Thuyết trình - Phép điếm potx

2.2 Chỉnh hợp Nhận xét: nhất một phần tử của Chỉnh hợp này không là phần tử của Chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của Chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.. Ho

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Nội dung:

 I Các nguyên lí

 II Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp Nhị thức Newton

 III Hoán vị lặp, Chỉnh hợp lặp và Tổ hợp lặp Đa thức Newton

 IV Đệ quy

2

 Ví dụ: Nam có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn Để chọn 1 cái áo thì Nam có mấy cách?

 Đáp án: Áp dụng nguyên lí cộng thì:

 Phương pháp 1: Có 3 cách chọn áo dài tay

 Phương pháp 2: Có 5 cách chọn áo ngắn tay

 Vậy để chọn một áo thì Nam có 3 + 5 cách chọn.

 Ví dụ:

 Đáp án:

Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C

 Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2

3 Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet)

 Nguyên lý Dirichlet do nhà toán học người Đức là

Dirichlet đề xuất từ thế kỉ XX đã được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm trong nhiều bài toán tổ hợp

Nguyên lý này được phát triển từ mệnh đề gọi là nguyên

lý “nguyên lý quả cam” hay là nguyên lý “chuồng chim

bồ câu”: Giả sử có một đàn chim bồ câu bay vào chuồng

Nếu số chim nhiều hơn số ngăn chuồng thì chắc chắn có

ít nhất một ngăn có nhiều hơn một con chim.

8

I Các nguyên lí:

3 Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet)

 Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng Khi đó tồn

tại ít nhất một chuồng chứa từ [n/ k] bồ câu trở lên

nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên

Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh cùng ngày

 Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Lấy A là tập hợp con của X gồm 6 phần tử Khi

đó trong A sẽ có hai phần tử có tổng bằng 10

 Đáp án: Ta lập các chuồng như sau: {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5} Do A có 6 phần tử nên

trong 6 phần tử đó sẽ có 2 phần tử trong 1 chuồng Suy ra đpcm

A B B A

I Các nguyên lí: 12

II Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp Công thức nhị thức

2.1 Hoán vị

 Ví dụ 1: Cho A ={a,b,c} Khi đó A có các hoán vị sau:

abc, acb,

bac, bca, cab, cba

2.2 Chỉnh hợp

 Bài toán: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11m Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ của đội

để tham gia đá Có bao nhiêu cách sắp xếp danh sách thứ tự 5 cầu thủ?

II Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp Công thức nhị thức

2.2 Chỉnh hợp

 Định nghĩa chỉnh hợp :

nhau) Mỗi bộ gồm k phần tử(0<=k<=n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

n

A n k

−

=

2.2 Chỉnh hợp

xếp chính là chỉnh hợp chập 5 của 11

)!

5 11

2.2 Chỉnh hợp

 Nhận xét:

nhất một phần tử của Chỉnh hợp này không là

phần tử của Chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của

Chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo

thứ tự khác nhau.

 TH: n =k : chính là hoán vị của n.

II Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp Công thức nhị thức

ab, ba, ac, ca, bc, cb

II Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp Công thức nhị thức

II Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp Công thức nhị thức

! 3

 2.3 Tổ hợp

Khác nhau của chỉnh hợp và tổ hợp??

Chỉnh hợp : quan tâm đến thứ tự của các phần tử, còn tổ hợp thì không

II Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp Công thức nhị thức

= + k 1)

25

II Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp Công thức nhị thức

4 6

6

C

3 6

C

2 6

C

6 6

C

Khai triển tổng quát : =

Ở đây k =2 : => hệ số của =

2

6 y x

II Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp Công thức nhị thức

8

) 2

( x + y

8

) 2

2 C

III Hoán vị lặp, tổ hợp lặp và Công thức Đa

thức Newton

30

3.1 Hoán vị lặp

 Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách toán, 1 cuốn sách lý, 2 cuốn sách hóa và 1 cuốn tin học vào giá sách có 7 chỗ?

Toán: 3 Lý: 1 Hóa: 2 Tin học: 1 Tổng: 7

III Hoán vị lặp, tổ hợp lặp và Công thức Đa

thức Newton

31

III Hoán vị lặp, tổ hợp lặp và Công thức Đa

thức Newton

33

III Hoán vị lặp, tổ hợp lặp và Công thức Đa

thức Newton

34

III Hoán vị lặp, tổ hợp lặp và Công thức Đa

thức Newton

35

III Hoán vị lặp, tổ hợp lặp và Công thức Đa

thức Newton

36

IV ĐỆ QUY

Một hệ thức đệ quy tuyến tính cấp k là một hệ thức có dạng:

Trong đó:

ak ≠ 0, a1,…, ak-1 là các hệ số thức {fn} là một dãy số thực cho trước {xn} là dãy ẩn nhận các giá trị thực

f n

40

a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a k x n-k = 0

 NGHIỆM TỔNG QUÁT

• Mỗi dãy { xn } thõa (1) được gọi là một nghiệm của (1)

Nhận xét rằng mỗi nghiệm { xn } của (1) được hoàn toàn xác định bởi k giá trị ban đầu x0, x1,…, xk-1.

• Họ dãy số { xn = xn(C1, C2,…, Ck) } phụ thuộc vào k họ

tham số C1, C2,…, Ck được gọi là nghiệm tổng quát của (1) nếu mọi dãy của họ này đều là nghiệm của (1).

IV ĐỆ QUY 43

 MỤC ĐÍCH GIẢI HỆ THỨC

• Giải một hệ thức đệ quy là đi tìm nghiệm tổng quát

của nó.

• Nếu hệ thức đệ quy có kèm theo điều kiện ban đầu,

ta phải tìm nghiệm riêng thõa điều kiện ban đầu đó.

 Ví dụ 1:

Một cầu thang có n bậc Mỗi bước đi gồm 1

hoặc 2 bậc Gọi xn là số cách đi hết cầu thang

Tìm một hệ thức đệ quy cho xn.

 Với n = 1, ta có x1 = 1.

 Với n = 2, ta có x2 = 2.

 Với n > 2, để khảo sát xn, ta chia thành 2 trường hợp loại trừ lẫn nhau:

 Trường hợp 1: Bước đầu tiên gồm 1 bậc Khi đó cầu

thang trong trường hợp này là xn-1

 Trường hợp 2: Bước đầu tiên gồm 2 bậc Khi đó cầu thang

còn n-2 bậc nên số cách đi hết cầu thang trong trường hợp này là xn-2.

Theo nguyên lý cộng, số cách đi hết cầu thang là

xn-1 + xn-2 Do đó ta có:

Xn = Xn-1 + Xn-2Vậy ta có hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất cấp 2:

Xn = Xn-1 + Xn-2

X1 = 1, X2 = 2

 Ví dụ 2:

Bài toán tháp Hà Nội: Có 3 cọc A, B, C và n đĩa (có lỗ

để đặt vào cọc) với đường kính đôi một khác nhau

Nguyên tắc đặt đĩa vào cọc là: mỗi đĩa chỉ được chồng

lên đĩa lớn hơn nó Ban đầu, cả n đĩa được đặt chồng

lên nhau ở cọc A, hai cọc B và C để trống Vấn đề đặt

ra là chuyển cả n đĩa ở cọc A sang cọc C (có thể qua

trung gian cọc B), mỗi lần chỉ chuyển một đĩa Gọi xn

là số lần chuyển đĩa Tìm một hệ thức đệ quy cho xn.

Hanoi Tower

 Với n = 1 ta có x1 = 1.

 Với n > 1, trước hết ta chuyển n-1 đĩa bên trên sang cọc B qua trung gian cọc C (giữ

nguyên đĩa thứ n dưới cùng ở cọc A) Số lần chuyển đĩa thứ n từ cọc A sang cọc C

Cuối cùng ta chuyển n-1 đĩa từ cọc B sang cọc C Số lần chuyển n-1 đĩa đó lại là xn-1.

 Như vậy số lần chuyển toàn bộ n đĩa từ A sang C là:

Xn-1 + 1 + Xn-1 = 2Xn-1 + 1

 Nghĩa là xn = 2xn-1 +1, ta có hệ thức đệ quy tuyến tính không thuần nhất cấp 1:

Xn = 2Xn-1 + 1

X1 = 1

 Hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất

Xét hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất

Phương trình đặc trưng của (2) là phương trình bậc k định bởi:

a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a k x n-k = 0

λ k - a 1 λ k-1 - … - a k = 0

 Trường hợp k = 1

Phương trình đặc trưng (*) trở thành:

λ - a1 = 0 nên có nghiệm là λ0 = a1Khi đó, (2) có nghiệm tổng quát là:

x n = C λ 0 n

Phương trình đặc trưng: 2λ - 3 = 0 có nghiệm là:

λ0 = 3/2

Do đó nghiệm tổng quát là:

xn = C(3/2)n

IV ĐỆ QUY 56

b) Nếu (*) có nghiệm kép thực λ0 thì (2) có nghiệm tổng quát là:

X n = (A + nB) λ 0 n

c) Nếu (*) có hai nghiệm phức liên hợp được viết dưới dạng lượng giác:

thì (2) có nghiệm tổng quát là:λ = r (cos ϕ ± i sin ) ϕ

n n

x = r C n ϕ + C n ϕ

 Hệ thức đệ quy tuyến tính không thuần nhất:

 Phương trình đặc trưng của (2):

61

a0λk + a1λk-1 + … + ak = 0

NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA (1) = NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA (2) + RIÊNG CỦA (1)MỘT NGHIỆM

IV ĐỆ QUY

 Tìm nghiệm riêng của (1) khi fn có dạng đặc biệt:

 fn = βnPn(n), trong đó Pr(n) là một đa thức bậc r theo

 Dạng fn = βnPn(n) có 3 trường hợp nhỏ:

a) β không là nghiệm của phương trình đặc trưng

b) β là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng

c) β là nghiệm kép của phương trình đặc trưng

63

IV ĐỆ QUY

 TH β không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì (1) có một nghiệm riêng dạng:

64

Xn = βnQr(n)

IV ĐỆ QUY

 TH β là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì (1) có một nghiệm riêng dạng:

65

Xn = nβnQr(n)

IV ĐỆ QUY

 TH β là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì (1) có một nghiệm riêng dạng:

66

Xn = n2βnQr(n)

Qr(n) = Arnr +Ar-1nr-1 + … + A0n0

IV ĐỆ QUY

 Để xác định các hệ số của Qr(n) ta cần thế xn, xn-1,…, xn-k vào (1) và cho n nhận

r+1 giá trị nguyên nào đó hoặc đồng nhất các hệ số tương ứng ở hai vế để được 1 hệ

phương trình Các hệ số trên là nghiệm của hệ phương trình này.

67

IV ĐỆ QUY

 Dạng fn = fn1 + fn2 + … + fns

Bằng cách như trên, ta tìm được nghiệm riêng xni của

hệ thức đệ quy:

a0xn + a1xn-1 + … + akxn-k = fniKhi đó xn = xn1 +xn2 + … + xns là một nghiệm riêng của

(1)

68

IV ĐỆ QUY

69