tom-tat-pham-thi-thanh-nga

NGA luan van TOM TAT doc BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ THANH NGA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G METRIC Chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Mã số 60 46 0113 TÓM TẮT LUẬN VĂ[.]

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM THỊ THANH NGA

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 06 năm 2014

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric đóng vai trò quan trọng trong toán học và khoa học ứng dụng Trong hai thập kỷ qua, sự phát triển của lý thuyết điểm bất động trong không gian metric đã thu hút sự chú ý đáng kể do nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, bất đẳng thức tuyến tính Năm 2006, Mustafa và Sims đã đưa ra khái niệm không gian metric suy rộng, gọi là không gian G-metric (xem [4]) Sau đó, Mustafa và các cộng sự đã đưa ra nhiều định lý điểm bất động trên không gian G-metric và các không gian suy rộng của không gian G-metric (xem [4], [5]) Từ đó đến nay, bài toán điểm bất động trên không gian G-metric đã thu hút rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu

Với các lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên

cứu: “Định lý điểm bất động trong không gian G- metric” Chúng tôi

mong muốn tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết điểm bất động cũng như mong muốn đưa ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian metric

G-3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết điểm bất động

3.2 Phạm vi nghiên cứu là các định lý điểm bất động trong không gian G-metric

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức

4.2 Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất động trong không gian G- metric” 4.3 Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài 4.4 Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn

5 Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu tham khảo dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu về điểm bất

động trong không gian G-metric

6 Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba chương

Chương 1 Giới thiệu các kiến thức cơ bản liên quan đến

không gian metric

Chương 2 Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái

niệm và tính chất về không gian G-metric

Chương 3 Trình bày và chứng minh chi tiết một số định lý

điểm bất động trong không gian G-metric

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian metric nhằm làm tiền đề cũng như phục vụ cho việc chứng minh Chương 2 và Chương 3 của luận văn

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN METRIC

1.1.4 Định nghĩa Giả sử X là tập hợp khác rỗng Khi đó, cận

trên bé nhất của X được gọi là supermum của tập X Ký hiệu là sup X

1.1.5 Định nghĩa Giả sử X là tập hợp khác rỗng Khi đó, cận

dưới lớn nhất của X được gọi là infimum của tập X Ký hiệu là inf X

1.1.6 Định nghĩa Giả sử (X d là một không gian metric, , )

Î

x X và Ì A X Ta đặt

( , )=inf{ ( , ) : Î }

d x A d x y y A

Khi đó, d x A được gọi là khoảng cách từ x đến A ( , )

1.1.9 Định nghĩa Giả sử { }x là một dãy trong không gian n

metric X và x0ÎX Khi đó, dãy { }x được gọi là hội tụ đến n x nếu 0

1.1.10 Nhận xét (1) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

(2) Nếu x n®x thì mọi dãy con của 0 { }x cùng hội tụ về n x 0.(3) Nếu x n®x và 0 y n®y thì 0 d x y( , )n n ®d x y( , ).0 0

(2) Tập hợp

[ 0, ]={ Î | ( , )0 £ }

B x r x X d x x r được gọi là hình cầu đóng tâm x bán kính 0, r

Ngoài ra, ta ký hiệu

1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian metric và Ì A X

Khi đó, A được gọi là tập hợp mở nếu A là lân cận của mỗi điểm

thuộc A

1.2.2 Định nghĩa Giả sử X là không gian metric và Ì A X

Khi đó, A được gọi là tập hợp đóng nếu X A là tập hợp mở \

1.2.3 Định lý Giả sử (X d là không gian metric Khi đó, , )

(1) Hợp của một họ tùy ý những tập hợp mở là tập hợp mở (2) Giao của một họ hữu hạn những tập hợp mở là tập hợp mở

(3) Giao của một họ tùy ý những tập hợp đóng là tập hợp đóng (4) Hợp của một họ hữu hạn những tập hợp đóng là tập hợp đóng

1.2.4 Định nghĩa Giả sử (X d là không gian metric và A là , )

tập con của X Khi đó, tập mở lớn nhất nằm trong A được gọi là phần trong của tập A Ký hiệu là int( )A

1.2.5 Định lý Giả sử (X d là không gian metric, Ì, ) A X và

Ì

B X Khi đó,

(1) Nếu AÌ ,B thì int( )A Ìint( )B

(2) int intéë ( )A ù =û int( )A

(3) int(A BÇ )=int( )A Çint( )B

(4) int( )A Èint( )B Ìint(A B È )

