Vành lũy đẳng nửa nguyên tố

Vành ma trận và một số liên hệ của vành lũy đẳng nửa nguyên tố với một số lớp vành thường gặp.. Trong bài báo của mình, tác giả đãchỉ ra được rằng lớp vành khả nghịch nửa nguyên tố là mộ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



TRƯƠNG TRÍ DŨNG

VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA NGUYÊN TỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng – Năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



TRƯƠNG TRÍ DŨNG

VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA NGUYÊN TỐ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã ngành: 84 60 104

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TS LÊ VĂN THUYẾT

Đà Nẵng – Năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Cáckết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kì công trình nào khác.

Học viên thực hiện

Trương Trí Dũng

Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lờicảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết đã tậntình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy côgiáo đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập của khóa học

Trương Trí Dũng

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Iđêan và vành nửa nguyên tố 5

1.2 Một số lớp vành và đặc trưng 9

1.3 Về phần tử lũy đẳng 14

CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC CỦA VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA NGUYÊN TỐ 17

2.1 Mở đầu 17

2.2 Một số tính chất của iđêan và vành lũy đẳng nửa nguyên tố 18

2.3 Vành ma trận và một số liên hệ của vành lũy đẳng nửa nguyên tố với một số lớp vành thường gặp 23

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

Kí hiệu : Nghĩa của kí hiệu

R : vành có đơn vị 1 6= 0

M od − R : phạm trù các R-môđun phải

I(R) : tập tất cả các phần tử lũy đẳng của vành R

A ⊆ B : A là iđêan con (tập con) của B

A ⊂ B : A là iđêan con (tập con) thực sự của B

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số kết hợp chuyên nghiên cứu các cấu trúc đại số với phép toánnhân có tính kết hợp Là một ngành của đại số, các tư tưởng, phươngpháp và kết quả của đại số kết hợp đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnhvực của toán học Nói đến đại số kết hợp, ta không thể không nói đến lýthuyết vành và môđun, một trong những hướng nghiên cứu quan trọngtrong đại số kết hợp Có hai hướng chính để nghiên cứu vành và môđun.Hướng thứ nhất là sử dụng môđun (phạm trù M od − R) để nghiên cứuvành R Hướng thứ hai là, nghiên cứu nội tại một vành, nghĩa là để tìmhiểu về một vành, ta thường nghiên cứu các cấu trúc con, chẳng hạn cáciđêan của nó và mối liên hệ của chúng, đó chính là các đồng cấu Với cáchlàm đó, trước hết ta cần tìm hiểu về các iđêan nguyên tố

Khái niệm iđêan nguyên tố là khái niệm được tổng quát hóa từ kháiniệm số nguyên tố Một số nguyên p được gọi là số nguyên tố nếu với mọi

số nguyên m, n sao cho mn = p thì m = p hoặc n = p Tổng quát, trongmột vành giao hoán R, iđêan P được gọi là iđêan nguyên tố nếu với mọi

x, y ∈ R sao cho xy ∈ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P Và trong một vành R bất

kỳ, iđêan P củaR được gọi là iđêan nguyên tố nếu với mọi iđêan I, J ⊆ R

sao cho IJ ⊆ P thì I ⊆ P hoặc J ⊆ P Người ta chứng minh được rằng,một iđêan P của vành R là nguyên tố khi và chỉ khi với mọi a, b ∈ R saocho aRb ⊆ P thì a ∈ P hoặc b ∈ P

Khi lấy giao của các iđêan nguyên tố, ta được một iđêan và gọi nó làiđêan nửa nguyên tố Tương tự với kết quả ta vừa nhắc đến trên đây, người

ta cũng chứng minh được rằng một iđêan P của vành R là nửa nguyên tốkhi và chỉ khi với mọi a ∈ R sao cho aRa ⊆ P thì a ∈ P Đặc biệt, mộtvành R là nửa nguyên tố nếu iđêan 0 là iđêan nửa nguyên tố Điều nàytương đương với: với mọi a ∈ R : axa = 0, ∀x ∈ R thì a = 0 Ở đây, nếu

thay a ∈ R : axa = 0, ∀x ∈ R thì a = 0 bằng một điều kiện mạnh hơn

ata = 0 với mọi ∀t ∈ A, một tập con nào đó của R thì a = 0, ta đượcmột lớp mới các vành của lớp các vành nửa nguyên tố Tác giả GrigoreCălugăreanu đã nghiên cứu lớp các vành này với trường hợp A là tập tất

cả các phần tử khả nghịch củaR, khi đó vànhR có tính chất như vậy đượcgọi là vành khả nghịch nửa nguyên tố Trong bài báo của mình, tác giả đãchỉ ra được rằng lớp vành khả nghịch nửa nguyên tố là một lớp con thực

sự của lớp các vành nửa nguyên tố, và chỉ ra một số tính chất quan trọngcủa các iđêan và vành khả nghịch nửa nguyên tố, chẳng hạn, vành ma trậntrên một vành khả nghịch nửa nguyên tố là vành khả nghịch nửa nguyên

tố hay vành chính quy von Neumann là vành khả nghịch nửa nguyên tố.Độc giả có thể tìm hiểu chi tiết trong bài báo của Grigore Călugăreanu([3])

Với ý tưởng như vậy, trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lớpcác vành nói trên với A là tập tất cả các phần tử lũy đằng của R, ta điđến các định nghĩa sau:

Định nghĩa 0.1 Một iđêanP của vành R là lũy đẳng nguyên tố nếuvới mọi a, b ∈ R, aeb ∈ P, với mọi phần tử lũy đẳng e của R, thì a ∈ P

hoặc b ∈ P

Một vành R được gọi là vành lũy đẳng nguyên tố nếu iđêan0 là iđêanlũy đẳng nguyên tố

Định nghĩa 0.2 Một iđêan P của vành R là lũy đẳng nửa nguyên

tố nếu với mọi a ∈ R, aea ∈ P, với mọi phần tử lũy đẳng e của R, thì

a ∈ P

Một vành R được gọi là vành lũy đẳng nửa nguyên tố nếu iđêan 0 làiđêan lũy đẳng nửa nguyên tố

Nhắc lại rằng, một iđêan là nguyên tố hoàn toàn nếu với mọi a, b ∈

R, ab ∈ P thì a ∈ P hoặc b ∈ P Vì phần tử đơn vị 1 của R cũng là phần

tử lũy đẳng nên mọi iđêan nguyên tố hoàn toàn cũng là iđêan lũy đẳngnguyên tố, như vậy, với các iđêan, ta có

Nguyên tố hoàn toàn =⇒ Lũy đẳng nguyên tố =⇒ Nguyên tố.

Đối với vành giao hoán, các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan lũy đẳngnguyên tố và iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố là trùng nhau

Kết quả chính của luận văn này là đưa ra một số tính chất của lớpcác vành lũy đẳng nửa nguyên tố Đặc biệt, ta chứng minh được rằng vànhquy gọn và vành chính quy von Neumann là các vành lũy đẳng nửa nguyên

Nhằm tìm hiểu về lớp các vành này, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc

sĩ của mình là: “Vành lũy đẳng nửa nguyên tố”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số tính chất về iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố

- Nghiên cứu cấu trúc của vành lũy đẳng nửa nguyên tố

- Tìm ví dụ để phân biệt lớp vành lũy đẳng nửa nguyên tố và lớpvành nửa nguyên tố

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vành không giao hoán

- Vành lũy đẳng nửa nguyên tố

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết vành và môđun cóliên quan đến nội dung luận văn

- Kiểm tra các tính chất đúng đối với các iđêan nửa nguyên tố thì

có còn đúng không nếu thay các iđêan nửa nguyên tố bằng các iđêan lũyđẳng nửa nguyên tố Tìm các ví dụ minh họa

- Trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trìnhbày trong hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày những kiến thức cần thiết và sẽ được sử dụngtrong luận văn

Chương 2: Cấu trúc của vành lũy đẳng nửa nguyên tố

Chương này trình bày một số tính chất của iđêan lũy đẳng nửa nguyên

tố và vành lũy đẳng nửa nguyên tố Đặc biệt, ta chứng minh được rằng,vành ma trận trên một vành lũy đẳng nửa nguyên tố là một vành lũy đẳngnửa nguyên tố Đồng thời trình bày về mối liên hệ giữa vành lũy đẳngnguyên tố và vành lũy đẳng nửa nguyên tố với miền, vành quy gọn

Do thời gian thực hiện có hạn, năng lực bản thân còn nhiều hạn chếnên dù đã rất cố gắng, khóa luận khó tránh khỏi những sai sót Kính mongquý thầy cô và bạn đọc thông cảm và góp ý cho luận văn được hoàn chỉnhhơn

Xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ trình bày một số kiến thức sẽ được sử dụng trong luậnvăn Phần lớn nội dụng của chương này được lấy từ các tài liệu:

1 Trương Công Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Lý thuyết Vành và Môđun,NXB Đại học Huế

2 Lê Văn Thuyết, Lê Đức Thoang (2017), Vành với điều kiện hữu hạn,NXB Đại học Huế

3 T.Y Lam (2001), A First Course in Noncommutative Rings, GraduateTexts in Mathematics, vol.131, Springer-Verlag

1.1 Iđêan và vành nửa nguyên tố

Vành lũy đẳng nửa nguyên tố là một lớp con của lớp các vành nửanguyên tố Một trong những hướng nghiên cứu chính của chúng ta là kiểmtra xem các tính chất đúng với vành nửa nguyên tố thì có đúng với vànhlũy đẳng nửa nguyên tố hay không Như vậy, trước hết ta sẽ tìm hiểu vềiđêan và vành (nửa) nguyên tố

Định nghĩa 1.1.1 Một iđêanP của vànhRđược gọi là iđêan nguyên

tố nếu P 6= R và với hai iđêan bất kỳ I, J ⊆ R,

IJ ⊆ P thì I ⊆ P hoặc J ⊆ P.Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu iđêan 0 là iđêan nguyên tố

Ví dụ 1.1.2 (1) Trong vành các số nguyên Z, các iđêan nguyên tốchính là các iđêan sinh bởi các số nguyên tố pZ.

(2) Với p là một số nguyên tố, khi đó iđêan

(3) Các vành Z, M2(Z) là các vành nguyên tố.

Mệnh đề 1.1.3 sau đây cho ta các đặc trưng của iđêan nguyên tố giúp

ta thuận tiện hơn trong việc kiểm tra một iđêan có phải iđêan nguyên tốhay không

Mệnh đề 1.1.3 Cho P là một iđêan thực sự của vành R, các điềukiện sau là tương đương:

Giao của các iđêan nguyên tố nhìn chung không phải là iđêan nguyên

tố, chẳng hạn trong vành Z, với các số nguyên tố p, q, ta có pZ, qZ là các

iđêan nguyên tố nhưng pqZ = pZ∩ qZ không phải là iđêan nguyên tố Ta

có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.4 Giao của một họ bất kỳ các iđêan nguyên tố củavành R là một iđêan của R và được gọi là iđêan nửa nguyên tố của R.Vành R được gọi là vành nửa nguyên tố nếu iđêan 0 là iđêan nửanguyên tố

Ví dụ 1.1.5 Trong vành Z, mọi iđêan nửa nguyên tố của nó đều códạng nZ, trong đó n = p1 pk với k ∈ N, p1, , pk là các số nguyên tố đôimột phân biệt

Từ định nghĩa này, ta thấy rằng iđêan nguyên tố cũng là iđêan nửanguyên tố và giao của các iđêan nửa nguyên tố là một iđêan nửa nguyêntố

Định nghĩa 1.1.6 Một tập hợp S với một quan hệ thứ tự trên nóđược gọi là một dàn đầy đủ nếu mọi tập con của nó đều có cận trên đúng(sup) và cận dưới đúng (inf) trong S.

Dễ thấy, tập tất cả các iđêan nửa nguyên tố của vành R với quan hệthứ tự bao hàm tạo thành một dàn đầy đủ Tuy nhiên điều này khôngđúng đối với tập tất cả các iđêan nguyên tố

Tương tự với đặc trưng 6 (Mệnh đề 1.1.3) của iđêan nguyên tố, đốivới iđêan nửa nguyên tố ta có đặc trưng sau

Mệnh đề 1.1.7 Một iđêan P của vành R là nửa nguyên tố khi vàchỉ khi với mọi x ∈ R thỏa mãn xRx ⊆ P thì x ∈ P

Chứng minh Xem [2, Định lí 3.14]

Mệnh đề trên cho ta hệ quả sau

Hệ quả 1.1.8 Cho P là một iđêan của vànhR Những điều kiện sau

là tương đương:

(1) P là một iđêan nửa nguyên tố

(2) Nếu I là một iđêan bất kỳ của R thỏa mãn I2 ⊆ P, thì I ⊆ P

(3) Nếu I là một iđêan bất kỳ của R chứa thực sự P, thì P2 * P.(4) Nếu I là một iđêan phải bất kỳ của R thỏa mãn I2 ⊆ P, thì

I ⊆ P

(5) Nếu I là một iđêan trái bất kỳ củaR thỏa mãnI2 ⊆ P, thìI ⊆ P

Chứng minh Xem [2, Hệ quả 3.15]

Đối với vành đa thức, ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.9 Cho T là tập gồm các biến giao hoán lẫn nhau vàgiao hoán với các phần tử của R Khi đó:

(1) Vành đa thức R[T ] là vành nguyên tố khi và chỉ khi R là vànhnguyên tố

(2) Vành đa thức R[T ] là vành nửa nguyên tố khi và chỉ khiR là vànhnửa nguyên tố

Chứng minh Ta sẽ chứng minh (2) Phần chứng minh của (1) cóthể xem trong [6,(10.18)].

Giả sử R[T ] là vành nửa nguyên tố Khi đó với mọi a ∈ R sao cho

aRa = 0 Suy ra aR[T ]a = 0, vì R[T ] là vành nửa nguyên tố nên a = 0.Ngược lại, giả sử R là vành nửa nguyên tố, với mọi f ∈ R[T ] sao cho

f R[T ]f = 0 Đặt

T0 = {x ∈ T |degx(f ) > 0} ⊆ T

Dễ thấy T0 là tập hữu hạn và f R[T0]f = 0 Ta sẽ chứng minh f = 0 bằngquy nạp theo số phần tử của T0 Do đó, ta chỉ cần chứng minh cho trườnghợp T0 có một phần tử hay R[T0] = R[x] là vành đa thức một biến Gọi

a là hệ số cao nhất của đa thức f, khi đó f R[T0]f = 0, suy ra aRa = 0

và vì R là vành nửa nguyên tố nên a = 0 Do đó f = 0 Vậy R[T ] là vànhnửa nguyên tố

Ta cũng có một kết quả tương tự đối với vành ma trận

Mệnh đề 1.1.10 (1) Một vành R là nguyên tố khi và chỉ khi Mn(R)

là vành nguyên tố

(2) Một vành R là nửa nguyên tố khi và chỉ khi Mn(R) là vành nửanguyên tố

Trong quá trình chứng minh, ta sẽ sử dụng kết quả sau

Mệnh đề 1.1.11 Với mọi iđêan của vành I của vành Mn(R), tồntại duy nhất iđêan J của vành R sao cho I = Mn(J )

Chứng minh Xem [6,(3.1)]

Chứng minh Mệnh đề 1.1.10 Ta sẽ chứng minh (2) Phần chứngminh của (1) có thể xem trong [6,(10.20)]

Giả sử R không là nửa vành nguyên tố Theo mệnh đề 1.1.8, tồn tạiiđêan I 6= 0 của R sao cho I2 = 0 Suy ra Mn(I)2 = 0, do đó Mn(R)

không là vành nửa nguyên tố

Ngược lại, giả sử Mn(R) không là vành nửa nguyên tố, tức là tồn tạiiđêan I của Mn(R) sao cho I2 = 0 Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.11, tồn tạiduy nhất iđêan P của R sao cho I = Mn(P ) Vì I2 = 0 nên P2 = 0 Vậy

R không là vành nửa nguyên tố

1.2 Một số lớp vành và đặc trưng

Trong luận văn này, ngoài tìm hiểu một số tính chất cơ bản của vành

và iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố, ta cũng tìm hiểu về mối liên hệ giữa vànhlũy đẳng (nửa) nguyên tố với các lớp vành quan trọng như miền, vành quygọn, vành nửa đơn, vành Artin, vành chính quy von Neumann, v.v.Định nghĩa 1.2.1 (1) Tập L các môđun con nào đó của M đượcgọi là thỏa điều kiện dãy giảm (DCC) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ⊇ L2 ⊇ ⊇ Ln ⊇

trong L, tồn tại n ∈ N sao cho Ln+i = Ln(∀i ∈ N)

(2) Môđun MR được gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các môđuncon nào đó của M đều có phần tử tối tiểu

(3) Một vành R được gọi là Artin phải (tương ứng, trái ) nếu môđun

RR (tương ứng, RR) là Artin

Định lý sau đây cho ta các đặc trưng của môđun Artin

Định lý 1.2.2 Cho MR và A là một môđun con của M Các điềukiện sau tương đương:

Định nghĩa 1.2.4 (1) Một R-môđun M được gọi là đơn nếu M 6= 0

và không có môđun con không tầm thường nào

(2) Cho (Ti)i∈I là một tập các môđun con đơn của R-môđun M Nếu

M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn này, nghĩa là

M = M

i∈I

Ti (∗)

thì (*) được gọi là một phân tích nửa đơn của M

(3) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửađơn

(4) Vành R được gọi là đơn nếu R không có iđêan (hai phía) thực sựnào

(5) Vành R được gọi là nửa đơn phải (tương ứng, trái ) nếu môđun

RR (tương ứng, RR) nửa đơn

Ví dụ 1.2.5 (1) Thể là vành đơn

(2) Zp = Z/pZ được xem như là các Z-môđun đơn.

(3) Zn = Z/nZ(n 6= 0) được xem như là các Z-môđun nửa đơn khi vàchỉ khi nlà tích của các số nguyên tố đôi một khác nhau hoặc khi n = ±1.(4) ZZ không nửa đơn QZ cũng không nửa đơn vì không có môđuncon đơn nào

(5) Mỗi không gian vectơ V trên trường K là nửa đơn

V = M

x∈B

xK,

trong đó B là cơ sở của V

Định lý sau đây cho ta một đặc trưng rất cơ bản của Wedderburn vềvành có vật sinh phải đơn

Định lý 1.2.6 (Định lý Wedderburn) Vành R có một vật sinhphải đơn khi và chỉ khi R đẳng cấu với vành ma trận Mn(D), trong đó

D là thể và số tự nhiên n nào đó Hơn nữa, nếu TR là một vật sinh phải

đơn cho R, thì ta có đẳng cấu vành R ' Mn(D) trong đó D =End(TR)

(1’) R có một vật sinh phải đơn,

(2) R là đơn và Artin trái,

(2’) R là đơn và Artin phải,

(3) Với RT đơn nào đó, RR ' T(n) với n nào đó,

(3’) Với TR đơn nào đó, RR ' T(n) với n nào đó,

(4) R đơn và RR là nửa đơn,

(4’) R đơn và RR là nửa đơn

Chứng minh Xem [1, Mệnh đề 2.2.3]

Định nghĩa 1.2.8 Vành thỏa điều kiện tương đương của Mệnh đềnày thường được gọi là vành Artin đơn

Ví dụ 1.2.9 Từ Định lý 1.2.6, ta thấy ngay rằng vành các ma trậntrên một thể là vành Artin đơn

Định lý sau cho ta một đặc trưng rất quan trọng của các vành nửađơn

Định lý 1.2.10 (Định lý Wedderburn-Artin) Một vành R lànửa đơn phải nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp vành của một số hữu hạncác vành Artin đơn

Chứng minh Xem [1, Định lý 2.3.1]

Từ các định lý trên, ta thấy rằng một vành là nửa đơn phải khi vàchỉ khi nó cũng là nửa đơn trái Và do đó, ta chỉ nói đến vành nửa đơn màkhông đề cập đến phía của nó Các định lý trên cũng cho ta thấy rằng một

vành là nửa đơn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với tổng trực tiếp của một sốhữu hạn các vành ma trận trên một thể.

Định lý sau đây cho ta một đặc trưng của vành nửa đơn thông quavành nửa nguyên tố và vành Artin

Định lý 1.2.11 Đối với vành R, các mệnh đề sau tương đương:(1) R là nửa đơn,

(2) R là nửa nguyên tố và Artin phải,

(3) R là nửa nguyên tố và thỏa điều kiện DCC trên các iđêan phảichính

Chứng minh (1)⇒(2): Trước hết, ta thấy rằng theo Mệnh đề 1.1.10,vành các ma trận trên một thể là vành nửa nguyên tố Do đó nếu R làvành nửa đơn thì R đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu hạn cácvành ma trận trên một thể là vành nửa nguyên tố và Artin phải

(2)⇒(3): Hiển nhiên

(3)⇒(1): Trong quá trình chứng minh, ta sẽ sử dụng hai bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.12 Nếu R thỏa điều kiện DCC trên các iđêan phải chínhthì mọi iđêan trái I 6= 0của vành R đều chứa một iđêan phải tối tiểu kháckhông

Chứng minh Giả sử không tồn tại iđêan phải tối tiểu của vành R

nằm trong I, khi đó với mọi x ∈ I, vì xR ⊂ I nên xR không là iđêan tốitiểu, suy ra tồn tại x1 ∈ xR sao cho xR ⊃ x1R Tiếp tục quá trình này,

ta có dãy giảm ngặt không dừng các iđêan phải chính

Chứng minh Giả sử I2 6= 0 Khi đó tồn tại a ∈ I sao cho aI 6= 0.

Vì aI ⊆ I và I tối tiểu nên aI = I Do đó tồn tại e ∈ I sao cho ae = a

Ta có J = {x ∈ I|ax = 0} là một iđêan của R và J ⊂ I (vì e /∈ J), do đó

J = 0 Mặt khác, ta có a(e2 − e) = 0 nên e2 − e ∈ J, tức là e2 = e Vì I

là iđêan phải tối tiểu của R và 0 6= eR ⊆ I nên I = eR

Trở lại với chứng minh (3)⇒(1): Giả sử R không nửa đơn Theo Bổ

đề 1.2.12, tồn tại iđêan tối tiểu I1 của R Theo Hệ quả 1.1.8, R là vànhnửa nguyên tố nên I12 6= 0 Do đó theo Bổ đề 1.2.13, tồn tại một phần tửlũy đẳng e1 ∈ R sao cho I1 = e1R Khi đó ta có RR = e1R ⊕ (1 − e1)R

Vì J1 = (1 − e1)R 6= 0 nên theo Bổ đề 1.1.12, tồn tại iđêan phải tốitiểu I2 ⊂ J1 (vì R không nửa đơn) Bằng lập luận tương tự như trên,

ta thấy rằng tồn tại phần tử lũy đẳng e2 ∈ R sao cho I2 = e2R Ta có

e2R ⊕ (1 − e1− e2)R = J1 Vì e2R = I2 6= 0 nên J2 = (1 − e1− e2)R ⊂ J1.Tiếp tục quá trình này, ta có một dãy giảm ngặt không dừng các iđêanphải chính

J1 ⊂ J2 ⊂ J3 ⊂

Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng vành R là nửa đơn

Định nghĩa 1.2.14 Một vành R là vành chính quy von Neumannnếu mỗi phần tử r ∈ R, thì tồn tại r0 ∈ R sao cho r = rr0r

Ví dụ 1.2.15 (1) Thể là vành chính quy von Neumann

(2) Vành M2(R) là vành chính quy von Neumann

Định nghĩa 1.2.16 (1) Một phần tử x ∈ R là lũy linh nếu tồn tại

(2) Z là vành quy gọn Còn Z4 không là vành quy gọn

Định nghĩa 1.2.18 (1) Một iđêan I của R được gọi là iđêan lũy linhnếu tồn tại n ∈ N sao cho In = 0.

(2) Một iđêan I của R được gọi là iđêan linh nếu mọi phần tử của nóđều là phần tử lũy linh

Dễ thấy một iđêan lũy linh thì mọi phần tử của nó đều lũy linh Do

đó iđêan lũy linh là iđêan linh Chiều ngược lại nhìn chung là không đúng

Ví du 1.2.19 (1) Trong vành ma trận tam giác trên cấp 2 trên vành

Định nghĩa 1.3.1 Một phần tử x ∈ R là lũy đẳng nếu x2 = x

Ví dụ 1.3.2 (1) Dễ thấy mọi vành R đều có hai phần tử lũy đẳng

tử lũy đẳng x của R sao cho x = x + I

Mệnh đề 1.3.4 Nếu I là iđêan linh của vành R, thì mọi lũy đẳngnâng được modulo I

Chứng minh Giả sử I là một iđêan linh của vành R vàr + I là mộtlũy đẳng của vành R/I(r ∈ R) Khi đó(r + I)2 = r + I, tức là r2− r ∈ I

Vì I là iđêan linh nên tồn tại số nguyên dương n sao cho (r2 − r)n = 0,suy ra

r2s − r = a − ars = a(1 − rs) ∈ I.Hơn nữa, vì r2 − r ∈ I nên tồn tại b ∈ I sao cho r2 = r + b Như vậy,

(r + b)s − r = r2s − r ∈ I,suy ra rs − r ∈ I, do đó

(rs)2 − s2 = (rs − r)(rs + r) ∈ I

Tương tự, ta có (rs)n− rn ∈ I Vậy(rs)n− r = [(rs)n− rn] + (rn− r) ∈ I,tức là, r + I = e + I.

Từ mệnh đề trên, ta thấy Ví dụ 1.2.17(1) cho ta biết về một iđêan