Chương 4 một số phương pháp đơn hình

1 Một số phương pháp đơn hình đặc biệtPhương pháp đơn hình cải biên Phương pháp đơn hình đối ngẫu Thuật toán đơn hình với bài toán đối ngẫu Thuật toán đơn hình đối ngẫu Phương pháp phân

ĐẠI HỌC SÀI GÒN

Khoa Toán-Ứng dụng

Bài giảng TỐI ƯU HÓA

(867006, 30) Chương 4: Một số phương pháp đơn hình

đặc biệt (Bản thảo còn chỉnh sửa)

TS Tạ Quang SơnEmail: tqson09@gmail.com

Cập nhật: Ngày 31 tháng 3 năm 2018

TS Tạ Quang Sơn, Khoa Toán-Ứng dụng, ĐHSG TỐI ƯU HÓA

Tài liệu học tập (tham khảo)

Nguyễn Hải Thanh, Tối ưu hóa (Dành cho ngành Tin học vàCNTT), NXB Bách Khoa, Hà Nội, 2006

Phan Quốc Khánh và Trần Huệ Nương, Quy hoạch tuyến tính,NXB Giáo dục, 2000

Trần Xuân Sinh, Quy hoạch tuyến tính, NXB Giáo dục, 2004Nguyễn Ngọc Thắng& Nguyễn Đình Hòa, Qui hoạch tuyếntính, NXB ĐHQG Hà Nội, 2006

Nguyễn Xuân Tấn và Nguyễn Bá Minh, Lý thuyết tối ưu khôngtrơn, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007

Tham khảo thêm

dl.is.vnu.edu.vn/bitstream/123456789/173/1/toi_uuhoa.pdfvi.wikipedia.org/wiki/Tối_ưu_hóa_(toán_học)

www.stanford.edu/ boyd/cvxbook/bv_cvxslides.pdf

Đánh giá học phần

1 Thi kết thúc học phần: Thi viết

2 Trọng số điểm: Chuyên cần: 0.1; Kiểm tra giữa kỳ: 0.3; Thikết thúc: 0.6

3 Đánh giá: Điểm TBC của điểm thi kết thúc và điểm quá trình

1 Một số phương pháp đơn hình đặc biệt

Phương pháp đơn hình cải biên

Phương pháp đơn hình đối ngẫu

Thuật toán đơn hình với bài toán đối ngẫu Thuật toán đơn hình đối ngẫu

Phương pháp phân phối giải bài toán vận tải

Giới thiệu về mạng vận tải

Dây chuyền và chu trình

Các tính chất quan trọng

Tiêu chuẩn tối ưu

Thuật toán

Tìm phương án xuất phát

Chương 4 Một số phương pháp đơn hình đặc biệt 4.1 Phương pháp đơn hình cải biên (xem [3])

Giả sử B là ma trận các véc-tơ cơ sở với chỉ số thuộc J Xem

b = A0, khi đó ta thu được X0∗ khi biểu diễn A0 qua các véc-tơ cơ

sở, tức là BX0∗= A0 hay

X0∗= B−1b

Ta nhận được một phương án cực biên X0 từ X0∗ bằng cách bổsung các thành phần bằng 0, ứng với thành phần ngoài cơ sở Cáccột của ma trận A đều biểu diễn được qua các véc-tơ cơ sở, tức làthu được Xj bởi BXj = Aj hay

Xj = B−1Aj.Trong phương pháp đơn hình, ước lượng ∆j dùng để kiểm tra sựtối ưu của một phương án cực biên được tính bởi công thức:

∆j = C∗Xj − cj, j /∈ J, ∆j = 0 với j ∈ J, C∗= (cj), j ∈ J

• Rõ ràng rằng, X0, Xj, ∆j đều tính được nếu biết B−1 Nếu X0chưa phải là phương án tối ưu thì tìm phương án tốt hơn là X1.

Ma trận B nêu trên gọi là ma trận liên kết với X0 Nếu xuất phát

• Từ những nhận xét nêu trên, thuật toán đơn hình cải biên đượcthực hiện như sau:

• ∆j có thể nhận được bằng cách lấy dòng cuối của ma trận B−1

CSAi C∗ X = (xi) B−1 Xk ∆j, j /∈ J

j

∆jHàngm + 1

Bước 6: Gán X1 cho X0 và tiếp qua Bước 1.

Bước 1: Có cơ sở đơn vị A3, A4 từ ma trận A:

Bước 5: Lập bảng X1 bằng việc biến đổi trên cột X và ma trận

B−1 như trong thuật toán đơn hình, tính và ghi lại hàng m+1 ởdạng (C∗B−1 1) Chú ý ∆j được tính bởi việc nhận dòng (m+1)với Aj

Đến bước 2, thuật toán thỏa điều kiện tối ưu, phương án tối ưu là

X∗= (0, 3) Phương án tối ưu là ¯X = (3, 0, 0, 0)

4.2 Phương pháp đơn hình đối ngẫu (xem [4])

Xét bài toán dạng chính tắc với A ∈ Mm×n, b ∈ Rm, x , c ∈ Rn

Ký hiệu K = {1, 2, , n} \ J Một phương án ứng với cơ sở J

có dạng (xJ, xK) trong đó xK = 0 và xJ nhận được bằng việcgiải hệ AJxJ = b

Chú ý rằng với một cơ sở J chọn trước từ ma trận A, hệ phươngtrình AJxJ = b không chắc sẽ có x ≥ 0 Tức là không chắc dẫnđến x ≥ 0 (chấp nhận được).

Ta gọi một cơ sở J của (P) là cơ sở chấp nhận được nếuphương án ứng với cơ sở đó là phương án chấp nhận được

Ta gọi một cơ sở J của (P) là cơ sở tối ưu nếu phương án ứngvới cơ sở đó là phương án tối ưu

Bài toán đối ngẫu

(D) max g (y ) = bTy

Xét cơ sở J của bài toán gốc

Ta gọi phương án cơ sở đối ngẫu ứng với cơ sở J là véc-tơ ythu được bằng cách giải hệ phương trình AT

AT(ATJ)−1cJ) ≤ c (3)

Chú ý rằng, trong bảng đơn hình của bài toán gốc, các cột zkchính là khai triển của cột Ak theo cơ sở J, tức là

AT = zkATJhay

AT(ATJ)−1 = zk

Do (3), J là cơ sở chấp nhận được đối ngẫu nếu

zkcJ ≤ chay

∆j =X

j ∈J

zjkcj − ck ≤ 0

Đây chính là tiêu chuẩn để phương án (xJ, xK) là phương án tối ưu

và do đó J là cơ sở tối ưu

1 Ứng với cơ sở chấp nhận được J của bài toán gốc, phương ánđối ngẫu là y = (ATJ)−1cJ Có thể xảy ra trường hợp phương

án này là không chấp được cho bài toán đối ngẫu

2 Ứng với một cơ sở J của bài toán gốc, có thể bài toán gốc cóphương án không chấp nhận được, nhưng bài toán đối ngẫulại có phương án ứng với cơ sở J chấp nhận được

Mệnh đề 4.1

Nếu có một cơ sở vừa là chấp nhận được của bài toán gốc vừa làchấp nhận được của bài toán đối ngẫu thì nó là cơ sở tối ưu củabài toán gốc

Trong thuật toán đơn hình cho bài toán gốc, chỉ khi đến bảng đơn hình cuối cùng ta mới được một cơ sở chấp nhận được của bài toán đối ngẫu Thuật toán đơn hình đối ngẫu xuất phát từ cơ sở chấp nhận được đối ngẫu nhưng chưa phải là cơ sở chấp nhận được gốc, tiến hành đổi cơ sở cho đến khi nào ta được cơ sở chấp nhận được gốc.

4.2.1 Thuật toán đơn hình với bài toán đối ngẫu

Xét bài toán (P) dạng chính tắc và (D) là bài toán đối ngẫu của(P) cho bởi công thức (1) và (2) Giả sử rằng (P) có nghiệm tối

ưu cơ sở chấp nhận được là (xB, 0) ứng với ma trận cơ sở B.Chúng ta sẽ xác định nghiệm của bài toán đối ngẫu (D) thông qua

cơ sở B

Định lý 4.1

Giả sử bài toán (P) có nghiệm chấp nhận được ứng với cơ sở B lànghiệm tối ưu Khi đó, véc-tơ y với yT = cBTB−1 là nghiệm tối ưucủa bài toán (D), đồng thời giá trị tối ưu của hai bài toán bằngnhau

