chuyen de 7 so chinh phuong

CHUYEN DE: SO CHINH PHUONG TOAN LOP 6 >, s Giáo viên biên soạn: Thầy Thích Tel: 0919.281.916 Zalo Email: doanthich@gqmail.com Website: www.toanlop6.com Số chính phương là bình phương c

Trang 1

Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam

oAN Cam

NANG CAO PHAT TRIEN & BOI DUONG HSG THEO CHUYEN DE

MON TOAN LOP 6 THEO CHUONG TRINH MOI

(Liên tục khai giảng các khóa học bồi dưỡng Toán trực tuyến khối 6, 7, 8, 9 dành cho các em HS trên toàn quốc)

I

CHUYEN DE: SO CHINH PHUONG TOAN LOP 6

>, s Giáo viên biên soạn: Thầy Thích

Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gqmail.com Website: www.toanlop6.com

Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên

Nếu A là số chính phương thì A = k? (k EN)

du 1

Một số chính phương khi chia cho § luôn có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4

Tuyển tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án va Tuyén 1

tap 16 chuyén dé béi duéng HSG Toan 7 | Thay Thich — 0919.281.916 (Zalo) i—

Trang 2

Một số A khi phân tích ra các thừa số nguyên tố có dạng:

A =a*bY c?, A là số chính phương => x,y, z là số chăn

=> Số lượng các ước của A là: (x + 1)(y + 1) (z + 1) là một số lẻ

Ví dụ: 120 = 2.3.5 => Số lượng các ước của 120 là: (3 + 1).(1 + 1).(1 + 1)=

4.2.2 = 16 ước là số chăn => 120 không phải là số chính phương

ø Nếu số A năm giữa bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp thì A không là số

chính phương (n2) < A = a<(n+ 1

h Nếu n chia hết cho p là số nguyên tổ thì n? : p”

¡ Hai đăng thức thường dùng:

a’ + 2ab + b = (a + b) a’ - 2ab + b? =(a- by’

Tuyén tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén [Z

tap 16 chuyén dé boi duG@ng HSG Toan 7 | Thay Thich — 0919.281.916 (Zalo)

Trang 3

oAN Q com

Cách 1: Chứng minh chữ số tận cùng của A là một trong các SỐ: 2; 3; 7; 8

Cách 2: Chứng minh A : p (với p là số nguyên tố) nhưng A p#

3 chia hết cho 3, không chia hết cho 9 nên suy ra:

A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên: A không phải là số chính phương

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên [i

tập 16 chuyên đê bôi dưỡng HSG Toán 7 | Thầy Thích ~ 0919.281.916 (Zalo)

Trang 4

E có tông các chữ sô băng 3 nên suy ra: E chia het cho 3 nhưng không chia hết cho

9 Nên suy ra: E không phải là số chính phương

chăn nên 2A + 3 không phải là số chính phương

Bài 3: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số H = 1234 1112 Số H có thể có 81 ước được không?

Giải:

Giả sử H có 81 ước, vì số ước của H là số lẻ nên H là số chính phương (1)

Ta có:

Tổng các chữ số của H: I +2+3+ +(1+0)+(1+1)+(1+2)=5I

(Hoặc H có chữ số tận cùng bằng 2 nên H không phải là số chính phương)

=> H chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên H không phải là số chính phương (2)

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 - Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên lố

Trang 5

Từ (1) va (2) suy ra: Điều này là mâu thuẫn, H không thê có 81 ước được

Bài 4: Chứng minh răng một số chính phương khi chia cho 4 luôn có số dư là 1 hoặc 0

Giải:

Cách 1: Giả sử a = nŸ là số chính phương Vì n là số tự nhiên nên suy ra: n = 4k; 4k +

1;4k+2; 4k +3

+) Với n= 4k => a=n? = (4k) = 16k” : 4 => Dư 0

+) Với n= 4k + l =>a= (4k + 1)?= 16k? + 8k + 1 chia dư 4 dư 1

Hoặc a = (4k + 1Ÿ =(4k + 1)(4k + 1) = 16k? + 8k + 1 chia dư 4 dư 1

=> a chia cho 4 dư 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: một số chính phương khi chia cho 4 luôn có số dư là I hoặc

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén [i

Trang 6

Có ba trường hợp xảy ra như sau:

THỊ: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là: 60: Không phải là số chính phương

Vì: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là 60 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho

25,

TH2: Số tự nhiên có hai chữ tận cùng là: 06: Không phải là số chính phương

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên

Trang 7

oAN Q com

Vì: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là 06 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 TH3: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là: 66: Không phải là số chính phương Vì: Số

tự nhiên có hai chữ số tận cùng là 66 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4

