Liên hệ chuyển động tròn đều giải toán

Dùng tương quan giữa chuyển động tròn đều và dao động để giải một số bài toán vật lí

ĐẶT VẤN ĐỀ

Những năm gần đây, trong các kì thi tốt nghiệp THPT hoặc tuyển sinhCao đẳng, Đại học thì môn Vật lí được tổ chức thi dưới hình thức trắc nghiệmkhách quan có bốn lựa chọn cho mỗi câu hỏi Thời lượng làm bài bình quân chomỗi câu ở kì thi tốt nghiệp THPT là 1.5 phút, ở kì thi tuyển sinh ĐH là 1 phút 8giây Do vậy việc hướng dẫn cho học sinh có phương pháp giải nhanh, có kỹnăng chọn đúng phương án trả lời trắc nghiệm của một bài toán vật lí, cũngnhằm hình thành cho thế hệ trẻ năng lực xử lý nhanh tình huống để chọn giảipháp tối ưu là nhiệm vụ rất quan trọng của người giáo viên dạy vật lí

Ở trường THPT Nguyễn Việt Khái, học sinh vào học phần đa là có học

lực trung bình và yếu, mỗi năm chỉ tuyển được khoảng dưới 6% học sinh có

xếp loại khá trong giấy chứng nhận tốt nghiệp THCS Thực tế có quá nhiều

học sinh quên kiến thức căn bản đã học ở các lớp trước, kém năng lực tư duy,lười suy nghĩ, thụ động và đặc biệt là thiếu tự tin vào khả năng của bản thân các

em Nên người giáo viên phải tìm cách giải dễ cho mỗi dạng bài toán để giúp

các em vận dụng được, giúp các em có lòng tin “ mình cũng làm được”.

Qua thời gian giảng dạy môn vật lí lớp 12 chương trình chuẩn, tôi nhậnthấy rằng có thể dùng sự tương quan giữa chuyển động tròn đều và dao độngđiều hòa sẽ giải nhanh được một số dạng bài toán thuộc chương I – Dao độngcơ; chương III – Dòng điện xoay chiều; chương IV – Dao động và sóng điện từ

Với bài viết này, tôi ghi lại những dạng bài toán trắc nghiệm khách quan

mà tôi đã dùng sự tương quan giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòahướng dẫn học sinh giải nhằm trang bị cho các em một vốn kiến thức và kỹ năngnhất định Mong quý thầy cô đóng góp ý kiến cho phần trình bày dưới đây để tàiliệu đạt được chất lượng cao hơn, tôi xin tiếp thu và chân thành cảm ơn

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

DÙNG TƯƠNG QUAN GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VẬT LÍ

1 Cơ sở khoa học

Khảo sát một chất điểm chuyển động tròn đều

theo chiều dương ( ngược chiều quay của kim đồng hồ )

với tốc độ góc ω trên đường tròn tâm O bán kính A

Tại thời điểm t = 0 chất điểm ở vị trí M0 có tọa độ

góc ϕ = xOM 0 và hình chiếu của điểm M0 trên trục Ox là

P0 Tọa độ của điểm P0 là OP 0 = OM cos 0 ϕ hay

0

x = A cos ϕ

Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M có tọa độ góc α = xOM = ω + ϕ t và hình

chiếu của điểm M trên trục Ox là P Tọa độ của điểm P là OP OM.cos = α hay

x A.cos = ω + ϕ t

Như vậy hình chiếu của một chuyển động tròn đều ( chất điểm M ) xuốngtrục Ox trùng với đường kính của đường tròn chính là một dao động cơ điều hòa

Ngược lại: Một dao động điều hòa có thể coi như hình chiếu của một

chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.