1.2.6 Định nghĩa Giả sử (X d là không gian metric và A là , )

tập con của X Khi đó, tập đóng nhỏ nhất chứa A được gọi là bao đóng của tập A Ký hiệu là A

1.2.7 Định lý Giả sử (X d là không gian metric, Ì, ) A X và

1.2.8 Định lý Giả sử X là không gian metric, FÌ X Khi đó,

F là tập hợp đóng trong X khi và chỉ khi với mọi dãy

{ }x n F x, n x ta đều có Î x F

1.3 KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC 1.3.1 Định nghĩa Giả sử (X d là không gian metric Khi đó, , )

dãy { }x n ÌX được gọi là dãy Côsi (hay dãy cơ bản) nếu

1.3.3 Định nghĩa Giả sử (X d là không gian metric Khi đó, , )

X được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Côsi trong X

đều hội tụ

1.3.4 Định nghĩa Giả sử (X d là một không gian metric, Y , )

là một tập con khác rỗng của X và r:Y Y´ ®¡ là một ánh xạ được xác định bởi

( ) ( )

r x y, =d x y với mọi , x y Y , Î Khi đó, r là một metric trên Y và không gian metric (Y,r) được

gọi là không gian con của (X d , )

1.3.5 Định lý Giả sử (X d là không gian metric và Y là , )

một không gian con của X Khi đó,

(1) Nếu Y là không gian con đầy đủ, thì Y là tập con đóng trong X

(2) Giả sử X là không gian đầy đủ và Y là tập hợp đóng trong

X Khi đó, Y là không gian con đầy đủ

1.3.6 Định lý Giả sử (X d là không gian metric đầy đủ Khi , )

đó, mọi dãy gồm các hình cầu đóng, lồng và thắt đều có chung một

điểm duy nhất

1.3.7 Định nghĩa Giả sử (X d và , ) (Y,r) là hai không gian metric Ta nói rằng ánh xạ f X: ®Y liên tục tại x0ÎX nếu với mọi

e > 0 tồn tại d > 0 sao cho với mọi Î x X mà d x x( , 0)<d , ta đều

(2) f-1( )G là mở trong X với mọi tập G mở trong Y

(3) f-1( )F là đóng trong X với mọi tập F đóng trong Y

1.4 KHÔNG GIAN COMPACT

1.4.1 Định nghĩa Giả sử (X d là không gian metric và , )

Ì

K X Khi đó, tập con K được gọi là tập compact nếu mọi dãy

{ }x n ÌK đều có một dãy con hội tụ tới một phần tử của K

1.4.2 Định nghĩa Giả sử (X d là không gian metric và , )

Ì

K X Khi đó, tập K được gọi là compact tương đối nếu bao đóng

K là tập compact

1.4.3 Mệnh đề Mỗi tập con đóng của tập compact trong

không gian metric là tập compact

1.4.4 Định nghĩa Giả sử (X d là không gian metric và , )

Ì

A X Khi đó, A được gọi là tập hợp bị chặn nếu nó là một tập

hợp con của một hình cầu nào đó

1.4.5 Định nghĩa Giả sử (X d là không gian metric Khi đó, , )

X được gọi là không gian compact nếu bản thân nó là tập compact

1.4.6 Định lý Giả sử (X d là không gian metric và Ì, ) A X

f X X là một ánh xạ Khi đó, f được gọi là ánh xạ co nếu tồn

tại hằng số a Î[0,1) sao cho

( ( ), ( ))£a ( , )

d f x f y d x y với mọi x y X , Î

1.4.9 Nhận xét Mọi ánh xạ co đều là ánh xạ liên tục

1.4.10 Định lý Giả sử (X d là một không gian metric đầy , )

đủ và f X: ®X là một ánh xạ co Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động

CHƯƠNG 2

KHÔNG GIAN G-METRIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính

chất của không gian G-metric

2.1 KHÔNG GIAN G-METRIC

5

( )G G x y z( , , )£G x a a( , , )+G a y z với mọi ( , , ) x y z a X , , , Î(bất đẳng thức hình chữ nhật)

Tập hợp X cùng với một G-metric G xác định trên nó được gọi là không gian G-metric

2.1.2 Bổ đề ([4]) Giả sử (X G là không gian G-metric Khi , )

đó, với mọi x y z X các khẳng định sau đây là đúng , , Î ,

(1) G x y z( , , )£G x x y( , , )+G x x z ( , , )

(2) G x y y( , , ) 2 ( , , ).£ G y x x

2.1.3 Định nghĩa ([4]) Không gian G-metric (X G được gọi , )

là không gian G-metric đối xứng nếu

( , , )

G x y y = ( , , ) G y x x với mọi x y X , Î

2.1.4 Mệnh đề ([5]) Giả sử (X G là không gian G-metric , )

Đặt

= +( , ) ( , , ) ( , , )

=( , ) 2 ( , , )

2.2 TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN G-METRIC

2.2.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử ( , ), ( ,X G X G là các không * *)

gian G-metric và f: ( , )X G ®( ,X G là một ánh xạ Khi đó, * *)(1) f được gọi là G-liên tục tại điểm Î a X nếu với mọi

e > 0 tồn tại d > 0 sao cho

[ ( ), ( ), ( )]<e

G f a f x f y với mọi x y X mà , Î G a x y( , , )<d.(2) f được gọi là G-liên tục trên X nếu f là G-liên tục tại

mọi điểm a X Î

2.2.2 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X G là không gian G-metric , )

và { }x là một dãy các điểm trong n X Ta nói dãy { } x là G-hội tụ n

Lúc đó, điểm x được gọi là điểm giới hạn của dãy { } x n Ta viết

Chứng minh (1) Þ (2) Hiển nhiên

(2) Þ (3) Giả sử G x x x( , , )n n ®0 Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2 (2), ta có

0 G x x x( , , ) 2 ( , , ).n G x x x n n

Suy ra

®( , , )n 0

Do vậy, { }x là dãy G-hội tụ tới n x □

2.2.4 Định lý ([4]) Giả sử ( , ), ( ,X G X G là các không gian * *)

G-metric Khi đó, ánh xạ f: ( , )X G ®( ,X G là G-liên tục tại điểm * *)

Î

0

x X nếu và chỉ nếu nó là G-liên tục theo dãy tại x nghĩa là với 0,

bất kỳ dãy { } x là G-hội tụ tới n x trong 0 (X G ta đều có { ( )}, ) f x n là

dãy G-hội tụ tới f x trong ( )0 ( ,X G* *)

2.2.5 Định lý ([4]) Giả sử (X G là không gian G-metric, , )

(1) Dãy { }x n ÌX được gọi là G-Côsi trong (X G nếu với , )

mọi e > 0, tồn tại Î n0 ¥ sao cho

e

<

( , , )m n l

G x x x với mọi n m l n , , ³ 0,nghĩa là G x x x( , , )m n l ®0 khi n m l, , ® ¥

(2) Không gian G-metric (X G được gọi là không gian G-, )

metric đầy đủ nếu mỗi dãy G-Côsi trong (X G là G-hội tụ trong , )

(X G , )

2.2.7 Mệnh đề ([7]) Giả sử (X G là không gian G-metric , )

Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

(1) Dãy { } x là G-Côsi trong n (X G , )

(2) Với mọi e > 0 tồn tại Î n0 ¥ sao cho

<

( ,n m, m)

G x x x với mọi n m n , ³ 0

Chứng minh (1) Þ (2) Giả sử dãy { }x là G-Côsi trong n (X G , )

Khi đó, theo Định nghĩa 2.2.6, ta suy ra với mọi e > 0, tồn tại

e > 0, tồn tại Î n0 ¥ sao cho

( n, m, m)<e

G x x x với mọi m n n , ³ 0.Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.2 (1) ta có

Do vậy, { }x là dãy G-Côsi trong n (X G □ , )

2.2.8 Định nghĩa ([3]) Giả sử T là một ánh xạ trong không

gian metric X và A là một tập con khác rỗng của X

Ký hiệu

O x x Tx T x với mọi x X Î

Khi đó, X được gọi là đầy đủ T-quỹ đạo nếu mọi dãy Côsi

Ì ¥

{ }x n O x( , ) đều hội tụ trong (X d , )

2.2.9 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X d là không gian metric , )

Ánh xạ

®:

T X X được gọi là tự ánh xạ nếu tồn tại hằng số kÎ[0,1) sao cho

( , )£ max{ ( ) (, ; , ) (; , ) (; , ) (; , ) }

d Tx Ty k d x y d x Tx d y Ty d x Ty d y Tx

với mọi x y X , Î

2.2.10 Định lý ([3]) Giả sử T là một tự ánh xạ trong không

gian metric (X d và n là một số nguyên dương bất kỳ Khi đó, với , )

mọi x X và Î i j, Î{1,2,K, },n ta có

( )

