Trong khoảng thời gian 5,25s tớnh từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, cú bao nhiờu lần con lắc cú độ lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nú?. Khi đặt cả hai cong lắc trong cựng đ
Trang 1Cõu 1: Một con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trỡnh li độ gúc α = 0,1cos(2πt + π/4) ( rad ) Trong khoảng thời gian 5,25s tớnh từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, cú bao nhiờu lần con lắc cú độ lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nú?
A 11 lần B 21 lần C 20 lần D 22 lần
Giải:
Trong một chu kỡ dao động cú 4 lần v =
2 max
v
tại vị trớ
Wđ =
4
1
W -> Wt =
4
3 Wtmax tức là lỳc li độ
α = ±
2
3 max
α
Chu kỡ của con lắc đơn đó cho T =
ω
π
2
= 1 (s)
t = 5,25 (s) = 5T +
4
1 T
Khi t = 0 : α0 = 0,1cos(π/4) =
2
2 max
α ; vật chuyển động theo chiều õm về VTCB
Sau 5 chu kỡ vật trở lại vị trớ ban đầu, sau T/4 tiếp vật chưa qua được vị trớ α =
-2
3 max
α
Do đú: Trong khoảng thời gian 5,25s tớnh từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, con lắc cú
độ lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nú 20 lần Chọn đỏp ỏn C
Cõu 2: Một con lắc đơn cú chiều dài l = 64cm và khối lượng m = 100g Kộo con lắc lệch khỏi vị trớ cõn bằng một gúc 60 rồi thả nhẹ cho dao động Sau 20 chu kỡ thỡ biờn độ gúc chỉ cũn là 30 Lấy g
= π2 = 10m/s2 Để con lắc dao động duy trỡ với biờn độ gúc 60 thỡ phải dựng bộ mỏy đồng hồ để bổ sung năng lượng cú cụng suất trung bỡnh là
A 0,77mW B 0,082mW C 17mW D 0,077mW
Giải:
α0 = 6 0 = 0,1047rad
Cơ năng ban đầu W0 = mgl(1-cosα0) = 2mglsin 2 2
0
α
≈ mgl 2
2 0
α
Cơ năng sau t = 20T: W = mgl(1-cosα) = 2mglsin2 2
α
≈ mgl 2
2
α
=mgl 8
2 0
α
Độ giảm cơ năng sau 20 chu kỡ: ∆W = mgl(
2
2 0
α
-8
2 0
α
) = mgl
8
3 2 0
α
= 2,63.10-3 J
T = 2π
g
l
= 2π 0,642
π = 1,6 (s)
Cụng suất trung bỡnh cần cung cấp để con lắc dao động duy trỡ với biờn độ gúc là 60
WTB = 3 0,082.10 3
32
10 63 , 2 20
−
−
=
=
∆
T
W
W = 0,082mW Chọn đỏp ỏn B Cõu 3 Một con lắc đồng hồ đợc coi nh một con lắc đơn có chu kì dao động T =2( )s ; vật nặng có khối lợng m 1= ( )kg Biên độ góc dao động lúc đầu là 0
0 =5
α Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi F C =0,011( )N nên nó chỉ dao động đợc một thời gian τ ( )s rồi dừng lại Ngời ta dùng một pin có suất điện động 3( )V điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lợng cho con lắc
A
O M0
α0
Trang 2với hiệu suất 25% Pin có điện lợng ban đầu Q 4 ( )C
0 =10 Hỏi đồng hồ chạy đợc thời gian bao lâu thì lại phải thay pin?
