de thi HSG toan 12 phu tho 2019 2020

Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 34 a .a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.. Chứng minh A G vuông góc với mặt phẳng ABC.b Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C

ĐỀ HỌC SINH GIỎI PHÚ THỌ NĂM HỌC 2019 - 2020 THỜI GIAN : 180 PHÚT – ĐỀ SỐ 1

Bài 2. Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a và A A A B   A C . Biết khoảng cách

giữa hai đường thẳng AA và BC bằng

34

a

.a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh A G vuông góc với mặt phẳng ABC.b) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C.   .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

a) Tìm tọa độ giao điểm M của d và  P .

b) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P

, vuông góc với d và khoảng cách từ M đến  bằng 42

Bài 4.

a) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển  3 2 10

3x 3x  x 1

thành đa thức b) Một hộp có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60 Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó Tínhxác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8

II PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm)

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x( )=52x là

2

52ln 5

Câu 2. Một hộp có 4 viên bi trắng, 5 viên bi vàng và 6 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên

bi trong hộp, số cách lấy ra được đúng một viên bi vàng bằng

thuvienhoclieu Câu 3. Cho hình chóp tam giác   S ABC có , , SA SB SC đôi một vuông góc và SA SB SC a   Gọi

M là trung điểm của AB Góc giữa hai đường thẳng BC và SM bằng:

Câu 6. Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng thứ nhất bằng 2; số hạng cuối bằng 28 và tổng tất cả các số

hạng bằng 450 Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng?

Câu 9. Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y2x33x212x1 trên đoạn

1;3 Khi đó tổng M m thuộc khoảng nào dưới đây?

2

2a 2ab ab

a



3 63

a



3 66

a



3 62

2e 

C. 2e 1.

D.

2 2

e

e 

Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a  ;

A B tạo với đáy ABC

góc 60  Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A

3 3.2

a

B

3

.2

a

C

3

.6

a

D a3 6.

Câu 17. Cho hàm số

sin x y

Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt đáy Biết

góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 Khoảng cách từ B đến SCD bằng

A

105

a

427

C C C  L C  C

bằng

34

a

34

a

43

a

Câu 22 Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 40 triệu đồng, mức lãi suất 0,8% /1 tháng với

hợp đồng là trả 1,5 triệu đồng/tháng (cả gốc và lãi) Sau một năm lãi suất lại tăng lên là

1,0% /1 tháng và hợp đồng thay đổi là trả 2 triệu đồng/1 tháng Hỏi sau bao nhiêu tháng người

đó trả hết nợ? (tháng cuối có thể trả không quá 2 triệu đồng)

Câu 27. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành và AB2 ,a BC a ABC ,· 120 ,o

cạnh bên SD a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy Sin của góc tạo bởi đường thẳng

SAC

x y

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều, tam giác

SCD vuông tại S Điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA Độ dài

đoạn thẳng AM bằng

A

72

a

52

a

32

a

23

a

Câu 30. Cho hình phẳng  H

giới hạn bởi các đường y x2; y x 2; x1 Thể tích của vật thể

tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H

quanh trục hoành bằng

A

296



92



556



Câu 31. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm , A0; 1;1 ,  B 3;1; 4 , C 1; 2;0 ,  D 2;1; 1   Có tất cả

bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm trên ?

Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AD3 ,a AB2 ,a BC4 ,a BD a 13 và ·DAC90 o Biết khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

3 10.5

thuvienhoclieu Câu 34 Cho cấp số cộng  u n

Câu 36. Cho hàm số y f x  có đồ thị của hàm số y f x'  2 1 như hình vẽ bên

Hỏi hàm số y f x  đồng biến trên khoảng nào

dưới đây?

