CHUYÊN đề tìm NGHIỆM NGUYÊN mũ LOGARIT

Nhưng việc giải nó phải mất rất nhiều công tính toán phải dùng đến máy tính cầm tay vì các biểu thức cồng kềnh.. 0 Phương trình này luôn có hai nghiệm trái dấu nên tìm được... Vì

Sưu tầm và biên soạn

Phạm Minh Tuấn

ĐỀ CHÍNH THỨC

CHUYÊN ĐỀ TÌM NGHIỆM NGUYÊN

MŨ LOGARIT

Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm cĩ 10 trang, 50 câu

BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Câu 1: Cĩ bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x cĩ khơng quá 10 số nguyên y thỏa mãn:

2 7 26 1

20

Câu 25: Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi giá trị của y , bất phương trình

(log2x x+ −1)(y−log2x) có nghiệm x và có không quá 20 nghiệm x nguyên? 0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 33: Cĩ bao nhiêu số nguyên a (0; 2022) sao cho ứng với mỗi a , tồn tại ít nhất mười số nguyên

4yx +log yx −2 log x+ 1 2 x +log x Cĩ

bao nhiêu giá trị nguyên của y để tập hợp S cĩ nhiều nhất 64 phần tử?

A 2045 B 2046 C 2047 D 2048

Câu 37: Cĩ nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương y thuộc đoạn 1; 2022  để tồn tại nhiều nhất 128

số nguyên dương x thỏa mãn 3

Câu 39: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −2022 ; 2022 để tồn tại các số thực

dương , , ,a b x y với , a b  thỏa mãn 1 x my ( )x 4y

A 2024 B 1024 C 2022 D 2020

Câu 40: Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y  − 2022 ; 2022 để với mỗi y nguyên cĩ khơng quá

400 giá trị x nguyên dương thỏa mãn ( )2022 ( ) 1 2

2023

log x+2y x− −x +2x−2xy+2y ? 1

A 1210 B 1212 C 1211 D 1214

 = − + là một nghiệm của bất phương trình f y  ( ) 0

Suy ra, để có không quá 10 số nguyên y thỏa mãn f y  ( ) 0

( )

11 2 11 2

2

11

log 11 2 2

log 11 2 2

log 2 2

3

3 49

Nhận xét: Với mỗi giá trị u tương ứng với 1 cặp ( )x y thỏa mãn bài toán, do đó: ;

Yêu cầu bài toán

( )

49 27

1

8 4 log 33

 Suy ra hàm số f t đồng biến trên khoảng ( ) (0; + )

Phương trình ( )* * tương đương với ( 3 ) (3 3 ) 3 3 3 1 4

− + =

Xét 12 4 0

m

 = −  với mọi m thỏa mãn (*) Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với mỗi giá trị của x y+ ta có 2 cặp ( )x y Suy ra 10 cặp số ; ( )x y thỏa mãn ;

x x

bunhiacopxki t

Từ đó phương trình ( )1 có nghiệm  phương trình ( )3 có nghiệm 5 1

Suy ra f x nghịch biến trên ( ) ( )1; 5 hay f x( ) ( ) f 1 = −y y( + −e 5)0, x ( )1; 5

Do đó, phương tình f x = vô nghiệm ( ) 0

Đây là dạng toán đã được đề cập tới trong đề thi Tốt nghiệp THPT năm 2021 đợt 1 Ý tưởng vẫn là

hướng đến khảo sát hàm số f x trên ( ) ( )1; 5 Nhưng việc giải nó phải mất rất nhiều công tính toán (phải dùng đến máy tính cầm tay) vì các biểu thức cồng kềnh Một điểm không hay nữa trong bài này chính là

việc ta có thể biến đổi giả thiết về phương trình bậc hai ẩn y là xy2+y e( x−2x2−3)−4(x−1)e x = 0

Phương trình này luôn có hai nghiệm trái dấu nên tìm được

Điều kiện phương trình:x  2

Giả sử có số nguyên a sao cho tồn tại số thực thỏa mãn:

Khảo sát hàm số đơn điệu và theo tính chất hàm đặt trưng ta suy ra x u x= = 2loga+ 2

Xét phương trình x t− + = , với x 2 0 t=2loga (1)

TH1: t 1 x t− +   x 2 0, t 1,x2Phương trình vô nghiệm

TH2: t( )0;1  0 2 loga   1 2 a 103,16

Kết luận: có 2 giá trị nguyên của a  thỏa mãn yêu cầu bài toán 2

Câu 18: Chọn D

1 2

VN x

18

18

1 2021

y y

y y

Vì với mỗi giá trị của y và a tìm được ta luôn tìm được x theo công thức ( )*

Nên các giá trị của y để phương trình đã cho có nghiệm thực x  các giá trị của y để phương trình

− nên các giá trị nguyên của y thỏa mãn thuộc tập 0;1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8 

Vậy có 9 giá trị nguyên của y thỏa mãn bài toán

2 2 2 2

1log

2log

y   Mà y nguyên dương nên y 1; 2,3,4

Vậy có đúng 4 số nguyên dương y thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có f t( )= −5 ln 5 3 0,−t −    nên hàm số t 9 y= f t( ) nghịch biến

Từ giả thiết: f(log3y) ( ) f 3x log3y3x  0 y 27x (*)

Bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x  khi 3 0 y 273 =19683

Mà y nguyên nên y nhận giá trị 1− hoặc 0 hoặc 1

Với mỗi giá trị y = − hoặc 1 y = hoặc 0 y = luôn có giá trị x thỏa mãn 1

Vậy có 3 giá trị của y thỏa mãn

Ta có f t( )=3 ln 3 2 0t +    , suy ra t f t đồng biến trên ( )

Từ ( )1 ta có: f(log3(x+2) )= f( )2y , suy ra log3(x+2)=2y

Vì 0 x m  nên log 2 log3  3(x+2)log3(m+2) log 2 23  ylog3(m+2)

+) TH1: x+ 1 5y+ thì vế phải âm (không thỏa mãn) 1

+) TH2: x+ 1 5y+ thì vế phải không dương, vế phải không âm nên sẽ luôn thõa mãn khi 1

5

x

x y x y y

2 ,5