xác suất để không có xe nào ghé trạm trong 15 giây là 1/e;
(3) Xác suất để có ít nhất 1 xe ghé trạm trong 30 giây là 1 – 1/e 2
Đếm số khẳng định sai
A 0
B 1
C 2
D 3
Đáp án: Đây là câu hỏi trung bình (cấp độ 2) về PP Poisson
P 0,45 0,55
P 0,35 0,4 0,25
Trang 6Rõ ràng X(t) có PP Poisson kiểu P(4t) với mọi t > 0 Xét lần lượt từng khẳng định
Xét (1): Ở đây t = 1 nên X(1) P(4) Nghĩa là P[X(1) = 5] = 45/(e55!) = 128/(15e4) và (1) đúng
Xét (2): Ở đây t = 0,25 nên X(1/4) P(1) Nghĩa là P[X(0,25) = 0] = e– 110/0! = 1/evà (2) đúng
Xét (3): Ở đây t = 0,5 nên X(0,5) P(2) Nghĩa là
P[X(0,5) ≥ 1] = 1 – P[X(0,5) = 0] = 1 – 1/e2
Do đó (3) cũng đúng
Như vậy cả 3 khẳng định đều đúng Ta chọn A
PHẦN II (Tự luận – 02 câu, 4 điểm)
Câu 13 (2 điểm) Một công ty chuyên cung cấp thực phẩm sạch cho 100 khách đại lý mua sỉ với số lượng lớn
Hàng ngày, xác suất mỗi đại lý cần lấy thực phẩm sạch là 0,98
a) Tính xấp xỉ (quy tròn đến 4 chữ số lẻ thập phân) xác suất để trong ngày có không quá 2 đại lý không cần lấy thực phẩm sạch
b) Tính xấp xỉ (quy tròn đến 4 chữ số lẻ thập phân) xác suất để trong ngày có đúng 95 đại lý cần lấy cà
chua
Đáp án: Đây là bài toán mà cả hai câu hỏi mức trung bình (cấp độ 2) về PP nhị thức xấp xỉ với phân phối Poisson
Theo đề bài, xác suất mỗi đại lý không cần lấy thực phẩm sạch trong ngày đều là p = 1 – 0,98 = 0,02
Gọi X là số đại lý không cần lấy thực phẩm sạch trong ngày Khi đó X B(100; 0,02)
Vì n = 100 (khá lớn) và p = 0,02 < 0,1 (quá bé) với np = 100 0,02 = 2 nên ta dùng xấp xỉ phân phối nhị thức với phân phối Poisson, cụ thể xem như X B(100; 0,04) P(2)
a) Xác suất cần tính (xấp xỉ) là
P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
0 1 2
2 2 2 2 0! 1! 2!
b) Xác suất cần tính cũng chính là xác suất có đúng 100 – 95 = 5 đại lý không cần lấy thực phẩm sạch,
tức là
P(X = 5)
5
2 2 5!
e−
0,0361
Đáp số: a) 0,6767 = 67,67%; b) 0,0361 = 3,61%
Câu 14 (2 điểm) Một công ty có hai dự án cần đầu tư Cho biết lãi suất A (%) đầu tư vào dự án thứ nhất là
một ĐLNN đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) có trung bình 10 (%) và độ lệch chuẩn 2 (%); còn lãi suất B (%) đầu tư vào dự án thứ hai là một ĐLNN có trung bình 15 (%) và phương sai 9 Hơn nữa, lãi suất đầu tư vào hai
dự án đó độc lâp với nhau Công ty đó dùng 300 tỉ đồng và đem đầu tư 300x tỉ đồng (0 x 1) vào dự án thứ nhất, 300(1 – x) tỉ đồng vào dự án thứ hai Gọi X là tiền lãi (đơn vị: tỷ đồng) thu được của gói đầu tư này
a) Giả sử x = 0,6 Hãy tính đúng kỳ vọng và xấp xỉ (quy tròn đến 4 chữ số lẻ thập phân) độ lệch chuẩn
của X
b) Tìm x (xấp xỉ đến 4 chữ số lẻ thập phân) để phương sai của X (tức độ rủi ro của gói đầu tư) nhỏ nhất Đáp án: Đây là bái toán về PP chuẩn mà câu (a) trung bình (cấp độ 2) và câu (b) câu khó cấp độ 3
Gọi Y (%) là lãi suất của gói đầu tư tổng quát Khi đó ta có
Y = xA + (1 – x)B; X = 300Y
a) (1 điểm) Với x = 0,6 ta có: E(Y) = 0,6E(A) + 0,4E(B) = 0,610 + 0,415 = 12 (%)
Var(Y) = 0,62Var(A) + 0,42Var(B) = 0,3622 + 0,169 = 2,88 (phần vạn)
Vậy E(X) = E(300Y) = 300E(Y) = 30012% = 36 tỷ đồng;
Var(X) = 3002Var(Y) = 25,92 (X) 5,0912 tỷ đồng
Kết luận: E(X) = 36 tỷ đồng; (X) 5,0912 tỷ đồng
b) (1 điểm) Xét lãi suất của gói đầu tư tổng quát Y = xA + (1 – x)B; 0 ≤ x ≤ 1 Khi đó ta có
Var(Y) = x222 + (1 – x)29 = 13x2 – 18x + 9; 0 ≤ x ≤ 1
Hiển nhiên Var(X) = 3002Var(Y) nhỏ nhất khi và chỉ khi Var(Y) nhỏ nhất, tức là khi x = 18/26 0,6923
Kết luận: với x = 18/26 0,6923 thì rủi ro của gói đầu tư sẽ nhỏ nhất