Vậy: Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 không thể là một số chính

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên ẤM

Trang 8

=a?+2a+1=(a))+2.a.1 + 1?=(a + L#= (n? + 3n + 1) là số chính phương

Bài 11: Chứng minh số : n = 44 + 444 + 444444 + 444444 + 15 khong là số chính

phuong

GIải:

Ta có: n= 41 + 44'4 + 44444 + 444444 + 15

n=41+ 4424 + 44444 + 4444424 +12 +3

Ma 44+ 44 + 444 + 44442 + 12 chia hết cho 4 nên suy ra: n chia cho 4 dư 3

=> n không phải là số chính phương

Bài 12: Cho A là số có 1000 chữ số trong đó có 999 chữ số 5 và một số duy nhất khác 5 Chứng minh răng A không phải là số chính phương

Giải:

Trang 9

Gọi chữ số khác 5 trong A là a Xét các khả năng:

+) a không thuộc hàng chục va hang don vi: A = 55 a 55

Ta có: A chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên suy ra: A không phải là số chính phương

+) a thuộc hàng đơn vị => A = 55 5œ

Xét a € {0; 1; 4; 6; 9}, ta co:

- Néua=0=>A=55 50 khong phai la s6 chinh phuong vi A chia cho 4 dư 2

- Néua=1=>A=55 51 khong phai la s6 chinh phuong vi A chia cho 4 du 3

- Néua=4=>A=55 54 khong phai la s6 chinh phuong vi A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4

-_ Nếua=6=> A =55 56 không phải là số chính phương vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

-_ Nếua=9 => A =55 59 không phải là số chính phương vì A chia cho 4 dư 3

+) Xét a thuộc hàng chục, vì các chữ số còn lại là 5 cả nên a = 2

=> A=55 525 không phải là số chính phương vì A chia cho 8 dư 5

KL: A không phải là số chính phương (đpem)

Bài 13: Chứng minh số : n = 2004? + 2003? + 2002? - 2001? không phải là số chính phương

Giải:

Ta có: n= 20042 + 2003? + 20022 - 20012 =( 6) + ( 9) +( 4)— ( 1)

> n=( 8)

Bài 14: Chứng minh số : n = 2004 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương

Giải:

n = 2004 + 20043 + 2004? + 23

=> n= 2004 + 20043 + 20042 + 20 + 3

Trang 10

oAN Q com

Mà 2004 + 2004? + 2004? + 20 chia hết cho 4 nên suy ra: n chia cho 4 dư 3

Bài 15: Chứng minh rằng số: A = 111 1 555 5 6 là số chính phương

Gọi sô có bôn chữ sô là: abcd

Vi là số chính phương nên chữ số hàng đơn vị d chỉ có thể là 0, 4 Nếu chữ số tận cùng

d là 0, thì abc0 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 Nên không phải là số chính phương Vậy chữ số tận cùng d là 4

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 dé thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén Ji

Trang 11

= Sô có bôn chữ sô có dạng: abc4

Số chính phương abc4 chia hết cho 2 nên phải chia hết cho 4 Vậy chữ số hàng chục c

b _A có là số chính phương hay không?

c A có thê có 35 ước hay không?

a Tổng các chữ số của A chia hết cho 3 nên A là hợp số

b A không phải là số chính phương vì: A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

c Giả sử A có 35 ước, vì số ước là lẻ nên A là số chính phương

Theo câu b, A không phải là số chính phương

Vậy A không thể có 35 ước được

Bài 3: Từ năm chữ sô 1, 2, 3,4, 5 Hãy lập tât cả các sô có năm chữ sô gôm cả năm chữ

sô trên Trong các sô lập được, có sô nào là sô chính phương hay không?

GIải:

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 - Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyến lỗ

Trang 12

- C6 tat ca: 5! = 1.2.3.4.5 = 120 số có năm chữ số gồm cả năm chữ số trên

- _ Ta có: Tổng các chữ số có năm chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 5 Nên tất cả các số trên, không có số nào là số chính phương

Bài 4: Tìm số tự nhiên n có hai chữ SỐ, biết rang: 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính

Vậy chỉ có: n = 40 là thỏa mãn đề bài

Bài 5: Tìm số tự nhiên ab (a > b > 0) sao cho ab — ba là số chính phương

Giải:

Ta có: ab — ba = 10a +b— (10b + a) = 9.(a - b) =3” (a - b)

Vi ab — ba là số chính phương nên: a—b =k? (k € N*)

Via, b là là số nguyên, a > b > 0 nên suy ra:

+)a—b = I1: Có các cặp giá trị như sau:

Tuyên tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 dé thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén i

Trang 13

oAN Q com

Vay , ab € {95; 84; 62; 51}

D/s: ab € {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98; 95: 84; 62; 51}

Bài 6: Tìm sô tự nhiên có hai chữ sô, sao cho nêu cộng nó với sô có hai chữ sô ây việt

theo chiêu ngược lại thì ta được một sô chính phương

Giải:

Nhận xét:

Giá trị (5n + 4) luôn có chữ số tận cùng bằng 4 hoặc băng 9

= (5n + 4} luôn có chữ số tận cùng bằng 6 hoặc băng 1

Suy ra: Xét hai trường hợp: Chữ số tận cùng bằng 6 và I

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyến li

Trang 14

oAN Q com

Với n=4: Ta có: S = 1! +2! + 3! + 4! = 33 không phải là số chính phương

Bắt đầu từ 5!, 6!, , n! đều có chữ số tận cùng là 0 Nên suy ra:

S=1!+2!+3!+ +n! có chữ số tận cùng là 3 nên không phải là số chính phương

Vậy với n > 4 thì S không phải là số chính phương

KL:n€ {1;3}

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên (i

Trang 15

CHUYEN DE: SO CHINH PHUONG

>, s Giáo viên biên soạn: Thầy Thích

Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gqmail.com Website: www.toanlop6.com

C BAI TAP TU LUYEN

a abab

b abcabc

Bài 4: Cho A = 2? + 23 + 21+ + 2” Chứng minh rằng: A + 4 không phải là số chính

phương

Bài 5: Chứng minh răng: Tổng sau không phải là số chính phương:

S =abc + bca + cab Bài 6: Cho A = 1 +3 + 5+ + (2n - 1) (với n thuộc N*) Hỏi A có là số chính

phương hay không? Vì sao?

Bài 7: Cho A =2 + 4+ 6+ +2n ( với n thuộc N*) Hỏi C có phải là số chính

phương hay không? Vì sao?

Bài 8: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương

Bài 9: Chứng minh rằng nếu một số có tông các chữ số là 2004 thì số đó không phải là

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toán 6 có dap an va Tuyén [is

Trang 16

Bài 14: Tìm sô chính phương có bôn chữ sô sao cho hai chữ sô đâu giông nhau, hai chữ

so cudi gidng nhau

Bài 1Š: Tìm sô tự nhiên n có hai chữ sô, biệt răng nêu nhân nó với 45 thì ta được một

sô chính phương

Bài 16: Tìm số chính phương có bốn chữ só, biết rằng: Các chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự đó làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần

Bài 17: Tìm số chính phương có dạng 22ab

Bài 18: Tìm một số tự nhiên sao cho:

a) Nếu thêm 64 hoặc bớt đi 35 ta đều được một số chính phương

b) Nếu thêm 51 hoặc bớt đi 38 ta đều được một số chính phương

Bài 19: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương

Bài 20: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho n là số chính phương và là bội của 147

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên (ia

Trang 17

NANG CAO PHAT TRIEN & BOI DUONG HSG THEO CHUYEN DE

MON TOAN LOP 6

(Tài liệu lưu hành nội bộ)

CHUYỀN ĐÈ: SÓ CHÍNH PHƯƠNG TOÁN LỚP 6

HUONG DAN BÀI TAP TU LUYEN

Bài 1: Chứng minh răng một số chính phương khi chia cho 8 có số dư là 0, 1, hoặc 4

Giải:

Gọi a? là số chính phương => a khi chia cho 4 được biểu diễn: 4k; 4k + 1; 4k + 2; 4k +

3

- Với a= 4k => a”= 16k” chia 8 dư 0

-_ Vớia=4k+ 1l =>a?=(4k + I)= 16k? + 8k + 1 chia § dư 1

-_ Vớia=4k+2=>aˆ= (4k+ 2)= 16k? + 16k + 4 chia 8 dư 4

-_ Vớila=4k+3 =>a^= (4k + 3) = 16k? + 24k + § chia 8 dư 1

Vậy một số chính phương khi chia cho § có số dư là 0, 1, hoặc 4

Bài 2: Chứng minh răng: Tông của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương

Giải:

Xét 4 số tự nhiên liên tiếp la:n—1;n;n+1;n+2

Suy ra: Tổng của 4 sé la: n—-1 +n+n+1+n+2=4n+2 chia hét cho 2 nhung không chia hết cho 4 nên suy ra: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương

Bài 3: Chứng minh rằng: Các số sau không là số chính phương:

a) abab

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên ẤM

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	12,01 MB