Giải: Gọi ∆α là độ giảm biờn độ gúc mỗi lầ qua vị trớ cõn bằng ∆α = α0 - α
Cơ năng ban đầu của con lắc đơn
W0 = mgl(1-cosα0) = mgl,2sin 2 2 2
2 0
2
α
mgl
≈
Với l = 4 2 0,993
2
≈ π
g T
(m)
Độ giảm cơ năng sau nửa chu kỳ: ∆W = 2
2 2
0 α
α −
mgl
∆W = Fc (α0 + α)l 2
2 2
0 α
α −
mgl
= Fc (α0 + α)l -> ∆α = 0,00245
2
=
mg
F c
α0 = 0,08722
180
14
,
3
5 = ∆W = 2Fc (α0 + α)l = 2Fc(2α0 - ∆α)l = 0,00376 (J)
Đõy là phần năng lượng tiờu hao sau một chu kỡ tức là sau 2s
Năng lượng của nguồn: W = EQ0 = 3.104 (J)
Năng lượng cú ớch cung cấp cho đồng hồ: Wco ich = H.W = 0,75.104 (J)
Thời gian pin cung cấp năng lượng cho đồng hồ
t = Wco ich /∆W = 19946808,5
00376 , 0
7500 = s = 19946808,5/86400 = 23,086 ngày = 23 ngày
Cõu 4 Một con lắc lũ xo thẳng đứng và một con lắc đơn được tớch điện q, cựng khối lượng m Khi
khụng cú điện trường chỳng dao động điều hũa với chu kỳ T1 = T2 Khi đặt cả hai cong lắc trong cựng điện trường đều cú vộc tơ cường độ điện trường E nằm ngang thỡ độ gión của con lắc lũ xo tăng 1,44 lần, con lắc đơn dao động với chu kỳ 5/6 s Chu kỡ dao động của con lắc lũ xo trong điện trường đều là:
A 5/6 s B 1 s C 1,44s D 1,2s
Giải:
Khi chưa cú điện trường:
T1 = 2π
g
l
∆
; T2 = 2π
g
l
; Với ∆l : độ gión của lũ xo; l chiều dài của con lắc đơn T1 = T2 > ∆l = l
Khi đặt cỏc con lắc trong điện trường gia tốc trọng trường hiệu dụng tỏc lờn cỏc vật:
g’ = g + a
Khi đú vị trớ cõn bằng là O’
T’1 = 2π
' 2 2 , 1 '
44 , 1 2 '
'
g
l g
l g
T’2 = 2π
'
g
l
= 2π
'
g
l
∆
2
,
1
'
'
2
1 =
T
T
-> T’1 = 1,2 T’2 = 1,2 5/6 = 1s.
Chọn đỏp ỏn B
Cõu 5: sợi dõy chiều dài l ,được cắt ra làm hai đoạn l1,l2 ,dựng làm hai con lắc đơn.Biết li độ con
lắc đơn cú chiều dài l1 khi động năng bằng thế năng bằng li độ của con lắc cú chiều dài l2 khi động năng bằng hai lần thế năng.Vận tốc cực đại của con lắc l1 bằng hai lần vận tốc cực đại của con lắc l2.Tỡm chiều dài l ban đầu
Giải:
Giả sử phương trinhg dao động của con lắc đơn cú dạng α = α0cosωt
g g’ O’ a
Trang 3Cơ năng của con lắc tại thới điểm có li độ α W=
2
2
mv
+ mgl(1- cosα) = mgl(1- cosα0)
Wt = mgl(1- cosα) = mgl 2sin2
2
α
≈ mgl.2
4
2
α
= mgl
2
2
α
; W = W0 = mgl
2
2 0
α
Khi Wđ = Wt -> α1 =
2
2 01
α
; Khi Wđ = 2Wt -> α2 =
3
2 02
α
α1 = α2 ->
2 01
α
= 3 02
α
(*) Vân tốc cực đại của con lắc đơn vmax = ωlα0 = α0 gl
v1max = 2v2max -> gl1α012 = 4gl2 2
02
α -> l1 2
01
α = 4l2 2
02
α (**)
Từ (*) và (**) -> l1 = 4l2
2
3
-> l1 = 2 6 l2 > l = (1+ 2 6 ) l2
Bài ra thiếu điều kiện để xác định cụ thể l
Câu 6: Treo một vật trong lượng 10N vào một đầu sợi dây nhẹ, không co dãn rồi kéo vật khỏi
phương thẳng đứng một góc α0 và thả nhẹ cho vật dao động Biết dây treo chỉ chịu được lực căng lớn nhất là 20N Để dây không bị đứt, góc α0 không thể vượt quá:
A: 150 B:300 C: 450 D: 600
Giải
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M: v2 = 2gl( cosα - cosα0).