CM: Giả sử rằng ma trận A có dạng A = [B|D] Khi đó, ta có

BxB = b nên nghiệm tối ưu xB cũng được tính bởi công thức

xB = B−1b

Khi đó, ước lượng ∆ ngoài cơ sở (Các ∆ ứng với cơ sở đều triệttiêu) được tính bởi công thức

∆TD = cBTB−1D − cDT

Vì tại bước này xB là nghiệm tối ưu nên ∆TD ≤ 0 Vì vậy ta có,

cBTB−1D ≤ CDT.Xem yT = cBTB−1 Ta sẽ chỉ ra y chính là nghiệm tối ưu của bàitoán đối ngẫu (D) Thật vậy,

yTA = [yTB, yTD] = [cBT, cBTB−1D] ≤ [cBT, cDT] = cT

Từ đây, y là nghiệm chấp nhận được của bài toán (D) Mặt khác,

yTb = cBTB−1b = cTxB : Giá trị tối ưu của (P)

Vậy y là nghiệm tối ưu của (D)

Chuyển bài toán về dạng chính tắc với 2 biến giả tạo và đưa vàobảng đơn hình ta có:

Áp dụng Định lý 4.1, ta tìm nghiệm của bài toán đối ngẫu nhưsau Ta nhận được bài toán đối ngẫu là:

Dấu hiệu tối ưu

Giả sử B là ma trận tương ứng với tập chỉ số J0 là cơ sở đối ngẫu

1 Với x0 = B−1b (tức là Bx0= b), nếu x0≥ 0 thì x0 là phương

án cực biên tối ưu của bài toán gốc Khi đó ¯y = ¯cTB−1 làphương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

2 Nếu tồn tại i ∈ J0 sao cho xi0 < 0 và xij ≥ 0 với mọi

j = 1, , n thì bài toán gốc có tập phương án là rỗng trong

4.2.2.Thuật toán đơn hình đối ngẫu

Với cặp bài toán (P) và (D), ở đây yTA ≤ cT được hiểu là

yTAj ≤ cj, với j = 1, , n và Aj là cột thứ j của ma trận A

• Cơ sở đối ngẫu

Giả sử có hệ m véc-tơ Aj, j ∈ J0, đltt Ta nói hệ này là cơ sở đốingẫu nếu có phương án cực biên ¯y của (D) thỏa

Khi đó, ¯yTB = ¯cT hay ¯yT = ¯cTB−1

Hiển nhiên ∆j = 0 với j ∈ Jo

Có thể chứng tỏ rằng hệ Aj, j ∈ Jo, là cơ sở đối ngẫu khi vàchỉ khi ∆j ≤ 0, j 6∈ Jo

• Giả phương án cho bài toán gốc

Ta gọi ¯x là một giả phương án của bài toán gốc nếu ứng với cơ sởcác véc-tơ cột có chỉ số thuộc J0, các thành phần của ¯x thỏa cácđiều kiện sau (không cần thỏa điều kiện x ≥ 0):

i ∈J 0xiAi = b nhưng không cần ràng buộc xi ≥ 0

• Xây dựng cơ sở mới

Phương án mới được xây dựng từ phương án cũ như sau: Khi có

i ∈ J0 để xi0< 0 và có xij < 0 thì có thể xây dựng cơ sở đối ngẫumới bằng việc thay đổi véc-tơ vào ra như sau:

• Véc-tơ ra: As với x0

Nếu đạt tại nhiều chỉ số thì chọn chỉ số bé nhất

Thuật toán

Bước 1: Giả sử đã biết cơ sở đối ngẫu (xuất phát) là cơ sở đơn vịtrong Rm Khi đó, xj = Aj (với j = 0, , n) Tính ∆j như trongthuật toán đơn hình của bài toán gốc

Bước 2: Nếu x0 ≥ 0 thì ¯x là phương án tối ưu (của bt gốc) với

¯i = xi0(i ∈ J0) và ¯xj = 0 (j 6∈ J0) Nếu trái lại thì qua bước 3:Bước 3: Xử lý véc-tơ ra: Chọn xs0 = min{xi0 | i ∈ J0}

Với s vừa chọn, nếu xsj ≥ 0 với mọi j = 1, , n thì kết luận tậpnghiệm là rỗng Trái lại thì chọn ∆k

x sk = minn∆j

x sj | xsj < 0o.Lưu ý các bước của véc-tơ vào ra: Khác với thuật toán đơn hìnhtrên bài toán gốc, thuật toán đơn hình đối ngẫu xử lý véc-tơ ra trêndòng có xi0 < 0, từ đó mới xử lý véc-tơ vào trên cột tương ứng

b) Từ một cơ sở không phải là cơ sở tối ưu, hãy giải bài toán bằngthuật toán đơn hình đối ngẫu.

