Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.2 Vecto trong không gian trình bày các kiến thức cơ bản về sự đồng phẳng của ba vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và một số bài tập kèm theo có đáp án chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo!
Trang 1Chuyênđề7.Hìnhhọckhônggian BTN_7_2 CHỦ ĐỀ : QUAN HỆ VUÔNG GÓ C VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Khi đó: a b c, ,
đồng phẳng ⇔ ∃! , m n∈ :c=m a +n b
ℝ
3 Tích vô hướng của hai vectơ:
Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: AB=u AC, =v
Khi đó: ( )u v, = BAC
, quy ước: u v=0
II. KKKỸỸỸ NĂNG CƠ BNĂNG CƠ BNĂNG CƠ BẢẢẢNNN
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Phân tích vectơ Áp dụng công thức tính tích vô hướng
Trang 2• Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số)
• Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác
Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′, M là trung điểm của BB′ Đặt CA a=
,CB b=
, '
Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì 1 1
• Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng
Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần và
Bài 2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
III. KKKIIIIẾẾẾN THN THN THỨỨỨC CC CC CƠ BƠ BƠ BẢẢẢNNN
1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ a≠0
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng
với đường thẳng d
2 Góc giữa hai đường thẳng:
Cho // 'a a , // 'b b và 'a , 'b cùng đi qua một điểm Khi đó: ( )a b, =(a b', ')
Giả sử u v,
lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và ( )u v, =ϕ
Trang 3
Cho //a b Nếu a ⊥ thì b c ⊥ c
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau
IV. KKKỸỸỸ NĂNG CƠ BNĂNG CƠ BNĂNG CƠ BẢẢẢNNN : : : :
Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Ví dụ :Cho hình hộp ABC D A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A A C′ ′ ⊥ BD B BB′ ⊥BD C A B′ ⊥DC′ D BC′⊥ A D′
Hướng dẫn
Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vuông góc các cạnh đáy nên BB′ ⊥BD
Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung
điểm của đoạn thẳng đó Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng
βα
αα
Trang 4
( ) ( )
( )//
Nếu d vuông góc với ( )α thì góc giữa d và ( )α là 900
Nếu d không vuông góc với ( )α thì góc giữa d và ( )α là thì góc giữa d và ' d với 'd là
hình chiếu của d trên ( )α
Chú ý: góc giữa d và ( )α là ϕ thì 00 ≤ϕ≤900
II. KKKỸỸỸ NĂNG CƠ BNĂNG CƠ BNĂNG CƠ BẢẢẢNNN
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ?
A Nếu đường thẳng d ⊥( )α thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( )α
B Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥( )α
C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( )α thì d vuông góc với
bất kì đường thẳng nào nằm trong ( )α
và ( )β là góc giữa hai đường thẳng a và b
Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng ( )α và ( )β là ϕ thì ϕ∈ 0 ;900 0
2 Diện tích hình chiếu của một đa giác:
Trang 5Chuyênđề7.Hìnhhọckhônggian BTN_7_2
S
B A
C
H
Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong ( )α và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu vuông góc của đa giác ℋ lên ( ) β Khi đó S'=S.cosϕ với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( )α và ( )β
a a
a d
βα
Trang 6(ABC) là góc giữa hai đường thẳng SH và AH, là góc
SHA
D Sai do cách xác định như câu C
B BÀI TẬP NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đều ABCD Khẳng định nào sau đây là sai:
góc giữa hai đường thẳng a và b Khẳng định nào sau đây là đúng:
A α = ( , ) u v
B cosα = cos( , )u v
C Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v=sinα
D Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v=0
Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
Trang 7thì B là trung điểm của AC
D Cho d⊂( )α và 'd ⊂( )β Nếu mặt phẳng ( )α và ( )β vuông góc với nhau thì hai đường thẳng d và d' cũng vuông góc với nhau
Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′, M là trung điểm của BB′ Đặt CA a=
Trang 8Câu 15. Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có tâm O Gọi I là tâm hình bình hành ABCD Đặt
Câu 19. Cho S ABCD có đáy hình thang vuông tại A và , B AD =2 ,a AB =BC= a SA, vuông góc
với mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600 Tính góc giữa SD và mặt phẳng (SAC)?
A α≈24 5'0 B α ≈34 15'0 C α≈73 12'0 D α≈62 8'0
Câu 20. Cho hình chóp S ABC có SA=SB=SC=2a , đáy là tam giác vuông tại A, ABC=600,
, AB a= Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) ?
A α≈76 24'0 B α ≈44 12'0 C α≈63 15'0 D α≈73 53'0
Câu 21. Cho S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SC tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy Tính
góc giữa (S A B) và (SCD) ?
