Bài kiểm tra điều kiện lập và tính các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ trên ứng với bộ hệ số sau

Một doanh nghiệp sử dụng 4 loại vật liệu thô I, II, III, IV để sản xuất 3 loại sản phẩm X, Y, Z.Định mức tiêu hao vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm mỗi loại được cho ở bảng sau: a H

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH KHOA NGÂN HÀNG VÀ BẢO HIỂM

Bài kiểm tra điều kiện

Môn: Toán cao cấp 1

Nguyễn Phương Linh

Hoàng Thu Huyền

Trần Linh Hương

Ngô Phúc Khang

Ngô Thị Thảo

Đỗ Thị Thu Trang

Bài 1: Trong không gian 4 cho hệ véc tơ:

Vậy ta có biểu thị tuyến tính : 2 3

Dễ thấy rằng hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có duy nhất nghiệm tầm thường (0,0,0)

Nghĩa là đẳng thức vecto trên chỉ xảy ra với    1 2 3 0

Như vậy , theo định nghĩa  A A A là hệ độc lập tuyến tính.1, 2, 3

Bài 4 Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của không gian tương ứng không?

 A1 0, 1,1 ; A2 2,1, 1 ; A3 4, 1,1 

không gian3.Trả lời :

+) Hệ có 3 véc tơ bằng số chiều của 3

Chọn 2 1 3 1 1 3

k  k   k 

 Hệ đã cho là phụ thuộc tuyến tính

 Hệ véc tơ ban đầu không phải là cơ sở của không gian  3

Bài 5 Hãy chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua cơ sở

của hệ véc tơ:

 A1  1, 3 ;A2 5, 2 ;A3  1,0 ;A4  2,1

Ta thấy hai cột đầu của ma trận B là độc lập tuyến tính

Vậy  A A1, 2 cũng độc lập tuyến tính và là một cơ sở của S với:

b Viết biểu diễn tuyến tính của các vecto còn lại qua hệ B và nêu ý nghĩa kinh tế

c Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được

10,45,30,72,20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5

Trả lời : a) Theo định nghĩa , ta cần biện luận sự tồn tại của   1 , 2 , 3 để có đẳng thức vectơ:

Dễ thấy rằng hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có duy nhất nghiệm tầm thường

(0,0,0)

Nghĩa là đẳng thức vecto trên chỉ xảy ra với 1 2 3  0

Như vậy, theo định nghĩa B= A A A2, 4; 5 là hệ độc lập tuyến tính

2 3 3 1

32

Ý nghĩa kinh tế: Nếu bớt đi 1/2 đơn vị sản phẩm 2 và 3/2 đơn vị sản phẩm 4 ta được 1đơn vị sản phẩm 3 và 3/2 đơn vị sản phẩm 5.

c Số lượng vật liệu vừa đủ để sản xuất lượng sản phẩm như yêu cầu là :

Bài 7: Trong không gian n

 cho hệ vecto S= A B C X Chứng minh rằng nếu S độc, , , 

lập tuyến tính thì hệ  AX B, X C, X cũng độc lập tuyến tính, điều ngược lại có

Với

0412

Bài 10 Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến

tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ sau:

Bài 11 Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các

biểu thị tuyến tính của các hệ véc tơ ngoài cơ sở qua cơ sở đối với hệ véc tơ sau:

Bài 12 Một doanh nghiệp sử dụng 4 loại vật liệu thô I, II, III, IV để sản xuất 3

loại sản phẩm X, Y, Z.Định mức tiêu hao vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm

mỗi loại được cho ở bảng sau:

a) Hãy mô tả dưới dạng ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu trên

b) Viết dưới dạng biểu thức ma trận và tính giá trị của biểu thức để xác định số

lượng vật liệu thô các loại đủ để sản xuất 30, 50, 20 đơn vị các loại sản phẩm

loại sản phẩm X,Y,Z tương ứng là:

Bài 13 Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu thô R1, R2 và R3 để sản xuất 4 loại sản

phẩm trung gian S1, S2, S3 và S 4 Sau đó, từ 4 loại sản phẩm trung gian người

ta có thể sản xuất ra 2 loại thành phẩm F 1 và F 2 Hai bảng dưới đây cho biết

định mức vật liêu thô cho các sản phẩm trung gian và định mức sản phẩm trung

gian cho các loại thành phẩm:

a) Viết các ma trận định mức vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm trung gian,

định mức sản phẩm trung gian cho mỗi đơn vị thành phẩm và ma trận định mức

vật liệu thô cho mỗi đơn vị thành phẩm

b) Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép toán cần thiết để tính số

lượng các loại vật liệu thô vừa đủ để sản xuất 120 đơn vị thành phẩm F1 và

Bài 15 Tìm  để hệ phương trình tuyến tính sau là hệ Cramer và với   tìm 1

nghiệm của hệ tương ứng theo phương pháp ma trận nghịch đảo



+) Xét ma trận

Bài 16 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử toàn phần (tìm nghiệm

tổng quát và chỉ ra một nghiệm riêng của hệ)

3 2 3 4 1 3 4

x

x x x

Từ dòng 2 ma trận cuối => Hệ ràng buộc vô nghiệm không âm

Bài 19 Chuyển hệ hỗn hợp sau về dạng chính tắc rồi tìm một nghiệm của hệ:

3 4

x x

Trong đóA k k, 1,4 là véc tơ định mức thể hiện số đơn vị vật liệu các loại đủ dùng để sản

xuất 1 đơn vị sản phẩm loại k , Blà véc tơ thể hiện số lượng đơn vị vật liệu các loại mà hãng sử dụng , c j

trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại jvà x j

cho trong

ma trận X là sản lượng sản phẩm loại j j( 1,4).

a)Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà

hãng có thể sản xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B.

b)Tìm một nghiệm cơ sở, với 2 3 ,x 4 x, là c ác ẩn cơ sở, của hệ lập được trongx

ý a)bằng phương pháp khử toàn phần Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm

Bài 21 Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô liệu để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian

Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm Cho các ma trận :

cho trong ma trậnA là số đơn vị vật liệu thô loại cần để sản xuất 1đơn vị

sản phẩm trung gian loạij, bij

cho trong ma trậnB là số lượng đơn vị sản phẩm trung gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k (i1,4; ;j k1,3)

a)Tính số đơn vị vật liệu thô các loại vừa đủ để sản xuất 320, 150, 430

đơn vị sản phẩm trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng

b)Viết hệ ràng buộc tuyến tính để xác định sản lượng mỗi loại thành

phẩm nếu hãng sử dụng hết số sản phẩm trung gian cho ở ý Sử dụnga)

phương pháp khử toàn phần, tìm nghiệm của hệ đó.

c)Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính

Trả lời :

a) Đặt

320 250 430

  - Số sản phẩm trung gian 3 loại 1,2,3 tương ứng

Số đơn vị vật liệu thô các loại vừa đủ để sản xuất được số sản phẩm trung gian

Ý nghĩa: Số lượng các vật liệu thô đủ để sản xuất số lượng các loại sản phẩm nêu

trên được tính bởi biểu thức ma trận A.B

Bài 22 Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1,2,3 Lượng cung và lượng cầu của loại hàng hoá i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường p i i( 1,3) của cả 3 loại

hàng hoá và được cho bởi :

d d d

đó  là tham số thực Thị trường hàng hoá i được gọi là cân bằng nếu q i s q i i d, 1,3.

a) Viết hệ phương trình xác định mức giá p p p1, ,2 3 làm cân bằng cả ba thị trường

của cả ba loại hàng hoá trên dưới dạng ma trận và tìmđiều kiện của  để hệ

phương trình thu được là hệ Cramer

b) Với   , sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo để xác định các mức giá cân2bằng thị trường của ba loại hàng hoá trên

Trả lời :

a) *Từ điều kiện cân bằng cung cầu q i sq d j, i 1,3, ta rút ra hệ phương trình

tuyến tính xác định mức giá cân bằng p1 ,p2 , p có dạng:3

=> Phương trình AX=0 4có nghiệm duy nhất

Bài 24 Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm Kí hiệu x pi, i

lần lượt là sản lượng và giá mỗi đơn vị sản phẩm của hãng Biết sản lượng của mỗi hãng

3

x   mp  p  p x   p  p  p x   p  p  p

a) Giả sử sản lượng của ba hãng lần lượt là 90;60và 80, tìm điều kiện của tham số m

để doanh thu của hãng thứ nhất bằng tổng doanh thu của hai hãng còn lại

b) Với m tìm được ở câu a), hãy biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu củahãng 1 và hãng 2

Thay vào (1) ta tìm được: m3

Vậy với m3thì doanh thu của hàng thứ nhất = tổng doanh thu hai hàng còn lại.

b) Gọi f i là doanh thu của i i 1,3

Bài 25 Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm Kí hiệu lần lượt

là sản lượng và giá mỗi đơn vị sản phẩm của hãng Biết sản lượng của mỗi hãng phụthuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau :

5 1