*

M0P ωt

+ Bảng so sánh giữa chuyển động tròn đều của M với dao động điều hòa của P

Chuyển động tròn đều của M Dao động điều hòa của P

Tốc độ góc: ω ( rad/s) Tần số góc: ω ( rad/s)

Góc pha: α = xOM ( rad ) Pha dao động: (ωt +φ) ( rad )

Góc pha lúc t = 0: α0 = xOM0 ( rad) Pha ban đầu: φ ( rad )

M chuyển động trên cung phần tư thứ I;

II ( nửa đường tròn phía trên )

P chuyển động ngược chiều dương

Ox ( từ phải qua trái ); v < 0; φ > 0

M chuyển động trên cung phần tư thứ III;

IV ( nửa đường tròn phía dưới )

P chuyển động cùng chiều dương

Ox ( từ trái qua phải ); v > 0; φ < 0

M chuyển động trên cung phần tư

I II

2 Vận dụng tương quan giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa

để giải một số dạng bài toán vật lí lớp 12 ( trong tất cả các bài toán cơ trình

bày dưới đây, vật dao động được coi là chất điểm)

2.1 Vận dụng vào tìm pha ban đầu φ trong việc giải bài toán lập phương trình dao động điều hòa

a) Phương pháp

+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính A; trục Ox;

+ Xác định tọa độ x0 trên trục Ox; hướng vec tơ vận tốc ban đầu v uur 0

( hướngchuyển động lúc t = 0);

+ Tại x0 kẻ nửa đường thẳng vuông góc với trục Ox cắt nửa đường tròn tại M0 Nếu v uur 0

ngược chiều Ox thì ta kẻ lên phía trên và ngược lại;

+ Góc pha xOM0 chính là pha ban đầu φ cần tìm

( 4 bước trên học sinh tốn rất ít thời gian để thực hiện )

b) Ví dụ

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 4 cm và chu kỳ 2 s, chọn

gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí cân bằng ( VTCB ) theo chiều dương.Phương trình dao động của chất điểm?

v

uu r

M0

x

* Giải theo phương pháp cũ

Chọn hệ quy chiếu: trục Ox, mốc thời gian Phương trình dạng x A cos = (ω + ϕ t )

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa trên quĩ đạo thẳng dài 10 cm với tần số 2Hz.

Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí x = - 2,5 cm và đi theo chiều dương thìphương trình dao động là?

Ví dụ 3: Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo một vật m Vật dao động theo

phương thẳng đứng và cần 0,1 s để đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất.Trong quá trình dao động, độ dài lò xo thay đổi từ 18 cm đến 22 cm Chọn gốctọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độdài nhỏ nhất Phương trình dao động của vật là

Ví dụ 4: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Quả

nặng của con lắc đi từ VTCB đến vị trí thấp nhất hết 0,1 s Trong quá trình daođộng, chiều dài lò xo thay đổi từ 16 cm đến 24 cm Chọn t = 0 là lúc lò xo dài 22

cm và đang giảm Gốc tọa độ tại VTCB, trục Ox thẳng đứng chiều dương hướngxuống Phương trình dao động của vật?

Ví dụ 5: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm quả nặng có m = 1 kg và lò xo

có độ cứng k = 1600 N/m Khi quả nặng ở vị trí cân bằng, người ta truyền cho

nó một vận tốc ban đầu bằng 2 m/s hướng thẳng đứng xuống dưới Chọn gốcthời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, chiều dương của trục Ox hướng xuống.Phương trình dao động của quả nặng là:

Ví dụ 6: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Thời

gian vật đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất (cách nhau 10 cm) là 0,25 s Gốcthời gian là lúc vật chuyển động chậm dần theo chiều dương với vận tốc 10πcm/s Phương trình dao động của vật là:

Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình

x 4cos(10 t = π + ϕ ) cm Tại thời điểm t = 0 thì x = -2 cm và đi theo chiều dương củatrục tọa độ, pha ban đầu ϕ có giá trị nào:

Vẽ phác hình xác định được 4 rad

3

π

ϕ = Chọn D

Ví dụ 8: Một con lắc lò xo có khối lượng m = 2 kgdao động điều hòa theophương nằm ngang Vận tốc có độ lớn cực đại bằng 0,6 m/s Chọn gốc thời gian

là lúc vật qua vị trí x 3 2 cm = theo chiều âm và tại đó động năng bằng thế năng,gốc tọa độ là VTCB Phương trình dao động của vật có dạng nào sau đây?

a) Phương pháp

+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính A; trục Ox;

+ Xác định góc pha ban đầu ϕ = xOM0 ( tìm điểm M0 trên đường tròn );

+ Xác định tọa độ x1 trên trục Ox; tại x1 kẻ đường thẳng a vuông góc trục Ox cắtđường tròn;

+ Từ M0 đi ngược chiều kim đồng hồ gặp giao điểm đầu tiên của a với đườngtròn, đặt là M1;

+ Xác định góc quét trong thời gian t là α = ωt = M0OM1 và tần số góc ω;

2 12

π α

ω π Chọn C.

* Giải theo phương pháp cũ

Vật đi qua VTCB thì x = 0 nên khi chỉ xét trong một chu kì ta có:

* Giải theo phương pháp cũ ( Chỉ xét trong một chu kì )

Ví dụ 3: (TSĐH -2008) Một con lắc lò xo treo thẳng đứng Kích thích cho con

lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Chu kì và biên độ dao động củacon lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướngxuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cânbằng theo chiều dương Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2 và π2 = 10 Thời gianngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là

5 30

π α

M1x’

Pha ban đầu:

khối lượng vật nặng m = 200g, dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm Lấy g

= 10 m/s2 Trong một chu kì dao động, thời gian lò xo giãn là:

M1

x

* Giải

Khi vật ở VTCB lò xo dãn một đoạn∆ = l 0 0,025m 2,5cm =

Tại x = - 2,5 cm thì lò xo dài tự nhiên

Vẽ phác hình được thời gian lò xo dãn bằng thời gian chất

điểm đi trên cung lớn M0OM1

20 120

π α

2.3 Vận dụng vào tìm thời điểm vật có li độ x 1 lần thứ hai- làm cơ sở cho dạng tìm thời điểm vật qua li độ x1 lần thứ n là số chẵn ( rất ) lớn hơn 2

a) Phương pháp

+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính A; trục Ox;

+ Xác định góc pha ban đầu ϕ = xOM0 ( tìm điểm M0 trên đường tròn );

+ Xác định tọa độ x1 trên trục Ox; tại x1 kẻ đường thẳng a vuông góc trục Ox cắtđường tròn;

+ Từ M0 đi ngược chiều kim đồng hồ gặp giao điểm thứ hai của a với đườngtròn, đặt là M2;

+ Xác định góc quét α = M0OM2 ( theo chiều dương ) và tần số góc ω;

π α

M0a

M2

*

*

* Giải theo phương pháp cũ

Vật đi qua VTCB thì x = 0 nên ta có:

= là thời điểm chất điểm qua VTCB lần thứ ba

( Nhiều học sinh không giải được phương trình như trên để tìm ra t 11(s)

= − Tìm thời gian tính từ t = 0 để chất điểm ngang tọa độ

x = − 3 2 cmtheo chiều dương của trục tọa độ ?

* Giải theo phương pháp cũ

Để chất điểm ngang tọa độ x = − 3 2 cmtheo chiều dương của trục tọa độ thì tmin

2.4 Vận dụng vào tìm thời điểm vật có li độ x 1 lần thứ n > 2 ( mở rộng từ phân

mục 2.2 và mục 2.3 vừa nêu trên)

a) Phương pháp

+ Xác định số chẵn m nhỏ hơn và gần n nhất

(n = 9 thì m = 8; n = 30 thì m = 28; n = 2011 thì m = 2010)

Như vậy tùy theo bài mà có: n – m = 1 hoặc n – m = 2;

+ Xác định thời điểm t1 theo mục 2.2 đã trình bày phần trên ( thời điểm vật có li