Lực căng của dây treo khi vật ở M
T = mgcosα +
l
mv2 = mg(3cosα - 2cosα0).
T = Tmax khi α = 0
Tmax = P(3 – 2cosα0) = 10(3 – 2cosα0) ≤ 20
> 2cosα0 ≥ 1 -> cosα0 ≥ 0,5 -> α0 ≤ 60 0 Chọn đáp án D
Câu 7: Một con lắc đơn gồm 1 vật nhỏ được treo vào đầu dưới của 1 sợi dây không dãn, đầu trên
của sợi dây được buộc cố định Bỏ qua ma sát của lực cản của không khí Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ Tỉ số độ lớn gia tốc của vật tại VTCB và độ lớn gia tốc tại vị trí biên bằng: A: 0,1 B: 0 C: 10 D: 1
Giải
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M:
v2 = 2gl( cosα - cosα0). > v = 2gl(cosα −cosα)0
a = 2 2
tt
aht =
l
v2
= 2g(cosα - cosα0)
att = m
F tt
= m
Psinα
= gα
Tại VTCB:α = 0 -> att = 0 nên a0 = aht = 2g(1-cosα0) = 2g.2sin 2 2
0
α
= g
2 0
α
Tại biên : α = α0 nên aht =0 > aB = att = gα0
Do đó :a B
a0
= 0
2 0
α
α
g
g
= α0 = 0,1 chọn đáp án A
O M
α0
α
O M F
tt
α0
α
Trang 4Câu 8 : một con lắc đơn dao động điều hòa,nếu giảm chiều dài con lắc đi 44cm thì chu kì giảm đi
0,4s.lấy g=10m/s2.π2=10,coi rằng chiều dài con lắc đơn đủ lớn thì chu kì dao động khi chưa giảm chiều dài là
A:1s B:2,4s C:2s D:1,8s
Giải:
T = 2π
g
l
; T’ = 2π
g
l
l−∆
->
T
T '
=
l
l
l−∆
>(
T
T '
)2 =
l
l
l−∆
>(
T
T
T −∆ '
)2 =
l
l
l−∆
< -> 1 -
T
T
∆
2 + (
T
T
∆
)2 = 1
-l
l
∆
< ->
T
T
∆
2
- (
T
T
∆
)2 =
l
l
∆
(*)
T = 2π
g
l
-> l = 2
2
4π
gT
= 4
2
T
T
T
∆
2
- (
T
T
∆
)2 =
l
l
∆
= 4 2
T
l
∆
< ->
T
8 , 0
- 0,422
44 , 0 4
T -> T
8 , 0 = 1,922
T
->
T
92
,
1
= 0,8 -> T = 2,4 (s) Chọn đáp án B
Câu 9: Một con lắc đơn có chiều dài l= 40cm , được treo tại nơi có g = 10m/s2 Bỏ qua sức cản không khí Đưa con lắc lệch khỏi VTCB một góc 0,1rad rồi truyền cho vật nặng vận tốc 20cm/s theo phương vuông góc với dây hướng về VTCB Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật nặng, gốc thời gian lúc gia tốc của vật nặng tiếp tuyến với quỹ đạo lần thứ nhất Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ cong
A 8cos(25t +π) cm B 4 2 cos(25t +π) cm
C 4 2 cos(25t +π/2) cm D 8cos(25t) cm
Giải:
Phương trình dao động của con lắc theo li độ cong có dạng
s = Smaxcos(ωt + ϕ)
Gọi αm là biên độ góc của dao độngn của con lắc đơn
Khi đo biên độ của tọa độ cong Smax = αm l
α0 = 0,1 rad.
Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có
mgl(1-cosαm ) = mgl(1-cosα0) +
2
2 0
mv
< >
mgl
2
2
max
α
= mgl
2
2 0
α
+ 2
2 0
mv
< -> αmax2 = α02 +
gl
v2
0 = 0,12 + 0,01 < -> αmax = 0,141 = 0,1 2 (rad) < > Smax = αm l = 0,04 2 (m) = 4 2 (cm) (*)
Tần số góc của dao động ω =
l
g
= 25 rad/s Gốc thời gian t = 0 khi gia tốc của vật nặng tiếp tuyến với quỹ đạo lần thứ nhất tức là gia tốc hướng tâm aht = 0 -> v = 0: tức là lúc vật ở biên âm (ở điểm A)
Khi t = 0 s = -Smax > ϕ = π
Vậy: Phương trình dao động của con lắc theo li độ cong s = Smaxcos(ωt + ϕ)
s = 4 2 cos( ωt +π ) (cm) Chọn đáp án B
Câu 10 Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng m, dây treo có chiều dài l = 2m, lấy g = π2 Con
lắc dao động điều hòa dưới tác dụng của ngoại lực có biểu thức F = F0cos(ωt + π/2) N Nếu chu kỳ
A
O M
0
αmaxα0
Trang 5T của ngoại lực tăng từ 2s lên 4s thì biên độ dao động của vật sẽ:
A tăng rồi giảm B chỉ tăng C chỉ giảm D giảm rồi tăng
Giải;
Chu kỳ doa động riêng của con lắc đơn T0 = 2π
g
l
= 2π 22
π = 2 2 (s)
Khi tăng chu kì từ T1 = 2s qua T0 = 2 2 (s) đến T2 = 4(s), tấn số sẽ giảm từ f1 qua f0 đến f2.Biên độ của dao động cưỡng bức tăng khi f tiến đến f0
Do đó trong trường hợp nay ta chọn đáp án A Biên độ tăng rồi giảm
Câu 11:con lắc đơn dao động trong môi trường không khí.Kéo con lắc lệch phương thẳng đứng
một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ.biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật.coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ.số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là:
A: 25 B: 50 c: 100 D: 200
Giải: Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB (∆α< 0,1)
Cơ năng ban đầu W0 = mgl(1-cosα) = 2mglsin22
α
≈ mgl 2
2
α
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB:
2 ] ) (
[
2
2 2
mgl
(1) Công của lực cản trong thời gian trên:
Acản = Fc s = 0,001mg(2α - ∆α)l (2)
Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng: ∆W = Ac
[2 ( ) ]
2
2
α α
mgl
= 0,001mg(2α - ∆α)l
> (∆α)2 – 0,202∆α + 0,0004 = 0 > ∆α = 0,101 ± 0,099 Loại nghiệm 0,2
ta có ∆α= 0,002
Số lần vật qua VTCB N = 50
002 , 0
1 ,
=
∆α
α
Chọn đáp án B.
Câu 12 : Một con lắc đơn: có khối lượng m1 = 400g, có chiều dài 160cm ban đầu người ta kéo vật
lệch khỏi VTCB một góc 600 rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật đi qua VTCB vật va chạm mềm với vật m2 = 100g đang đứng yên, lấy g = 10m/s2 Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm
là
A 53,130 B 47,160 C 77,360 D.530
Giải: Gọi v0 vận tốc của m1 trước khi va chạm với m2; v vận tốc của hai vật ngay au va chạm
Theo ĐL bảo toàn động lượng ta có: m1v0 = (m1 + m2)v -> v =
2 1
1
m m
m
+ v0 = 5
4 v0 (*) Theo ĐL bảo toàn cơ năng cho hai trường hợp:
2
2
0
1v
m
= m1gl(1- cosα0) (**)
2
)
2
1 m v
= (m1 + m2)gl(1- cosα) (***)
Từ (**) và (***)
0 cos -1
cos -1
α
α
= 2 0
2
v
v
= 25 16 ->
Trang 61- cosα) =
25
16
(1- cosα0) =
25
16 2
1
= 25
8 = 0,32 cosα = 0,68 -> α = 47,156 0 = 47,16 0 Chọn đáp án B
