* K là một tính phân được tính đơn giản , khi đó từ đẳng thức : mI +nK =a ta suy ra I và K Việc tìm đến tích phân liên kết K , tùy thuộc vào kinh nghiệm của bạn.. Thường biểu thức các tí
Trang 1TÀI LIỆU TOÁN THPT www.k2pi.net
Tích phân liên kết
Trong một số bài toán tính tích phân I = ( )
b
a
f x d x
, ta tìm đến tích phân K= ( )
b
a
g x d x
và tính I trong các mối ràng buộc với K ( K được gọi là tích phân liên kết với I )
Ta đi xác lập các đẳng thức liên hệ giữa I và K : m I n K a
Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn I , K ta tính được I và cả K
Ta thường gặp trường hợp :
* I = K khi đó tính I+K từ đó suy ra I
* K là một tính phân được tính đơn giản , khi đó từ đẳng thức : mI +nK =a ta suy ra I (và K)
Việc tìm đến tích phân liên kết K , tùy thuộc vào kinh nghiệm của bạn Thường biểu thức các tích phân (liên kết ) f(x) ,g(x) có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau
Chúng ta hãy tìm hiểu qua một số ví dụ :
Bài 1: Tính I =
6
2
0
co s 2 x sin xd x
Có thể tính trực tiếp tích phân này – Một cách tính gián tiếp ?
Vì sin2
x + cos2x =1 , ta xét tích phân tương tự : K =
6
2
0
co s 2 o sx c xd x
Ta có : I +K =
6
0
co s 2 xd x
2 sin2x | 6
0
= 3
4
(*)
Mặt khác : K-I =
6
0
co s 2 (co sx x sin x d x)
6 2
0
co s 2 xd x
=
6
0
1 (1 co s 4 ) 2
x d x
0
Từ (*) (**) suy ra : I =1 3 3( )
Bài 2: Tính I = 2
0
sin
x dx
Xét bài toán (tích phân) tương tự : K = 2
0
os
dx
Bằng phép thay biến x = /2-t
Ta có : dx =-dt , x = 0 → t= /2 , x = /2→ t= 0
Khi đó : I = = K
Ta có : I + K = 2
0
cos sin
dx
2
0
1dx
2
0
1
dx
= /2 -
2
0
1
dx
Tính 2
0
1 sinx cosx 1dx
2
0
sin( / 4) sin( / 4) 2
dx x
2
0
2 2 sin ( ) o s ( )
d x
c
Trang 2=
[ cot( ) tan( )]
sin( ) os( )
c
c
0
[ ln sin ( ) ln o s ( )] |
0
2
2 os( )
2
x
x c
Ta có : I=K và I+K = ln2 → I=K = ln 2
2
Chú ý : + Bạn có thể không thay biến , tính I-K = = 0 → I=K
Bài 3: I =
3 2
0
cos sin
dx
Nếu tính được I =
3 2
0
cos sin
dx
thì ta cũng tính được K =
3 2
0
sin cos
dx
Biểu thức của K là biểu thức của I trong đó : sinx được thay bởi cosx và cosx được thay bởi sinx Bằng phép thay biến x = /2-t Ta cm được I = K
0
sin cos
dx
2
2 0
sin 2
1 cos 2
x dx x
Đặt t = cos2x → dt = -2sin2xdx
x = 0 → t=1 , x = /2 → t= -1
I+K =
1 2 1
2 1
d t t
= = /4 Suy ra : I = /8
Chú ý : (cos4x )’= -4 cos3
xsinx - xét đến (sin4x )’= 4 sin3
xcosx
Ta có: (sin4
x + cos4x )’= - sin4x Khi đó : 4(I-K) = 2 4 4
0
sin 4
x dx
sin x cos x)| / 2
0
= 0 → I= K
Bài 4: I = 1 2
d x e
* Chọn K =
2 1 2
x x
e d x e
0
3I K dx 1 (1)
* Tính K Để ý (e2x+3 )’= 2 e2x
0
1
2 2
0
x
x x
e e
Từ (1) (2) suy ra : I =
2
e
Bài 5:
4 1
6 0
1 1
x
x
Liên hệ đến hằng đẳng thức : x6
+1 = (x2 +1) ( x4- x2 +1) , ta chọn
2 1 6
x
x
Ta có : I - K =
2 4 1 6 0
1 1
d x x
1 2 0
1
1 dx
x
Đặt x = tant → dx = (1+tan2
t)dt x = 0 → t =0 , x = 1 → t = /4
Trang 3suy ra : I = 1ln 2
4
Đây là nội dung còn nhiều điều tìm hiểu – vấn đề chọ tích phân liên kết đòi hỏi khả năng tư duy linh hoạt của bạn Bạn suy nghĩ tìm tòi thêm nhé Mời bạn cùng giải một số bài tập sau :
Bài tập đề nghị :
Bài 1: a/
2
4
0
sin 2 o sx c xd x
2
4
0
o s 2 o s
Bài 2: a/
3
6
sin
x dx
2
2 0 1 2 2 0 1 0
0
sin xco s xd x
2
2
0
sinn xco sn xd x
x
x
I 6
0 2
2 cos cos
b/
2
0
2 sin 3 cos
s inx cos 1
dx x
Bài 4: a/ 2
0
2 sin 1
x
dx
2
4
1 os
dx
Bài 5: a/ 2
0
2 sin 3 cos
s inx cos
dx x
3
6
2 cot 3 tan cotx tan
dx x
Bài 6: a/ *
2 3
0
sin
3 s in x co s
x
d x x
2 2
0
os
dx
Bài 7 a/
3
1
1 (1 )dx
1 1 2x
x
d x
c/
2
x
x e dx
x
Bài 8 : a/ *
3
6
os5 sin 2
dx x
b/ *
3
6
sin 5 os
x dx
Và bạn có thể đề xuất thêm nhiều bài toán mà khi giải nó ta phải xét đến tích phân liên kết phải không nào Chúc bạn vui – thành công
17/6/2012
Trang 4Bắt đầu từ những gì đơn giản nhất
4
2
0
1
g x
d x
tg x
2
4
co s sin
3 sin 2
d x x
Trang 5sin 5 s inx 2 os3 sin 2
2 2 os3 sin
=
3
6
2 (sin 4x sin 2 )x dx
Bổ sung : Tính : I =
3
6
os5 sin 2
dx x
Chọn K =
3
6
os sin 2
dx x
I+K =
3 6
K =
3
6
os
sin 2
dx x
3
6
1 sinx d x
=
3 6
(cot tan ) (ln sin ln os ) |
sin 2 2
x
2
3
0
tan
3 s in x co s
x
d x x
2
3
0
sin
3 s in x co s
x
d x x
Trang 66
os3
os
dx
3
6
os5 os
dx