độ x1 lần đầu) nếu n – m = 1; hoặc xác định thời điểm t1 theo mục 2.3 đã trình

bày phần trên ( thời điểm vật có li độ x 1 lần thứ hai ) nếu n – m = 2;

+ Xác định chu kì dao động T và tính thời gian t2 để chất điểm thực hiện m lần

+ Thời điểm cần tìm là : t = t 1 + t 2

4 16

π α

Ví dụ 3: ( TSĐH -2011) Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình

2

x 4cos t

3

π

= (x tính bằng cm; t tính bằng s) Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có

li độ x = -2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm

2 3

π α

4 16

π α

M2

*

*

2.5 Vận dụng vào tìm quãng đường vật đi được trong thời gian ∆ t ( từ thời điểm t0 đến thời điểm t )

∆ = + ( t1 là số dư trong phép chia ∆ tcho T

+ Chiếu M1 xuống trục Ox tìm x1 suy ra quãng đường đi S1 trong thời gian t1 ;

+ Quãng đường cần tìm là : S = m.2A + S1;

( trong đó tích m.2A = S 2 là quãng đường đi được trong m lần nửa chu kì )

b) Ví dụ

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 8 cm và chu

kì 2 s, O là VTCB Lúc t = 0 chất điểm có li độ x0 = - 4 cm và đang tăng Xác

định quãng đường chất điểm đi được cho đến thời điểm t = 4,5 s

+ Quãng đường cần tìm là : S m.2A S = + = 1 4.2.8 10,93 74,93cm + = Chọn D.

Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 8 cm và chu

kì 1 s, O là VTCB Lúc t = 0 chất điểm có li độ x = - 4 cm và đang giảm Xác

định quãng đường chất điểm đi được cho đến thời điểm t = 4,25 s

= − = − Trong thời gian t1 chất điểm đã đi theo hai chiều

từ x0 = -4 cm đến biên âm -8 cm đổi chiều đi đến x 1 = − 4 3 cm, nên quãng đường

đi được trong thời gian t1 là:

2.6 Vận dụng vào bài toán tính quãng đường lớn nhất và quãng đường nhỏ

2

< <

* Để ý rằng: vật có tốc độ lớn nhất khi qua VTCB, triệt tiêu khi đến vị trí biênnên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ởcàng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên

a) Phương pháp

+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính A; trục Ox;

+ Xác định tần số góc ω; góc quét Δφ = ω.Δt

+ Quãng đường lớn nhất khi M và N đối xứng

nhau qua trục sin ( trục thẳng đứng )

çè ø;

+ Quãng đường nhỏ nhất khi M và N đối xứng

nhau qua trục cos ( trục nằm ngang )

Trong thời gian m.T

2quãng đường luôn bằng 2.m.A, trong thời gian Δτ thì quãngđường đi được tính như cách trên

M N

Δφ

= ççè ø÷÷= = Chọn C.

Ví dụ 2: ( TSCĐ – 2008 ) Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị

trí cân bằng O với biên độ A và chu kỳ T Trong khoảng thời gian T/4, quãngđường lớn nhất mà vật có thể đi được là

M N

Δφ A

- A

Δφ

x1O

M N

Δφ A

- A

* Giải

Quãng đường đi bé nhất ứng với thời gian có tốc độ bé nhất,

thời gian này vật CĐ gần biên

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà với biên độ 4 cm, cứ sau

một khoảng thời gian 1/4 giây thì động năng lại bằng thế năng.Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian1/6 giây là

Ví dụ 7: Một vật dao động điều hoà với biên độ 8 cm, cứ sau một khoảng thời

gian 1/2 giây thì động năng lại bằng cơ năng Quãng đường lớn nhất mà vật điđược trong khoảng thời gian 1/6 giây là

A x M

- 4

A 8 cm B 6 cm C 2 cm D 4 cm.