Câu 37 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm

khi 0( )

Câu 39 Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S ABC. có SCAB3 2, S1;3; 2

, đường thẳng

 và góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60 Khi ba

điểm , ,A B C cùng với ba trung điểm của ba cạnh bên của hình chóp S ABC nằm trên một mặt cầu thì mặt phẳng ABC có phương trình là

Câu 40 Cho hàm số bậc ba y f x( ) có đồ thị (C) như hình vẽ bên

Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại ba điểm có

hoành độ x x x theo thứ tự lập thành cấp số cộng1, ,2 3

và x3 x1 2 3. Gọi diện tích hình phẳng giới hạn

bởi (C) và trục Ox là S, diện tích S của hình1

phẳng giới hạn bởi các đườngy f x( ) 1 ,

Lời giải

Tác giả: Trần Quang; Fb:Quang Trần

  4 2

f x  . Dấu đẳng thức xảy ra tại x2 2.

Như vậy giá trị lớn nhất của f x 

là 4 2 + Vì x  và 4 16x2  với mọi 0 x  4;4 nên

f x  x x   . Dấu bằng xảy ra tại x  ,4

Do đó giá trị nhỏ nhất của f x 

là 4 Kết luận: GTNN của f x 



b) Từ giả thiết ta có y'mx24m1x m 1.

Như vậy ta cần tìm tất cả các giá trị của m để mx24m1x m  1 0, x 0; .

Đầu tiên ta thấy m không thỏa mãn.0

Do đó chúng ta giải bài toán trong trường hợp m 0

m m m m m

3

m

 

Giải  2

ta được

43

m

Như vậy tập tất cả các giá trị m cần tìm là 1;.

Vậy tập các giá trị của m thỏa mãn là 1;

Bài 2. Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a và A A A B   A C . Biết khoảng cách

giữa hai đường thẳng AA và BC bằng

34

a

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh A G vuông góc với mặt phẳng ABC.b) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C.   .

Lời giải

Tác giả: Trần Quang; Fb: Quang Trần

a) Gọi M là giao điểm của BG và AC

Ta có tam giác ABC đều nên BM  AC.

Mặt khác ta cũng có tam giác A AC cân tại A nên A M AC.

Từ đó suy ra ACmp BMA .

Do đó ACA G .

Tương tự ta cũng chứng minh được AB A G .

Nên ta có thể kết luận được A G mp ABC 

b) Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ M đến BA

Ta đã chứng minh đượcACmp BMA , từ đây suy ra ACMK.

Như vậy MK chính là đường vuông góc chung của AC và A B .

Tức MK bằng khoảng cách giữa BC và AA

Theo giả thiết ta có

34

a) Tìm tọa độ giao điểm M của d và  P .

b) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P

, vuông góc với d và khoảng cách từ M đến  bằng 42

+ 8 số chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8;

+15 số chẵn nhưng không chia hết cho 4

+ 30 số chẵn và 30 số lẻ

Để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8 có các trường hợp xảy ra là:

TH1 Chọn 3 số chẵn từ 30 số chẵn Khi đó tích của 3 số đó là một số chia hết cho 8 ta có số cách chọn là C 303

TH2 Chọn 2 số chẵn và 1 số lẻ Ta xét hai khả năng sau:

+ Chọn được 2 số chia hết cho 4 và 1 số lẻ Khi đó số cách chọn là C C 152 301

+ Chọn được 1 số chia hết cho 4 , 1 số chẵn không chia hết cho 4 và 1 số lẻ Khi đó số cách chọn là

II PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm)

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x( )= 5 2x là

A 5 ln 52x +C B

2

52ln 5

x

C

+ C 2.5 ln 52x +C D

Câu 2. Một hộp có 4 viên bi trắng, 5 viên bi vàng và 6 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên

bi trong hộp, số cách lấy ra được đúng một viên bi vàng bằng

A 100. B 50. C 210. D 110.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Thành ; Fb: Nguyễn Minh Thành

Chọn A

Số cách để trong 2 viên lấy ra được đúng một viên bi vàng là C C51 101.2 100.=

Câu 3. Cho hình chóp tam giác   S ABC có SA SB SC, , đôi một vuông góc và SA SB SCa Gọi

M là trung điểm củaAB Góc giữa hai đường thẳng BC và SM bằng:

A

M

N

Gọi N là trung điểm củaAC Ta có BC MN/ / Nên góc giữa hai đường thẳng BC và SM

bằng góc giữa hai đường thẳng MN và SM

Theo giả thiết, trong tam giác SMNcó:

22

a

Suy ra tam giác SMNđều.