Bài toán đối ngẫu tương ứng là

Max g (y ) = bTy

yTA ≤ cT,hay,

21

, A3=

12

 Ta có 3 hệ véc-tơ{A1, A2}, {A1, A3}, {A2, A3}

a) Tìm cơ sở đối ngẫu:

y1+ 2y2 = 8

⇐⇒ (¯y1, ¯y2) = (4, 2)

Vậy hệ nêu trên có hai cơ sở đối ngẫu là {A1, A3} và {A2, A3}

• Tìm cơ sở tối ưu:

x2+ 2x3= 1 ⇐⇒ x2= 1/3, x3 = 1/3.

Vì các xi với Ai thuộc cơ sở đều không âm nên nghiệm tối ưu củabài toán là (0, 1/3, 1/3), và cơ sở tối ưu là {A2, A3}

Khi đó, nghiệm đối ngẫu được tìm bởi ¯yT = ¯cTB−1 Ta có:

.Với ¯cT = (10 8) Ta được

¯

y = (10 8)

2/3 −1/3

b) Giải bằng phương pháp đơn hình đối ngẫu với phương án

(−1/3, 0, 2/3) Chú ý rằng phương án này nhận được với cơ sở

{A1, A3} Để đưa vào bảng đơn hình, các véc-tơ {A1, A3} phải

được viết lại dưới dạng các véc-tơ đơn vị Ta thực hiện việc biếnđổi trên ma trận A mở rộng như sau:

xi ≥ 0, i = 1, 2, 3.

Với điểm (0, 1) là điểm chấp nhận được của bài toán đối ngẫu,dùng phương pháp đơn hình đối ngẫu để giải bài toán nêu trênBài toán đối ngẫu là

Điểm (0, 1) thỏa ràng buộc với 2 phương trình đầu và thỏa mãnbất đẳng thức với bất phương trình thứ 3 vậy cơ sở J được xét đến

là {1, 2} Biến đổi hệ ràng buộc sao cho A1, A2 là các véc tơ cơ sở

ta được ma trận

1 0 1 2

0 1 1 1Ứng với cơ sở này có nghiệm chấp nhận được (2, 1, 0) (do thỏamãn các ràng buộc gốc và có các thành phần đều không âm) Cơ

sở J = 1, 2 vừa là cơ sở chấp nhận được của bài toán gốc và cũng

là chấp nhận được của bài toán đối ngẫu nên đó là cơ sở tối ưu, vìvậy điểm (2, 1, 0) là phương án tối ưu của bài toán gốc

Ví dụ 4.4

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp đơn hình đối ngẫu:

Min −7x1+ 7x2− 2x2− x4− 6x53x1− x2+ x3− 2x4 = −32x1+ x2+ x4+ x5 = 4

4.3 Phương pháp phân phối giải bài toán vận tải 4.3.1 Giới thiệu về mạng vận tải

Bài toán: Có m kho hàng Kho i có ai lượng hàng hóa,

i = 1, 2, , m Có n nơi tiêu thụ, cửa hàng j có nhu cầu bj lượnghàng hóa, j = 1, 2, , n Cước phí vận chuyển một đơn vi hàng từkho i đến cửa hàng j là cij Một nơi tiêu thụ nhiều loại hàng hóa.Giả sử tổng hàng ở các kho bằng tổng hàng các nơi tiêu thụ Hãylập kế hoạch vận chuyển hàng tiết kiệm chi phí nhất sao cho pháthết ở các kho và các nơi thỏa mãn nhu cầu

Gọi xij là lượng hàng phát từ kho i chở đến nơi tiêu thụ j Bàitoán được đặt ra trong điều kiện cân bằng thu phát

• Bài toán vận tải có dạng của bài toán QHTT

• Mô hình tổng quát của bài toán là trong điều kiện

nX

j =1

bj =

mX

i =1

ai

Tìm phương án làm cực tiểu bài toán vận tải sau đây:

(P) Minz =

mX

i =1

nX

j =1

ĐK

nX

j =1

mX

i =1

xij ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n (8)Nếu ký hiệu:

x = (x11, , x1n, x21, , x2n, , xm1, , xmn) ∈ Rmn,

c = (c11, , c1n, c21, , c2n, , cm1, , cmn) ∈ Rmn,

A0 = (a1, , am, b1, , bn) ∈ Rm+n

Chuyển các véc-tơ nêu trên viết dưới dạng ma trận cột thì bài toán(5)-(8) được viết lại dưới dạng ma trận như sau:

• Mỗi véc-tơ x thỏa điều kiện (6)-(8) gọi là một phương án Ta cóviết x = (xij) dưới dạng ma trận m × n

Đây là bài toán QHTT dạng chính tắc có thể giải bằng thuật toánđơn hình, tuy nhiên có một phương pháp hiệu quả hơn để giải bàitoán này được trình bày sau đây.

• Dữ liệu của bài toán được đưa lên bảng như sau:

• Việc giải bài toán chính là tìm phương án phân phối các giá trị

xij > 0 vào các ô (i , j ) tương ứng trong bảng sao cho thỏa mãncác ràng buộc của bài toán đồng thời tập hợp các giá trị xij > 0được phân phối sẽ làm cực tiểu hàm mục tiêu Đó chính là phương

án tối ưu

• Trong bảng đã cho, các ô có phân phối xij > 0 gọi là ô chọn

Định lý 4.2

Bài toán vận tải luôn luôn có phương án tối ưu

• Gọi Aij là cột ứng với biến xij (của ma trận của các ràng buộc).Các cột này luôn có hai thành phần bằng 1 tại dòng thứ i và dòngthứ m + j với i = 1, m và j = 1, n

Định lý 4.3

Hạng của hệ các phương trình ràng buộc là m + n − 1

4.3.2 Dây chuyền và chu trình

Định nghĩa 4.1 (Dây chuyền)

Một dãy các ô xếp theo thứ tự nào đó sao cho 2 ô kề nhau bất kỳphải nằm trên cùng một dòng hoặc một cột và 3 ô kề nhau bất kỳkhông nằm trên cùng một dòng hoặc một cột gọi là một dâychuyền Dây chuyền có dạng:

Hình : Một dây chuyền về các ô trên mạng vận tải

Hình : Một chu trình về các ô trên mạng vận tải

TS Tạ Quang Sơn, Khoa Toán-Ứng dụng, ĐHSG TỐI ƯU HÓA

4.3.4 Tiêu chuẩn tối ưu

Định lý 4.6

Nếu thay bảng cước phí C = (cij) bằng bảng cước phí mới sao chomỗi ô trên dòng được cọng thêm cùng một số và mỗi ô trên cộtđược cộng cùng một số thì bài toán mới có cùng phương án tối ưuvới bài toán ban đầu

Định lý 4.7

Ký hiệu ∆ij = ri+ sj + cij Nếu tại phương án cực biên X0 tồn tạicác số ri, sj sao cho ∆ij = 0 tại các ô chọn và ∆ij ≥ 0 với mọi ôcòn lại thì X0 là PATU

Định lý 4.8

Nếu tại phương án cực biên X0 sau khi qui không các ô chọn màtồn tại ô (i , j ) sao cho ∆ij < 0 thì sẽ xây dựng được phương áncực biên tốt hơn phương án X0

án cũ Kiểm tra sự tối ưu.

3.6.3 Phương pháp cước phí bé nhất theo dòng (cột)

Ưu tiên phân phối tối đa cho ô có cước phí bé nhất trên dòng(cột) đầu tiên của bảng Trong trường hợp có nhiều ô có cước phí

bé nhất thì dùng qui tắc chọn ô theo từ vựng

3.6.4 Phương pháp Foghel

Chú ý: Phương án thu được có đúng (m+n-1) ô chọn là phương

án cực biên

a) Tìm phương án cực biên theo PP góc Tây-Bắc,

b) Tìm phương án cực biên theo phương pháp cước phí bé nhất.c) Tìm phương án tối ưu nếu có

Ví dụ 2: Tìm phương án cực biên của bài toán vận tải với số liệusau đây: