DE KIEM TRA TU LUAN TOÁN CAO CẤP 2

Toán cao cấp 2 bài kiểm tra tự luận BF10 1 ĐỀ 01 Câu 1 a, Tính giới hạn b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau Bài giải a, Theo quy tắc L’hospital ta có b, Ta có Tập xác định của hàm số Với thì Đây là hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng và Với , ta có Để hàm số liên tục tại khi và chỉ khi Kết luận với thì hàm số liên tục trên Câu 2 a, Tính đạo hàm của hàm số sau b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức Bài giải a, Ta có b, Ta có Đổi độ về.

ĐỀ 01 Câu 1:

a, Tính giới hạn

lim arctan

2

  



b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

 

2

x

khi x

 





 

Bài giải

a, Theo quy tắc L’hospital ta có:

lim arctan

2

  



2 2

2 2

1 arctan

1 2

x

x













2

2 2

2

1

1

x

x x

x





b, Ta có:

Tập xác định của hàm số: D 

Với x 2 thì  

2

x

f x

x





 Đây là hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là: D \ 2 

Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng  ;2 và 2; 

Với x 2, ta có

 f  2 a

2

4

x



Để hàm số liên tục tại x 2 khi và chỉ khi    

2

Kết luận: với a 4 thì hàm số liên tục trên 

Câu 2:

a, Tính đạo hàm của hàm số sau: yln 3 x22 arctan 2 x22x1

b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức: A cos 61  3 26,8

Bài giải

a, Ta có:

       

2 2

4 2 ln 3 2

.arctan 2 2 1

x

b, Ta có:

Đổi độ về radian:

61 cos 61 cos

180



 

Ta xét các hàm

  cos

f x  x Khi đó ta có f x  sinx

Tại 0

60

180

:

f   

x

f   

Ta có: f x  f x  0  x x 0.f x x0

Suy ra

f f       f  

Tương tự: g x  3 x, 3 2

1 3

x

g

x

 

Tại x  : 0 27 g27  ; 3  

1 27 27

x

Ta có: g x  g x  0  x x g 0 x x0

Suy ra g26,8 g27  26,8 27   g  x 27

5 27 135 135

Từ (1) và (2) suy ra A cos 61  3 26,8

2,51

2 360 135



Câu 3: Tính

a, 2

3 1

d

x

x



3 2 3

sin d cos

x x









Bài giải

a, 2

3 1

d

2 5

x

x I





 ; Đặt x22x  5 t dt2x2 d x

Khi đó

2



2

x

2

x

b,

3

2

3

sin

d

cos

x I

x











Đặt 2

x



3 3

3

x









 

2

x

3

x x











Từ (1) và (2) suy ra 4 4 1ln 97 56 3  1,555

Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

2 sin

2 1 cos





 với 0 t 2

Bài giải

Ta có:

 

 

2 2cos

2sin

  





Suy ra x2 t y2 t  2 2 cos t22sint2  4 8cos t4

t

(Vì t0;2 thì sin2 0

t

 )

Ta cần tính:

2 0

d



2 0

2 1 cos 4sin d

2

t



 

 



2 2 0

2

t t





 

 



Vậy diện tích cần tìm là: 16 (đvdt)

Câu 5: Tìm cực trị của hàm hai biến sau: z x 33xy2 30x18y

Bài giải

Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến x và y

 

 

x

y







Từ (2):

3

y

x



thế vào (1) ta được:

2

3

x x

x x





 

      



Với x 1 y và 3 x 3 y1

Các điểm 1;3 , 1; 3 , 3;1 , 3; 1         các điểm cực trị cần xét

Đặt xx  x 6

x

A z  z   x

; xy  x 6

y

B z  z    y

, yy  y 6

y

C z  z    x

Xét các điểm

+tại 1;3

: A6,B18,C6

Suy ra

 

1;3 0

A







+tại 1; 3 :A6,B18,C6

Suy ra

1; 3 0

A

  





+tại 3;1

:A18,B6,C18

Suy ra

 

3;1 0

A







 là điểm cực tiểu Suy ra z CT z3;1 72 +tại 3; 1 :A18,B6,C18

Suy ra

3; 1 0

A

  





 là điểm cực đại Suy ra z CĐ z3; 1 72

ĐỀ 02 Câu 1:

a, Tính giới hạn lim sin 2 cot 



b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

 

3

x

khi x

 





 

Bài giải

a, Ta có: lim sin 2 cot 





cos lim 2sin cos lim 2 cos 2 cos 2

sin

x

x

b, Ta có

Tập xác định của hàm số: D 

Với x 3 thì  

3

x

f x

x





 Đây là hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là: D \ 3  .

Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng  ;3 và 3;

Với x 3, ta có

 f 3 b

2

9

x



Để hàm số liên tục tại x 3 khi và chỉ khi lim3    3 6

Kết luận: với b 6 thì hàm số liên tục trên 

Câu 2:

a, Tính đạo hàm của hàm số sau: ylnx22 arcsin x23x2

b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức: B cos 61  3 27,1

Bài giải

a, Ta có y lnx2 2 arcsin x23x2

2 2

2

x

b, Ta có

Đổi độ về radian:

61 cos 61 cos

180



 

Ta xét các hàm

Khi đó ta có f x  sinx

Tại 0

60

180

:

f   

x

f   

Ta có: f x  f x  0  x x 0.f x x0

Suy ra

    

Tương tự: g x  3 x

1 3

x

g

x

 

Tại x  : 0 27 g27  ; 3  

1 27 27

x

Ta có: g x  g x  0  x x g 0 x x0

Suy ra g27,1 g27  27,1 27   g  x 27

10 27 270 270

Từ (1) và (2) suy ra A cos 61  3 27,1

2,5188

2 360 270



Câu 3: Tính

a, 2

4 3

d

2 12

x

x



2 0

1 d

2 cosx x







Lời giải

a, 2

d

2 12

x

x I





Khi đó

2

1

2ln x 2x 12 J C

1 d

2 12



1

d

x x





Đặt x 1 11 tant 2

11

cos

t

2

2

2

11 tan 1

t

t



Suy ra

1 arctan

11

x

  , vì x 1 11 tant Suy ra 2

arctan

x

Vậy

x

b,

2

0

1

d

2 cos

x









Ta thừa nhận công thức đã chứng minh:

2

0

d cos x









Đồng nhất thức 2 vế ta được: a2,b 1

Do đó,

2

0

1 d

2 cos

x







3 3

2 1

Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

12cos 5sin 5cos 12sin





 với 0 t 2

Lời giải

Ta có:

12cos 5sin

5cos 12sin







2

2

12cos 5sin 144cos 120sin cos 25sin 5cos 12sin 25cos 120sin cos 144sin



 

Suy ra x2y2 169 cos 2tsin2t 169

Ta cần tính

   

2

0

d



   

ds x' t y t 13dt

Vậy

2

0

169d 169.2 338



, (đvdt)

Câu 5: Tìm cực trị của hàm hai biến sau: z x 33xy2 30x18y

Bài giải

Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến x và y

 

 

x

y







Từ (2):

3

y

x



thế vào (1) ta được:

2

3

x x

x x





 

      



Với x 1 y và 3 x 3 y1

Các điểm 1;3 , 1; 3 , 3;1 , 3; 1         các điểm cực trị cần xét

Đặt xx  x 6

x

A z  z   x

; xy  x 6

y

B z  z    y

, yy  y 6

y

C z  z    x

Xét các điểm

+tại 1;3: A6,B18,C6

Suy ra

 

1;3 0

A







+tại 1; 3 :A6,B18,C6

Suy ra

1; 3 0

A

  





+tại 3;1:A18,B6,C18

Suy ra

 

3;1 0

A







 là điểm cực tiểu Suy ra z CT z3;1 72 +tại 3; 1 :A18,B6,C18

Suy ra

3; 1 0

A

  





 là điểm cực đại Suy ra z CĐ z3; 1 72

ĐỀ 03 Câu 1:

a, Tính giới hạn lim cot 20

b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

 

2

1

1

x

khi x

 





 

Bài giải

a, lim cot 20

(Vì ta đã biết, 0

sin

x

x x

) Do đó, 0

1 lim cot 2

2

b, Ta có

Tập xác định của hàm số: D 

Với x 1 thì  

1

x

f x

x





 Đây là hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là: D \ 1 

Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng  ;1 và 1; .

Với x 1, ta có

 f  1 c

2

1

x



Để hàm số liên tục tại x 1 khi và chỉ khi lim1    1 2

Kết luận: với c 2 thì hàm số liên tục trên 

Câu 2:

a, Tính đạo hàm của hàm số sau: yln 4 x21 arcsin 3 x23x1

b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức: C tan 31 3 26,9

Bài giải

a, Ta có y ln 4 x21 arcsin 3 x23x1

2 2

8

arcsin 3 3 1

x

b, Ta có

Đổi độ về radian:

31 tan 31 tan

180



 

Ta xét các hàm

  tan

f x  x Khi đó ta có 2

1 cos

x

f

x

 

Tại 0

30

180

:

f   

x

f   

Ta có: f x  f x  0  x x 0.f x x0

Suy ra

f  f          f  

Tương tự: g x  3 x

1 3

x

g

x

 

Tại x  : 0 27 g27  ; 3  

1 27 27

x

Ta có: g x  g x  0  x x g 0 x x0

Suy ra g26,9 g27  26,9 27   g  x 27

10 27 270 270

Từ (1) và (2) suy ra A tan 31 3 26,9

3,5387

3 360 270



Câu 3: Tính

a, 2

3 3

d

4 12

x

x



2

2 0

.arctan

d 1

x x







Bài giải

a, 2

3 3

d

4 12

x

x



Khi đó

3

 



2

1

3

1

4 12



1

x





Đặt x 2 8 tant 2

8

cos

t

2

2

2

8 tan 1

t

t



Suy ra

2 arctan

8

x

arctan

x

Vậy

x

b,

2

2

0

.arctan

d 1

x x







I



Đặt

2 2 2

1 arctan

1

1 1

x x

x









Khi đó,

2

2 0

x

x



Với

x



1

cos

t

2 2

1 tan

d 1 tan d cos arctan d arctan 2,537

1 tan

t

t





, (Với tarctanx) Vậy I 8,9896 2,537 6, 452 

Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

cos sin









 với 0 t 2

Lời giải

Ta có:

cos

sin

x

t

t b





   



 2  2

1

Ta có: sin

dx

dt   dxasin dt t

Do đó,

0 2

2



0 2

2ab 1 cos 2 dt t



0 sin 2 2

2 2

t

, (đvdt)

Câu 5: Tìm cực trị của hàm hai biến sau:

50 20

z xy

, biết x0,y 0

Bài giải

Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến x và y

 

 

2

2

50

20

x

y

x

y

    









Từ (2): 2

20

x

y



thế vào (1) ta được:

2

y





Với y 2 x5,x5( )L ,

Các điểm 5; 2

các điểm cực trị cần xét

50

xx x

x

x



 

; xy  x 1

y

B z  z  

20

yy y

y

y



 

Xét điểm 5;2

:

, 1,

Suy ra

 

5;2 0

A







 là điểm cực tiểu Suy ra z CT z5; 2 30

ĐỀ 04 Câu 1:

a, Tính giới hạn

lim arctan

2

  



b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

 

5

x

khi x

 





 

Bài giải

a, Theo quy tắc L’hospital ta có:

lim arctan

2

  



2 2

2 2

1 arctan

1 2

x

x













2

2 2

2

1

1

x

x x

x





b, Ta có:

Tập xác định của hàm số: D 

Với x 5 thì  

2 25 5

x

f x

x





Đây là hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là: D \ 5 

Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng  ;5 và 5;

Với x 5, ta có

 f  5 a

2

25

x



Để hàm số liên tục tại x 5 khi và chỉ khi    

5

Kết luận: với a 10 thì hàm số liên tục trên 

Câu 2:

a, Tính đạo hàm của hàm số sau:

b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức: A cos 29  326,8

Bài giải

a,

2 2

.arccos 2 2 1

x

b, Ta có:

Đổi độ về radian:

29 cos 29 cos

180



 

Ta xét các hàm

f x  x Khi đó ta có f x  sinx

Tại 0

30

180

:

f   

x

f   

Ta có: f x  f x  0  x x 0.f x x0

Suy ra

f  f          f   

Tương tự: g x  3 x

1 3

x

g

x

 

Tại x  : 0 27 g27  ; 3  

1 27 27

x

Ta có: g x  g x  0  x x g 0 x x0

Suy ra g26,8 g27  26,8 27   g  x 27

5 27 135 135

Từ (1) và (2) suy ra A cos 29  326,8

2,1178

2 360 135



Câu 3: Tính

a, 2

3 1

d

x

x



3 2 3

ln d









Bài giải

a, 2

3 1

d

x

x I





 ; Đặt x25x  5 t dt2x5 d x

Khi đó

2

2 2

x



5

2

x



2

5

2

x



b,

3

2

3

ln d











Đặt

1

ln

3

v













Ta có

2 3

1 3

3

x











3

3

x







Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

2 sin

2 1 cos





 với 0 t 2

Bài giải

Ta có:

 

 

2 2cos

2sin

  





Suy ra x2 t y2 t  2 2 cos t22sint2  4 8cos t4

t

(Vì t0;2 thì sin2 0

t

 )

Ta cần tính:

2 0

d



2 0

2 1 cos 4sin d

2

t



 

 



2 2 0

2

t t





 

 



Vậy diện tích cần tìm là: 16 (đvdt)

Câu 5: Tìm cực trị của hàm hai biến sau: z x 33xy2 30x18y

Bài giải

Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến x và y

 

 

x

y







Từ (2):

3

y

x



thế vào (1) ta được:

2

3

x x

x x





 

      



Với x 1 y và 3 x 3 y1

Các điểm 1;3 , 1; 3 , 3;1 , 3; 1         các điểm cực trị cần xét

Đặt xx  x 6

x

A z  z   x

; xy  x 6

y

B z  z    y

, yy  y 6

y

C z  z    x

Xét các điểm

+tại 1;3: A6,B18,C6

Suy ra

 

1;3 0

A







+tại 1; 3 :A6,B18,C6

Suy ra

1; 3 0

A

  





+tại 3;1

:A18,B6,C18

Suy ra

 

3;1 0

A







 là điểm cực tiểu Suy ra z CT z3;1 72 +tại 3; 1 :A18,B6,C18

Suy ra

3; 1 0

A

  





 là điểm cực đại Suy ra z CĐ z3; 1 72

ĐỀ 05 Câu 1:

a, Tính giới hạn lim sin 2 cot 



b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

 

2

x

khi x

 





 

Bài giải

a, Ta có: lim sin 2 cot 





cos lim 2sin cos lim 2 cos 2 cos 2

sin

x

x

b, Ta có:

Tập xác định của hàm số: D 

Với x 2 thì  

2

x

f x

x





 Đây là hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là: D \ 2 

Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng  ; 2 và 2;  .

Với x 2, ta có

 f  2 b

2

4

x



Để hàm số liên tục tại x 2 khi và chỉ khi    

2

Kết luận: với b 4 thì hàm số liên tục trên 

Câu 2:

a, Tính đạo hàm của hàm số sau:

ln 2 4 arcsin 2 1

b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức: B sin 31  3 27,11

Bài giải

a,

2 2

x

b, B sin 31  327,11

Đổi độ về radian:

31 sin 31 sin

180



 

Ta xét các hàm

f x  x Khi đó ta có f x cosx

Tại 0

30

180

:

f   

x

f   

Ta có: f x  f x  0  x x 0.f x x0

Suy ra

f  f          f  

2 180 2 2 360

Tương tự: g x  3 x

1 3

x

g

x

 

Tại x  : 0 27 g27  ; 3  

1 27 27

x

Ta có: g x  g x  0  x x g 0 x x0

Suy ra g27,11 g27  27,11 27   g  x 27

11 1 8111

100 27 2700

Từ (1) và (2) suy ra B sin 31  3 27,11

2,5

2 360 2700



Câu 3: Tính

a, 2

2 3

d

2 12

x

x



2 0

1 d

2 cosx x







Bài giải

a, 2

d

2 12

x

x I





Khi đó

2

1

ln x 2x 12 J C

1 d

2 12



1 d

1 11 x

x





Đặt x1 11 tant 2

11

cos

t

2

2

2

11 tan 1

t

t



Suy ra

1 arctan

11

x

  , vì x1 11 tant Suy ra 2

arctan

x

Vậy

x

b, Ta có

2

0

1

d

2 cos

x









Ta thừa nhận công thức đã chứng minh:

2

0

d cos x









Đồng nhất thức 2 vế ta được: a2,b 1

Do đó,

2

0

1 d

2 cos

x







3 3

2 1

Câu 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền giới hạn bởi phương trình sau:

0

y

  





 quanh trục Ox

Bài giải

Ta có: x2 4x 0 x0,x Suy ra 4  

4 2 0

32

4 d

3

, (đvtt)

Câu 5: Tìm cực trị của hàm hai biến sau:

50 20

z xy

, biết x0,y 0

Bài giải

Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến x và y

 

 

2

2

50

20

x

y

x

y

    









Từ (2): 2

20

x

y



thế vào (1) ta được:

2

y





Với y 2 x5,x5( )L ,

Các điểm 5;2

các điểm cực trị cần xét

50

xx x

x

x



 

; xy  x 1

y

B z  z  

20

yy y

y

y



 

Xét điểm 5;2

:

, 1,

Suy ra

 

5;2 0

A







 là điểm cực tiểu Suy ra z CT z5;2 30