Vậy ·NMS 600suy ragóc giữa hai đường thẳng MN và SM bằng60 0 Hay góc giữa hai đường thẳng BC và SM bằng60 0

thuvienhoclieu Câu 4. Tập xác định của hàm số  2 2 2

Câu 6. Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng thứ nhất bằng 2; số hạng cuối bằng 28 và tổng tất cả các số

hạng bằng 450 Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng?

Lời giải Chọn B

Giả sử cấp số cộng đó có n số hạngvới n là số nguyên dương

Giá trị củab2c bằng

Do đường thẳng( ) nằm trong mp P( ) nuurP có giá vuông góc với đường thằng ( )  .

Do ( ) vuông góc với( )d nên uuurd có giá vuông góc với đường thằng ( )  .

Vậy ta cóuuur uur uur=[ ;n u P d] ( 3; 3;3)  

Vậy( ) có một véc tơ chỉ phương là

1(1;1; 1)3

Câu 9. Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y2x33x212x1 trên đoạn

 1;3 Khi đó tổng M m thuộc khoảng nào dưới đây?

Dựa vào bảng biến thiên ta có M 46;m 6 suy ra M  m 40 39; 42

thuvienhoclieu Câu 11. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

2

x y

2 3

2lim

2lim

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang và đứng

log 45log 45

log 6

 

2 5 5

log 3 5log 2.3



5

1 2 log 3log 2 log 3







1 21

a



3 63

a



3 66

a



3 62

Giả sử hình nón  N có chiều cao h, bán kính r.

Cắt hình nón  N bởi một măt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân

có cạnh huyền a 6 nên ta có

62

a





Câu 15 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi trục tung, đồ thị  C của hàm số y e và tiếp tuyến củax

 C tại điểm M 1; e Diện tích của  H bằng

Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a  ;

A B tạo với đáy ABC

góc 60  Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A

3

3.2

a

B

3

.2

a

C

3

.6

Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt đáy Biết

góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 Khoảng cách từ B đến SCD bằng

A

105

a

427

thuvienhoclieu Câu 19 Tổng

2020 2020 2020 2020 2020

12

34

a

34

a

43

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC

Khi đó, theo giả thiết ta có:

H là trọng tâm tam giác đều ABC Gọi M là giao của BC và AH M là trung điểm của BC

a h

Câu 22 Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 40 triệu đồng, mức lãi suất 0,8% /1 tháng với

hợp đồng là trả 1,5 triệu đồng/tháng (cả gốc và lãi) Sau một năm lãi suất lại tăng lên là

1,0% /1 tháng và hợp đồng thay đổi là trả 2 triệu đồng/1 tháng Hỏi sau bao nhiêu tháng người

đó trả hết nợ? (tháng cuối có thể trả không quá 2 triệu đồng)

Sau tháng thứ nhất, người đó còn nợ lại 40 1 r11,5.

Sau tháng thứ hai, người đó còn nợ lại

Từ 5 số vừa chọn, ta có duy nhất 1 cách xếp theo thứ tự tăng dần.

Suy ra ta có duy nhất 1 cách chọn cho bộ a B C D E, , , , 

Hay ta có duy nhất 1 cách chọn cho bộ a b c d e, , , , .