£ ë û( i , j ) ,

d x T x O x n

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG

GIAN G-METRIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết

một số định lý điểm bất động trong không gian G-metric trong các

tài liệu [2], [3], [7]

3.1 MỘT MỞ RỘNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH

Mục này dành cho việc trình bày và chứng minh chi tiết định

lý điểm bất động đối với tự ánh xạ trong không gian metric đầy đủ quỹ đạo

T-3.1.1 Định lý ([3]) Nếu T là một tự ánh xạ trong không gian metric (X d thì , ), d éë ( ¥ £)ùû

-1, ( , )1

k với mọi x X Î

3.1.2 Định lý ([3]) Cho T là một tự ánh xạ trong không gian

metric đầy đủ T-quỹ đạo (X d Khi đó, , )

3.2.2 Bổ đề ([7]) Giả sử f là một F -ánh xạ Khi đó,

(1) f( )t <t với mọi Î t (0,+¥);

(2) f(0) 0.=

Chứng minh (1) Giả sử ngược lại rằng khẳng định (1) không đúng

Khi đó, tồn tại tÎ(0,+¥) sao cho f( )t ³t Mặt khác, vì f là một

hàm không giảm nên

Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của f

(2) Giả sử ngược lại rằng khẳng định (2) không đúng Khi đó,

f(0) 0 Mặt khác, vì > f là một hàm không giảm nên

3.2.3 Định lý ([7]) Giả sử T X: ®X là một ánh xạ trong không gian G-metric đầy đủ (X G và f là một F -ánh xạ thỏa , )

mãn

( ( ), ( ), ( )) (£f ( , , ))

G T x T y T z G x y z với mọi x y z X (3.2) , , Î

Khi đó,

(1) T có duy nhất một điểm bất động u X Î ;

(2) T là G-liên tục tại u

Chứng minh (1) Giả sử x0ÎX ta đặt ,

( - )

= 1

x T x với mọi nÎ¥

Khi đó, ta có thể giả thiết rằng x n¹x n-1 với mọi nÎ¥ Bây giờ, ta chứng minh { }x là dãy G-Côsi trong n X Thật vậy, với mọi Î n ¥,

ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f + + -

-= £ £ £ M 1 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 , , ( ), ( ), ( ) , ,

, ,

, ,

n

G x x x

G x x x

(3.3)

Giả sử e > 0 Khi đó, nhờ Bổ đề 3.2.2 ta suy ra

f

lim n , , 0

n G x x x và f e( )< e

Bởi thế, tồn tại n0Î¥ sao cho

f n(G x x x( 0, ,1 1) )< -e f e( ) với mọi n n (3.4) ³ 0

Do đó,

G x x( n, n+1, x n+1)< -e f e( ) với mọi n n (3.5) ³ 0

Bây giờ, ta chứng minh khẳng định sau bằng quy nạp theo m

G x x x( n, m, m)<e với mọi m n n (3.6) ³ ³ 0.(1.1) Giả sử m n= +1 Khi đó, từ (3.5) ta có

(3.7)

Từ (3.6) ta suy ra { }x là dãy G-Côsi trong n X Do vậy, tồn tại Î u X

sao cho { }x là G-hội tụ tới n u Với mọi Î n ¥, theo tiên đề (G4), (G5) của Định nghĩa 2.1.1, sử dụng (3.2) và Bổ đề 3.2.2 ta suy ra

Do đó, từ (3.8) ta thu được G u u T u( , , ( ))=0, kéo theo T u( )=u .

Như vậy, u là điểm bất động của T

Cuối cùng, ta chứng minh rằng u là điểm bất động duy nhất

của T Thật vậy, giả sử v cũng là điểm bất động của T với ¹ v u

Khi đó, theo (3.2) và Bổ đề 3.2.2 ta suy ra

Mặt khác, vì { }y là G-hội tụ tới u nên theo Mệnh đề 2.2.3 và tiên đề n

(G4) của Định nghĩa 2.1.1 ta suy ra G u u y( , , n)®0 Do đó, từ (3.10)

ta thu được

lim ( , , ( )) 0.n

n G u u T y

Hơn nữa, lại theo Mệnh đề 2.2.3 và tiên đề (G4) của Định nghĩa 2.1.1

ta suy ra { ( )}T y n là dãy G-hội tụ tới u T u Do vậy, áp dụng Định = ( )

lý 2.2.4, T là G-liên tục tại u □