Quãng đường đi lớn nhất trong thời gian là ∆ = − x x 1 x 2 = 8cm Chọn A.

2.7 Vận dụng vào dạng toán về sự kiện, thời điểm có liên quan đến năng lượng dao động, động năng, thế năng

a) Phương pháp

+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính A ; trục Ox ;

+ Xác định tần số góc ω ;

+ Xác định các cặp thông tin : ( x0 ; M0 ) và ( x1 ; M1 ) như các dạng trên ;

+ Căn cứ hình và các thông tin đó để giải bài toán

b) Ví dụ

Ví dụ 1: Quả nặng của con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ A, chu kì T.

Lúc t = 0 vật có li độ cực đại Lần thứ năm động năng bằng thế năng vào thờiđiểm nào ?

Như vậy trong một chu kì dao động có 4 lần xảy ra sự kiện động năng bằng thế

năng Lần đầu tiên : tại 1

A x 2

= , tương ứng điểm M1 trên đường tròn ;

T

π α

Ví dụ 2: ( TSCĐ – 2009) Một vật dao động điều hòa dọc theo trục tọa độ nằm

ngang Ox với chu kì T, vị trí cân bằng và mốc thế năng ở gốc tọa độ Tính từ lúcvật có li độ dương lớn nhất, thời điểm đầu tiên mà động năng và thế năng củavật bằng nhau là

Ví dụ 3: ( TSĐH – 2011) Một chất điểm dao động điều hoà trên trục Ox với

biên độ 10 cm, chu kì 2 s Mốc thế năng ở vị trí cân bằng Tốc độ trung bình củachất điểm trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có độngnăng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng 1/3 lần thế năng là

x1

M

ω π

+ Quãng đường đi trong thời gian đó: s x = 2 − = x 1 (5 3 5) cm −

+ Tốc độ trung bình trong thời gian đó: v st 5 3 51 21,96cms

6

−

Ví dụ 4: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa xung quanh VTCB

theo phương trình x 4cos t (cm) = ω Biết rằng cứ sau những khoảng thời gian

Vẽ phác hình được trong một chu kì có 4 thời điểm xảy ra

sự kiện động năng bằng nửa cơ năng Nên t T

Vẽ phác hình, vị trí bắt đầu là Mo chất điểm chạy hơn 2

vòng để đến vị trí M9 trong thời gian đề cho, tương ứng

có 9 thời điểm động năng bằng thế năng Chọn C

Ví dụ 6: Một con lắc lò xo dao động điều hòa Biết trong một chu kì, khoảng

thời gian để vật nhỏ của con lắc có thế năng không vượt quá một nửa động năngcực đại là 1s Lấy π2=10 Tần số dao động của vật là

2.8 Vận dụng vào một số dạng toán về điện xoay chiều, dao động điện từ

Ví dụ 1: ( TSĐH -2007) Dòng điện chạy qua một đoạn mạch có biểu thức

  Trong khoảng thời gian từ 0 đến 0,01s cường độ dòng

điện tức thời có giá trị bằng 0,5I0 vào những thời điểm

100 600

π γ

M2M

M 0

* x

* *

Ví dụ 2: (TSĐH – 2007) Một tụ điện có điện dung 10 μF được tích điện đến một

hiệu điện thế xác định Sau đó nối hai bản tụ điện vào hai đầu một cuộn dâythuần cảm có độ tự cảm 1 H Bỏ qua điện trở của các dây nối, lấy π2 = 10 Saukhoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu (kể từ lúc nối) điện tích trên tụ điện cógiá trị bằng một nửa giá trị ban đầu?

1 3

; Chọn B

Ví dụ 3: ( TSĐH – 2010) Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động

điện từ tự do Tại thời điểm t = 0, điện tích trên một bản tụ điện cực đại Saukhoảng thời gian ngắn nhất Δt thì điện tích trên bản tụ này bằng một nửa giá trịcực đại Chu kì dao động riêng của mạch dao động này là