A α≈35 15'0 B α ≈75 09'0 C α≈67 19'0 D α≈38 55'0
Câu 22. Cho chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh ,a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và (SCD)
tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Tính góc giữa (SBC) và (SCD)
A α=74 12'0 B α =42 34'0 C α=300 D α=600
Câu 23. Cho S ABC có SA SB SC, , đôi một vuông góc Biết rằng SA=SB= a SC, =a 2 Hỏi góc
giữa (SBC) và (ABC) ?
A α≈50 46'0 B α =63 12'0 C α=34 73'0 D α=42 12'0
Câu 24. Cho S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a SA, vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt
phẳng đáy góc 450 và hợp với (SAB) góc 300 Tính góc giữa (SBC) và mặt phẳng đáy?
A α=83 81'0 B α =79 01'0 C α=62 33'0 D α≈54 44'0
Trang 9Chuyênđề7.Hìnhhọckhônggian BTN_7_2
Câu 25. Cho chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB=4a, AD=3a Các cạnh bên đều
có độ dài 5 a Tính góc giữa (SBC) và (ABCD) ?
A α=75 46'0 B α =71 21'0 C α=68 31'0 D α≈65 12'0
Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( )α ( )α thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( )α
B Nếu đường thẳng d⊥( )α thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( )α
C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) α thì d ⊥( )α
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
A Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song nhau
B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song
D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là:
Câu 31. Cho hình chóp S ABCD có SA⊥(ABC)và ABC△ vuông ở B AH là đường cao của SAB△
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( )P Gọi H là hình chiếu của A lên ( )P M, N là các điểm
thay đổi trong ( )P Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A Nếu AM = AN thì HM = HN B Nếu AM > AN thì HM > HN
C Nếu AM > AN thì HM <HN D Nếu HM > HN thì AM > AN
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau đây:
A Ba mặt phẳng (ABC) (; ABD) (; ACD) đôi một vuông góC
B Tam giác BCD vuông
C Hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam giác BCD
D Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Trang 10Câu 38. Cho tứ diện ABCD, gọi M N, là trung điểm của các cạnh AC và BD, G là trọng tâm của tứ
diện ABCD và O là một điểm bất kỳ trong không gian Giá trị k thỏa mãn đẳng thức
Câu 43. Cho chóp S ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, ∆SAB là tam giác vuông cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính góc giữa SC và AD ?
Trang 11Chuyênđề7.Hìnhhọckhônggian BTN_7_2
A α ≈ 39 22 ' 0 B α ≈ 73 45 ' 0 C α ≈ 35 15 ' 0 D α≈ 42 24 ' 0
Câu 44. Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh a ABC, =60 ,0 SA vuông góc mặt
phẳng đáy là SA=a 3 Tính góc giữa (SBC) và (ABCD) ?
Câu 45. Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật,SA⊥(ABCD), gọi E, F lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD Chọn mệnh đề đúng :
A SC⊥(AEF) B SC⊥(ADE) C SC⊥(ABF) D SC⊥(AEC)
Câu 46. Cho hình chóp S ABC có SA=SB=SC Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
Khi đó khẳng định nào đúng?
A H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
B H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
C H là trọng tâm tam giác ABC
D H là trực tâm tam giác ABC
Câu 47. Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy Mặt phẳng ( )α đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng SBcắt các đường SB, SC lần lượt tại M , N
5 Thiết diện cắt hình chóp S ABCD bởi mặt phẳng ( )α là hình bình hành
Có bao nhiêu nhận định sai?
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
không liền kề nhau
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi E là trung điểm cạnh SC Tính
cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (EBD)
Trang 12Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH =a 3, mặt phẳng đáy BC =3a, BC⊂( )P ,
Câu 52. Cho tam giác đều ABC cạnh a d B, d C lần lượt là đường thẳng đi qua B, C và vuông góc
(ABC) ( )P là mặt phẳng đi qua A và hợp với (ABC) một góc bằng 60o ( )P cắt d B, d C tại
Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(BCD) Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác
ACD, bảy điểm A, B, C, D, E, F , K không trùng nhau Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có O là tâm của hình vuông ABCD, AB=a, SO=2a
Gọi ( )P là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) Thiết diện của ( )P và hình chóp S ABCD là hình gì?
A Hình thang vuông B Tam giác cân
Trang 14Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là u v,
Gọi α là
góc giữa hai đường thẳng a và b Khẳng định nào sau đây là đúng:
A α = ( , ) u v
B cosα = cos( , )u v
C Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v=sinα
D Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v=0
Trang 15
thì B là trung điểm của AC
D Cho d⊂( )α và ' ( )d ⊂ β Nếu mặt phẳng ( )α và ( )β vuông góc với nhau thì hai đường thẳng d và d' cũng vuông góc với nhau
Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì 1 1
Trang 16Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, khi đó SA SC+ =SB+SD=2SO
Do I là tâm hình bình hành ABCD nên
4OI OA OB OC OD= + + +
142
2
OI AC′ BD′ CA′ DB′
Trang 17
Chuyênđề7.Hìnhhọckhônggian BTN_7_2
12
Câu 17. Cho S ABC có (SAC) và (SAB) cùng vuông
góc với đáy, ABC∆ đều cạnh a , SA=2a Tính
góc α giữa SB và ( SAC) ?