3 4

Gọi giao điểm của và d2là B1 ;1 2 ; 1 t t  t

Ta có: uuurAB   t t;2 1;t4 Do  vuông góc với d1 nên ta có uuur urAB u 1 0

Từ bảng biến thiên, chọn đáp án C

Câu 27. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành và AB2 ,a BC a ABC ,· 120 ,o

cạnh bên SD a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy Sin của góc tạo bởi đường thẳng

Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

2 2

1

x y

23

m

m m

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều, tam giác

SCD vuông tại S Điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA Độ dài

đoạn thẳng AM bằng

A

72

a

52

a

32

a

23

SC SD

.Suy ra

2

1

Mà BM SA BM SAuuuuruur 0 SM SB SAuuur uur uur  0  

SM SA a k

52

a

Câu 30. Cho hình phẳng  H

giới hạn bởi các đường y x2; y x 2; x1 Thể tích của vật thể

tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H

quanh trục hoành bằng

A

296



92



556



x x x

x x

 



   

Câu 31. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm , A0; 1;1 ,  B 3;1; 4 , C 1; 2;0 ,  D 2;1; 1   Có tất cả

bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm trên ?

là: x6y5z11 0.

Thay tọa độ điểm D vào phương trình ABC

thấy không thỏa mãn, suy ra: DABC .

Vậy 4 điểm A B C D, , , là bốn đỉnh của một hình tứ diện

là các mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy có 7 mặt phẳng cách đều 4 điểm đã cho

Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AD3 ,a AB2 ,a BC4 ,a BD a 13 và ·DAC90 o Biết khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

3 10.5

42

x x y y

x y





 



Câu 36. Cho hàm số y f x  có đồ thị của hàm số y f x'  2 1 như hình vẽ bên

Hỏi hàm số y f x  đồng biến trên khoảng nào

thuvienhoclieu Cách 1 Ta tịnh tiến đồ thị y f x'  2 1 lên trên một đơn vị ta được đồ thị hàm số

y f x Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số y f x' 2 sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị

hàm số y f x'  Từ đó ta có đồ thị hàm số y f x'  như sau:

Vậyhàm số y f x  đồng biến trên 0; 

 hàm số y f x  đồng biến trên khoảng 1; 

+ khi 0( )

Câu 38 Cho hình lăng trụ ABC A B C.   , khoảng cách từ A đến BB và CC lần lượt bằng 3 và 2,

góc giữa hai mặt phẳng BCC B  và ACC A  bằng o

60 Hình chiếu vuông góc của A lên mặtphẳng (A B C  ) là trung điểm M của B C  và A M  13. Thể tích của khối lăng trụ

ABC A B C   bằng

39.3

Lời giải

Tác giả: Đào Thị Hương; FB: Hương Đào

Chọn A

AH AK

Do AK >AH Þ AHK· >·AKH Þ ( (BCC B¢ ¢) (; ACC A¢ ¢) ) = ·AKH =600.

Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:32= +4 HK2- 2.HK.2.cosAKH·

Khi đó ta có: AK2=AH2+HK2 Suy ra tam giác AHK vuông tại H

Gọi N là trung điểm BC và I là giao điểm của MN và HK Suy ra AN A M  13

Do hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A B C  ) là trung điểm M của B C nên

AM  ABC AM AN

Lại có: CC AHK  MN AHK  AI MN .

Do đó tam giác AMN vuông tại A và AI là đường cao Suy ra

AM 

 AA2  A M 2AM2 

13133

 và góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60 Khi ba

điểm , ,A B C cùng với ba trung điểm của ba cạnh bên của hình chóp S ABC nằm trên một mặt cầu thì mặt phẳng ABC

Do 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu nên các tứ giác ABB’A’, BCC’B’C,

CAA’C’ là các hình thang nội tiếp, vì vậy chúng là các hình thang cân

Suy ra SA SB SC  AB3 2.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì SI vuông góc với (ABC)

Suy ra (·SC ABC,( ))SCI· 600SI  a26

Gọi D là trung điểm của AB thì

62

Câu 40 Cho hàm số bậc ba y f x( ) có đồ thị (C) như hình vẽ bên

Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại ba điểm có

hoành độ x x x theo thứ tự lập thành cấp số cộng1, ,2 3

và x3 x1 2 3. Gọi diện tích hình phẳng giới hạn

bởi (C) và trục Ox là S, diện tích S của hình1

phẳng giới hạn bởi các đườngy f x( ) 1 ,

( ) 1

y f x  , x x và 1 x x bằng3

Lời giải

S   x  x x 