Câu 13 : Một con lắc đơn đếm giây có chu kì bằng 2s, ở nhiệt độ 20oC và tại nơi có gia tốc trọng trường 9,813 m/s2, thanh treo có hệ số nở dài là 17.10–6 K–1 Đưa con lắc đến nơi có gia tốc trọng trường là 9,809 m/s2 và nhiệt độ 300C thì chu kì dao động là :
A ≈ 2,0007 (s) B ≈ 2,0232 (s) C ≈ 2,0132 (s) D ≈ 2,0006 (s)
Giải: Chu kì dao động của con lắc đơn:
T = 2π
g
l
T’ = 2π
'
'
g
l
với l’ = l(1+ α∆t0) = l(1 + 10α)
T
T '
=
l
l'
'
g
g
= 1+10α
'
g
g
Do α << 1 nên 1+10α ≈ 1 +
2
' 1
10α = 1+5α
> T’ = (1+5α)T
'
g
g
= ( 1 + 5.17.10-6).2
809 , 9
813 , 9
≈ 2,00057778 (s) ≈ 2,0006 (s) Câu 14: Một con lắc đơn có chiều dài 1m, đầu trên cố định đầu dưới gắn với vật nặng có khối
lượng m Điểm cố định cách mặt đất 2,5m Ở thời điểm ban đầu đưa con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc (α = 0,09 rad (goc nhỏ) rồi thả nhẹ khi con lắc vừa qua vị trí cân bằng thì sợi dây bị đứt Bỏ qua mọi sức cản, lấy g = π2 = 10 m/s2 Tốc độ của vật nặng ở thời điểm t = 0,55s có giá trị gần bằng:
A 5,5 m/s B 0,5743m/s C 0,2826 m/s D 1 m/s
Giải:
Chu kì dao động của con lắc đơn T = 2π
g
l
= 2 (s)
Thời gian đễn VTCB là T/4 = 0,5 (s)
Khi qua VTCB sợi dây đứt, chuyển động của vật là CĐ ném ngang từ độ cao h0 = 1,5m với vận tốc ban đầu xác định theo công thức:
2
2
0
mv
= mgl(1-cosα) = mgl2sin2 2
α
= mgl 2
2
α
-> v0 = πα
Thời gian vật CĐ sau khi dây đứt là t = 0,05s Khi đó vật ở độ cao
h = h0 - 2
2
gt
-> h0 – h = 2
2
gt
mgh0 + 2
2
0
mv
= mgh + 2
2
mv
-> v2 = v0 + 2g(h0 – h) = v0 + 2g 2
2
gt
v2 = v0 + (gt)2 - v 2 = (πα) 2 + (gt) 2 -> v = 0,5753 m/s
Bài 15: Một con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m, dây treo có chiều dài l dao động điều hòa với
biên độ góc α0tại một nơi có gia tốc trọng trường g Độ lớn lực căng dây tại vị trí có động năng gấp hai lần thế năng là
Trang 7A:T =mg(2 2cos− α0) B: T =mg(4 cos− α0) C: T =mg(4 2cos− α0) D:
(2 cos 0)
Giải: Xét con lắc ở vị trí M, dây treo tạo với phương thẳng đứng góc α
Tốc độ của vật tại M
v = 2gl(cosα −cosα0)
T + P = Fht
Lực căng tại vị trí M
T = Fht + Pcosα =
l
mv2 + mgcosα
T = mg(3cosα - 2cosα0) (*)
Khi Wđ = 2Wt -> 3Wt = W0
3mgl(1-cosα) = mgl(1 – cosα0) -> 3cosα = 2 + cosα0 (**)
Do đó T = mg(2 – cosα0) Đáp án D
Câu 16: Đưa vật nhỏ của con lắc đơn đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 50 rồi thả nhẹ cho dao động Khi dao động vật luôn chịu tác dụng bởi một lực cản có độ lớn bằng 1%
trọng lượng vật biết biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ Sau khi qua vị trí cân bằng được
20 lần thì biên độ dao động của vật là:
A 4,90 B 4,60 C 4,70 D 4,80
Giải:
α0 = 5 0 = 0,0,0872rad
Cơ năng ban đầu W0 = mgl(1-cosα0) = 2mglsin 2 2
0
α
≈ mgl 2
2 0
α
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB: ∆W = mgl(
2
2 2
0 α
α −
) = AFc = Fcl(α0 + α)
Độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB: ∆α = α0 – α = mg
F c
2 = mg
mg
01 , 0 2
= 0,02 Sau khi qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật là:
α20 = α0 – 20∆α = 5 0 – 20.0,02 0 = 4,6 0 Đáp án B.
A’
O M Ftt
A
α0
α