A α≈22 47'0 B α≈22 79'0
C α≈37 45'0 D α≈67 120
Hướng dẫn giải
Lấy H là trung điểm AC Dễ chứng minh BH⊥(SAC)
suy ra H là hình chiếu vuông góc của B lên (SAC)
Câu 18. Cho SAB∆ đều và hình vuông ABCD nằm trong 2 mặt
phẳng vuông góc nhau Tính góc giữa SC và (ABCD) ?
B
C S
Trang 18Lấy H là trung điểm AB khi
Câu 19. Cho S ABCD có đáy hình thang vuông tại A và , B AD =2 ,a AB =BC= a SA, vuông góc
với mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600 Tính góc giữa SD và mặt phẳng (SAC)?
DC⊥ SAC , vậy góc giữa SD và (SAC) là D CS
Dễ thấy góc giữa SC tạo mặt phẳng đáy là góc SCA nên
Câu 20. Cho hình chóp S ABC có SA=SB=SC=2a, đáy là tam
giác vuông tại A, ABC=600, , AB a= Tính góc giữa
hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) ?
A
S
D
C B
A
S
Trang 19Ta thấy giao tuyến của (SAB) và (SCD) là
đường d qua S và song song với AB
Dễ chứng minh d ⊥(SAD) nên góc giữa
Câu 22. Cho chóp S ABCD có đáy là hình vuông
cạnh ,a SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và (SCD) tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Tính góc giữa (SBC) và (SCD)
D A
S
M
D A
B
C N
Trang 20Câu 24. Cho S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a SA, vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt
phẳng đáy góc 450 và hợp với (SAB) góc 300 Tính góc giữa (SBC) và mặt phẳng đáy?
Xét SAB∆ có tanSBA = 2 nên α≈54 44'0
Câu 25. Cho chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình chữ
nhật cạnh AB=4a, AD=3a Các cạnh bên đều
có độ dài 5 a Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
Hạ SH ⊥(ABCD) Do các cạnh bên bằng nhau
nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy,
tức H là tâm đáy Lấy I là trung điểm BC nên
góc giữa (SBC) và (ABCD) là .SIH
Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong ( )α ( )α thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( )α
B Nếu đường thẳng d⊥( )α thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( )α
C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) α thì d ⊥( )α
Trang 21Chuyênđề7.Hìnhhọckhônggian BTN_7_2
• Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )α thì lúc đó nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( )α nên nó vuông góc với hai đường thẳng thì hiển nhiên đúng
• đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì nó sẽ
vuông góc với mặt phẳng ( )α và do đó d vuông với mọi đường thẳng nằm trong ( ) α là hiển
nhiên đúng
• Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )α thì d song song hoặc trùng với giá của véc tơ
pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α do đó nếu đường thẳng a//( )α thì a d⊥ là đúng
Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
A Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song nhau
B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song
D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song
Hướng dẫn giải:
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song nếu hai
đường thẳng này đồng phẳng Trong trường hợp không đồng phẳng chúng có thể chéo nhau
trong không gian
Các đáp án khác đều đúng hiển nhiên
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là:
Hướng dẫn giải:
Độ dài đường chéo của hình hộp là 32 +42 +52 = 50 5 2=
Vậy đáp án đúng là 5 2
Câu 31. Cho hình chóp S ABCD có SA⊥(ABC)và ABC△ vuông ở B AH là đường cao của SAB△
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
Trang 22Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( )P Gọi H là hình chiếu của A lên ( )P M, N là các điểm
thay đổi trong ( )P Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Theo tính chất mối liên hệ giữa đường xiên (AM AN, ) và hình chiếu (HM HN, ) Đường
xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại Mệnh đề sai là “Nếu AM > AN thì
HM < HN ”
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau đây:
A Ba mặt phẳng (ABC) (; ABD) (; ACD) đôi một vuông góC
B Tam giác BCD vuông
C Hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam giác BCD
D Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc
Hướng dẫn giải:
• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên AB⊥(ACD); AC⊥(ABD);
( )
AD⊥ ABC do đó ba mặt phẳng (ABC); (ABD ; ) (ACD đôi một vuông góc )
• Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD) AH ⊥(BCD)
AH⊥ BCD ⇒AH CD⊥ ⇒CD⊥ ABH ⇒CD BH⊥
Tương tự AH⊥(BCD)⇒AH BC⊥ ⇒CD⊥(ADH)⇒BC DH⊥
Do đó H là trực tâm của tam giác BCD
• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên
Vậy hai cạnh đối của tứ diện vuông góc
• Vậy tam giác BCD vuông là sai
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Hướng dẫn giải:
