Bài 1 trong không gian 4  , cho các véc tơ

Bài 6: Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm... Biết định mức của 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm được cho bởi ma trận:... trong đó a cho trong ma trận ij

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH

MÔN TOÁN CAO CẤP 1

Bài 1: Trong không gian 4 , cho các véc tơ:

* Chọn:

1 3

2

11

Vậy X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ  A A A là: 1, 2, 3 X   A1 A2 A3

Bài 3: Sử dụng định nghĩa, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ

Vậy hệ véc tơ  A A A là hệ phụ thuộc tuyến tính 1, ,2 3

Bài 4: Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của không gian tương ứng không?

Từ (*) và (**) ta có: hệ véc tơ  A A1, 2 là một cơ sở của 2.

Bài 5: Cho hệ véc tơ S  A1 1,1, 2 ; A2 1, 2,0 ; A3 1, 0, 0 ; A4  3, 4, 4  Chứng

01,1, 2 1, 2,0 1, 0,0 0,0, 0

0

2 0000

       

1 2 3

1 2 1 1 2 3

Vậy từ (*) và (**) ta có: hệ S1 A A A1, ,2 3 là 1 cơ sở của S

12012

Bài 6: Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm Cho các véc tơ:

c) Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 15, 40, 30, 60,

20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5

22

c) Số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được 15, 40, 30, 60,

20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5 là:

* Chứng minh: Xét điều kiện về cơ sở không gian 3 ta có:

+) Hệ có số véc tơ bằng số chiều của 3 (đều bằng 3)

Vậy hệ F i F F F1, ,2 3 là một cơ sở của 3.

4 2 6 2 3 2 2 1 82

Để ma trận không suy biến thì det A   0 15 2  0 152

Vậy để ma trận A không suy biến thì

152

Bài 10: Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến tính,

phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ  A1  0, 3, 1 ;   A2   5,3,1 ; A3   1, 2, 0  

Có det( ) 10 0X   , vậy:X  A A A1, ,2 3 độc lập tuyến tính.

Bài 11: Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các biểu thị

tuyến tính của hệ véc tơ ngoài cơ sở qua cơ sở đối với hệ véc tơ sau:

* Cơ sở của hệ véc tơ S: A A1; 2

* Biểu diễn tuyến tính A qua hệ cơ sở của S : 3 A3 3A1 A2

Bài 12: Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm Cho hai ma trận:

c Sử dụng ý nghĩa vừa nêu ở phần b, với điều kiện sử dụng hết số lượng vật liệu được tính ở phần a, nếu hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại 3, thì số lượngcác loại sản phẩm còn lại là bao nhiêu và số đơn vị sản phẩm 3 có thể sản xuất tối

đa là bao nhiêu?

Lời giải

a)

52

5 2 0 4

04

Vậy số lượng vật liệu các loại cần để thỏa mãn điều kiện đề bài là

102913

 Biểu diễn tuyến tính: A3  A1 A2 A4  A3A4  A1 A2

* Ý nghĩa kinh tế: Nếu ta bớt đi 1 đơn vị sản phẩm 1 và 1 đơn vị sản phẩm 2 thì tađược thêm 1 đơn vị sản phẩm 3 và 1 đơn vị sản phẩm 4

m m

Bài 13: Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô sản xuất 5 loại sản phẩm Biết định mức của

3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm được cho bởi ma trận:

Với a cho trong ma trận ij A là số đơn vị vật liệu cần sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm loại j i 1,3; j1,5 ; x j

là số đơn vị loại j mà hãng sử dự định sản xuất

a) Ký hiệu A là véc tơ cột thứ j j của ma trận A, j1,5 Bằng phương pháp khử toàn phần, chứng minh hệ véc tơ B A A A1, ,3 4 là một cơ sở của hệ  A j :j1,5

b) Tìm biểu thị tuyến tính của hệ  A A qua 2, 5 B và nêu ý nghĩa kinh tế của nó.c) Tính tổng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 34 đơn vị sản phẩm loại 2 và 17 đơn vị sản phẩm loại 3, biết rằng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 3 đơn vị sản phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 4 là 27 triệu đồng

Vậy hệ véc tơ B{ , , }A A A1 3 4 là một cơ sở của hệ {A j: j 1,5}

b) Từ kết quả ở câu a ta biểu diễn tuyến tính của { , } A A2 5 qua B như sau:

3

2 đơn vị sản phẩm loại 1 và

1

2 đơn vị sản phẩm loại 4 thì hãng được thêm 1 đơn vị sản phẩm loại 2 và

1

2 đơn vị sản phẩm loại 3.+) A5   A1 A4

 Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng bớt đi 1 đơn vị sản phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 4 thì hãng được thêm 1 đơn vị sản phẩm loại 5

13

Vậy số tiền mua vật liệu vừa đủ để thỏa mã điều kiện là: 459000000 đồng

Bài 14: Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian Sau

đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm Cho các ma trận:

Với a cho trong ma trận ij A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị

sản phẩm trung gian loại j b, jk cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k i 1, 4; ,j k 1, 3

a) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất 120,130,240 đơn vị sản phẩm trung gian loại 1,2,3 tương ứng

b) Gọi M là tổng các phần tử thuộc hàng 2 của ma trận AB Tính 3M và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả tìm được

Vậy số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để thỏa mãn điều kiện đề bài là:

61010901100960

a) Tìm  để ma trận A không suy biến

b) Với  hãy tìm ma trận thỏa mãn 1 XA B X E, là ma trận đơn vị cấp

Vậy để ma trận A không suy biến thì

92

 

.b) Với  ma trận 1 A trở thành:

A        

Vậy để hệ là hệ Cramer thì

12

 

Bài 17: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử toàn phần ( tìm nghiệm tổng

quát và chỉ ra một nghiệm riêng của hệ)

327167

3972277

x x x

4 6

21

3

4 62

1

8 112

212

Vậy nghiệm không âm của hệ ràng buộc là:

2112

5365

trong đó a cho trong ma trận ij A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị

sản phẩm loại ,j b cho trong ma trận i B là số lượng đơn vị vật liệu loại i mà hãng sử

dụng, c cho trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j j và x cho trong j

ma trận X là sản lượng sản phẩm loại j i 1,3;j1, 4

.a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà hãng có thể sản xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B Tìm một nghiệm cơ sở, với x x x2, ,3 4

là các ẩn cơ sở, của hệ này bằng phương pháp khử toàn phần Tính tổng số lãi ứng vớikết quả vừa tìm được

b) Ký hiệu A là véc tơ cột thứ j j của ma trận A với j1,4 Sử dụng kết quả của ý a), viết biểu diễn tuyến tính của A quan hệ véc tơ 1 A A A và nêu ý nghĩa kinh tế 2, ,3 4của nó Dựa vào ý nghĩa vừa nêu, nếu hàng sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm 1, với điều kiện vẫn sử dụng hết số vật liệu cho trong B, thì tổng số lãi thay đổi như thế nào?

x1là ẩn tự do

Cho x1 0

1 2 3

1085

x x x

85

* Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng sản xuất bớt đi một đơn vị sản phẩm loại 1 và 3 đơn

vị sản phẩm loại 3 thì hãng sẽ được thêm 5 đơn vị sản phẩm loại 2

Dựa vào ý nghĩa vừa nêu, nếu hãng sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm loại 1, vớiđiều kiện vẫn sử dụng hết số vật liệu trong B thì cần thêm 3 đơn vị sản phẩm loại 3

và bớt 5 đơn vị sản phẩm loại 2

1 2

1 3 4

5115

x x x

1

15

115

Bài 22: Một hãng sự định sẽ sản xuất 4 loại sản phẩm A, B, C, D Định mức về chi phí

vật liệu và lợi nhuận (1.000 đồng) trên 1 đơn vị sản phẩm được cho ở bảng sau:

b) Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm số sản phẩm mỗi loại cần sản xuất thỏa mãn các yêu cầu ở câu a), biết rằng công ty chỉ sản xuất các sản phẩm A, B và D

Lời giải

a) Gọi x j là sản lượng của sản phẩm j, j1,4 ĐK :x j   0, j 1, 4

Ta có hệ phương trình ràng buộc tuyến tính:

vị sản phẩm A, 40000 đơn vị sản phẩm B, 60000 đơn vị sản phẩm D và hãng không sản xuất đơn vị sản phẩm C.

Bài 23: Người ta sử dụng 3 loại thảo dược I, II và III để chiết suất ra 2 loại hóa chất A và

B Lượng hóa chất mỗi loại và chi phí (triệu đồng) tính trên 1 đơn vị thảo dược mỗi loại khi chiết suất được cho ở bảng sau:

27

Hóa chất A 5 1 3

Mỗi loại dược liệu cần sử dụng bao nhiêu để chiết suất được tối thiểu: 200 đv hóa chất

A, 150 đv hóa chất B và chi phí không vượt quá 350 triệu đồng?

Bài 24: Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2, 3 Lượng cung và

lượng cầu của loại hàng hóa i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường p i i  1,3

Thị trường hàng hóa i được gọi là cân bằng nếu q i s q i i d, 1,3.

a) Hãy lập hệ phương trình để xác định các mức giá p p p làm cân bằng cả ba thị 1, ,2 3

trường của cả ba loại hàng hóa trên dưới dạng ma trận Tìm điều kiện của  để hệ phương trình thu được là hệ Cramer

b) Với 1, sử dụng phương pháp khử toàn phần xác định các mức giá cân bằng thị

trường của ba loại hàng hóa trên

Lời giải

29

a) Thị trường của 3 loại hàng hóa cân bằng khi:

p p p

Vậy (1) là hệ Cramer khi và chỉ khi det(A) 0

9 216

9 216

7 2

1 2

101211

p p p

Bài 25 : Cho dạng toàn phương   2 2 2

Bài 26 : Ba hãng cùng tham gia sản suất và tiêu thụ một loại sản phẩm Kí hiệu ,x p i i

lần lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i i, 1,2,3 Biết giá bán sản phẩm của mỗi hãng phụ thuộc vào sản lượng của tất cả các hãng như sau

41

 Ma trận A xác định âm

Vậy dạng toàn phương có trong hàm tổng doanh thu xác định âm

b) Hàm tổng doanh thu của hai hãng 1 và 2 là:

Bài 27 : Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm Kí hiệu ,x p i i

lần lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i i 1,2,3

Biết sản lượng của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau :

X  x x x Kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương có trong biểu

thức của hàm tổng doanh thu nói trên

Lời giải

a) Khi sản lượng của 3 hãng lần lượt là 130,105 và 125 thì

1 2 3

130105125

x x x

p p p

Hàm doanh thu của hãng 1 là: