TOÁN CHO vật lý Anhchị hãy trình bày đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vô hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép và tích hỗn hợp. Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên. 2 Anhchị hãy trình bày khái nhiệm về hàm điều hòa tr

Anhchị hãy trình bày đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vô hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép và tích hỗn hợp. Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên.Giải một số bài tập sau: 1 a) Chứng minh rằng: hàm có hai cực điểm bậc 2 tại z = 1 ± 2i và một cực điểm đơn tại vô cực. Với z là số phức. b) Cho ( x,y ) = 1 x + y  x4 y4 + 6x2y2 .Tìm hàm giải tích f ( z) sao cho   Re( f) Tìm Im(f ) . 2 Chứng minh rằng: , nếu t > 0 và C: z  3 ; z là số phức 3 Cho u(x,y) = ex (xsiny – y cosy) a) Chứng tỏ u(x,y) là hàm điều hòa trên một miền D thích hợp. b) Tìm một hàm giải tích f(z) = u(x,y) +iv(x,y), giải tích trên miền D c) Biểu diễn f trong câu (b) theo biến z 2 Anhchị hãy trình bày khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức; tích phân của hàm biến phức; chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

==================

TIỂU LUẬN TOÁN CHO VẬT LÝ

Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Xuân Hòa

Học viên thực hiện:

Thái Bình, tháng 11/2021

môc lôc

Trang 1

Môc lôc 2

I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vô hướng; tích có

hướng;tích véc tơ kép và tích véc tơ hỗn hợp Lấy ví dụ về một số đại

lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên.

4

I.2.Khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức; tích phân của hàm

biến phức; chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức.

5

II.1.a)Chứng minh rằng: hàm





5

f(z)

(z 2z 5) có hai cực điểm bậc 2

7

II.1.b)Cho ( x,y) = 1 - x + y ) = 1 - x + y) = 1 - x + y  x 4 - y) = 1 - x + y 4 + 6x 2 y) = 1 - x + y 2 8

II.2 Chứng minh rằng:



   

zt 2 C

dz sin t

2 i z 1

, nếu t > 0 và C: z  3 ;

z là số phức

9

II.3) Cho u(x,y) = e -x (xsiny – y cosy)

a) Chứng tỏ u(x,y) là hàm điều hòa trên một miền D thích hợp.

10

b) Tìm một hàm giải tích f(z) = u(x,y) = 1 - x + y ) +iv(x,y) = 1 - x + y ), giải tích trên miền D 10

C.Kết luận

Tài liệu tham khảo

11 12

Đề tài số 3:(cho 3 học viên Vũ Văn Viễn ,Bùi Thanh Thanh, Đỗ Thị Bích)

I 1 - Anh/chị hãy trình bày đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vô hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép và tích hỗn hợp Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên

2- Anh/chị hãy trình bày khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức; tích phân của hàm biến phức; chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức

II Giải một số bài tập sau:

1- a) Chứng minh rằng: hàm





 

5

(z 3i) f(z)

(z 2z 5) có hai cực điểm bậc 2 tại z = 1 ± 2i

và một cực điểm đơn tại vô cực Với z là số phức

b) Cho ( x,y ) = 1 - x + y  x4 - y4 + 6x2y2 Tìm hàm giải tích f ( z) sao cho   Re( f) Tìm Im(f )

2- Chứng minh rằng:



   

zt 2 C

dz sin t

2 i z 1 , nếu t > 0 và C: z  3 ; z là số phức 3- Cho u(x,y) = e-x (xsiny – y cosy)

a) Chứng tỏ u(x,y) là hàm điều hòa trên một miền D thích hợp

b) Tìm một hàm giải tích f(z) = u(x,y) +iv(x,y), giải tích trên miền D

c) Biểu diễn f trong câu (b) theo biến z

A.MỞ ĐẦU Đại số vectơ là một nhánh của toán học chịu trách nhiệm nghiên cứu các hệ

phương trình tuyến tính, vectơ, ma trận, không gian vectơ và các phép biến đổi tuyến tính của chúng Nó liên quan đến các lĩnh vực như kỹ thuật, giải phương trình vi phân, phân tích chức năng, nghiên cứu hoạt động, đồ họa máy tính, trong số những thứ khác Một lĩnh vực khác đã áp dụng đại số tuyến tính là vật lý, bởi vì thông qua đó đã được phát triển để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, mô tả chúng thông qua việc sử dụng các vectơ Điều này đã làm cho có thể hiểu rõ hơn về vũ trụ

Các mặt tham số được nghiên cứu chúng thường được sử dụng bởi các lập trình viên để tạo ra những bộ phim hoạt hình Trong phân cảnh của bộ phim hoạt hình Antz bên đây, công chúa Bala đang cố gắng giải cứu cho Z khi anh đang bị mắc kẹt trong một giọt sương Một mặt tham số ở đây được mô tả bởi giọt sương và chuyển động của giọt sương được mô tả bởi một họ các mặt tham số Một trong các lập trình viên thiết kế bộ phim hoạt hình này đã nói rằng: “Phải chi tôi đã quan tâm nhiều hơn đến các mặt tham số khi mà tôi còn tham gia lớp học về giải tích Nó chắc chắn đã rất hữu ích cho tôi ngày hôm nay ”

Trong tiểu luận này, chúng em nghiên cứu các vấn đề sau

1 Khái niệm véc tơ; tích vô hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép và tích hỗn hợp Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên

2.Khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức; tích phân của hàm biến phức; chuỗi

Trang 3

B

và lý thuyết thặng dư trong số phức

B.NỘI DUNG

I LÝ THUYẾT

I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vô hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép

và tích véc tơ hỗn hợp Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên.

I.1.1)Khái niệm véc tơ: Vectơ là một đoạn thẳng có

hướng AB

Độ dài (hay độ lớn, hay mô đun) của AB bằng độ

dài của đoạn

thẳng AB

o Phương của AB là phương của đường thẳng AB ,

đường thẳng AB còn gọi là giá của AB

Chiều của AB là chiều từ gốc A đến ngọn B

Các vectơ là biểu diễn đồ họa của cường độ vectơ; điều đó có nghĩa là, chúng là các đoạn thẳng, trong đó điểm cuối cùng của chúng là đầu mũi tên.Chúng được xác định bởi mô-đun hoặc độ dài phân đoạn của chúng, ý nghĩa của

chúng được biểu thị bằng đầu mũi tên và hướng của chúng theo

dòng mà chúng thuộc về Nguồn gốc của một vectơ còn được gọi

là điểm ứng dụng

Trong hệ tọa độ Đề các Véc tơ a b c; ;

  

được xác định

a a i a j a k

b b i b j b k

c c i c j c k

Véc tơ i j k; ;

  

được gọi là véc tơ đơn vị

Ví dụ A(4;6; 3( cm))

I.1.2)Tích vô hướng của 2 véc tơ: a b 

os( , )

a b a b c  a b 

; Tính giao hoán : a b b a   

I.1.3)Tích có hướng của 2 vecto :a b ^

i j k

b b b

a b a b i a b a b j a b a b k

x

B (D) γ(f)

Tính chất : a b ^ a b  sin( , )a b 

; a b ^ b a ^ = -b a 

 

 

I.1.4)Tích véc tơ kép: a^ ( )b c  ta có a  ^ ( ) b c    b a c    ( )  c a b    ( )

I.1.5)tích véc tơ hỗn hợp:

.( ) ( ) ( )

        

I.1.6)Ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên.

Các đại lượng vật lý là đại lượng véc tơ:

Vận tốc : v ; Gia tốc: a ; Lực: F

; Động lượng: p

VD : Cường độ điện trường: E

: Một điện tích điểm q sinh ra quanh nó 1 điện trường được biểu diễn bởi một vec tơ cường độ điện trường E phụ thuộc vào điểm xét

3

q

r





trong đó r là bán kính véc tơ rxi y j zk  

Tương tự :Cảm ứng từ: B H

trong đó H

là cường độ từ trường

I.2.Khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức; tích phân của hàm biến phức; chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức.

I.2.1) Khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức:

Giả sử cho hàm giải tích f(z) = u(x,y) + iv(x,y) trên miền D của mặt phẳng z Khi

đó hàm f(z) có trên miền D đạo hàm liên tục mọi cấp.Từ đây dễ dàng suy ra hàm u, v

có trên miền D đạo hàm riêng liên tục mọi cấp và đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều kiện

; (1)

    Suy ra :

Cộng 2 vế những đẳng thức này ta nhận thấy

     

Được gọi là phương trình Laplace ký hiệu

  

  gọi là toán tử Laplace Vậy hàm u có đạo hàm riêng liên tục cấp 2 trên D thỏa mãn phương trình Laplace gọi

là hàm điều hòa trên D như vậy phần thực của hàm giải tịch trên D là hàm điều hòa Chú ý : tương tự như trên ,nếu lấy vi phân đẳng thức đầu tiên của (1)theo y và đẳng thức thứ 2 của (1) theo x rồi trừ cho nhau

ta cũng có ∆v = 0 tức là phần ảo của hàm

giải tích là hàm điều hòa

Trang 5

I.2.2) Khái nhiệm về tích phân của hàm biến phức:

Cho γ(t) = x(t) + iy(t) trong đó t Є [a,b] là một đường cong trơn từng khúc trong D với a,b] là một đường cong trơn từng khúc trong D với điểm đầu A và điểm cuối B và f(z) = u(z) + iv(z) là một hàm liên tục trên D Giả sử T là một phép chia đoạn [a,b] là một đường cong trơn từng khúc trong D với a,b] thành n phần nhỏ bởi các điểm chia

a =t0 < t1 < t2 < t3 ……< tn = b

Gọi |T| = max{|tk – tk-1|, k = 1,2,3…n} là đường kính của phép chia T

Đặt ∆z(k) = γ(k) - γ(k-1) lấy 1 điểm tùy ý ζk Є [a,b] là một đường cong trơn từng khúc trong D với tk-1 , tk] đặt ck = γ(ζ) và lập tổng tích phân

Ϩ ζ(f) = 1

( )

n

k k k

f c z







Nếu tồn tại giới hạn lim|T|→0 Ϩ ζ(f) = α không phụ thuộc vào cách chọ điểm ζk và cách chia [a,b] là một đường cong trơn từng khúc trong D với a,b] tức là ∀ɛ > 0, ∃Ϩ > 0 , ∀T : |T| < Ϩ; ∀ζk Є [a,b] là một đường cong trơn từng khúc trong D với tk-1 , tk] → |Ϩ ζ(f) – α| < ɛ thì giới hạn đó gọi là tích phân của hàm f trên γ và ký hiệu là

( )

f z dz





chú ý : z’(t) = x’(t) + i y’(t) và u(x(t),y(t)) = u(z(t))

nên ta có công thức tính tích phân như sau:

a





I.2.3) Khái nhiệm về chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức.

I.2.3a)Chuỗi trong số phức

Cho dãy các hàm biến phức u1(z), u2(z), u3(z), xác định trong miền E Ta gọi biểu

thức: 1

( )

n n

u z







= u1(z) + u2(z)+ … + un(z) (1)

là chuỗi hàm biến phức.Tổng của n số hạng đầu tiên là:

Sn(z) = u1(z) + u2(z) +⋅⋅⋅+ un(z) được gọi tổng riêng thứ n của chuỗi hàm (1) Nó là một hàm phức xác định trong miền

E Nếu tại z = z0, chuỗi 1 0

( )

n n

u z







hội tụ thì z0 được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm (1) Nếu tại z = z0, chuỗi 1 0

( )

n n

u z







không hội tụ thì z0 được gọi là điểm phân kì của chuỗi hàm (1) Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của nó Nếu gọi f(z) là tổng của chuỗi (1) tại điểm hội tụ z thì f(z) hiển nhiên là một hàm biến phức xác định trong miền hội tụ G

I.2.3b) Lý thuyết thặng dư trong số phức.

Giả sử z0 là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) ,tức là giả sử f là một hàm giải tích

trên miền 0 < |z – z0| < R xét tích phân

( )

2  i L f z dz

trong đó L là chu tuyến đóng nằm trong hình tròn |z – z0| < R hướng thèo chiều ngược kim đồng hồ và chứa điểm z0 Theo định lý Cauchy tích phân trên không phụ thuộc

vào đường cong L gọi là thặng dư của f tại điểm z0và ký hiệu là

 

0

1 Res ( )

2

z z

L

f z f z dz

i



hay

0

1

i



II BÀI TẬP

II.1.a)Chứng minh rằng: hàm





5

f(z)

(z 2z 5) có hai cực điểm bậc 2

tại z = 1 ± 2i và một cực điểm đơn tại vô cực Với z là số phức

Giải:

f(z)

Hàm f(z ) có 2 điểm bất thường z = 1 + 2i và z = 1 – 2i

Xét

5

( 3 ) lim 1 2 ( ) lim 1 2

( 1 2 ) ( 1 2 )

z i



    

   

=

1 2

( 3 ) (1 5 ) 2876 1900 719 475

( 1 2 ) (4 ) 1 4 4

 

Do đó z = 1 + 2i là điểm cực bậc 2 của f(z)

Tương tự ta cũng có z = 1 +2i là điểm cực bậc 2 của f(z)

+ Tại z = ∞

Đặt

2

5

2

1 3

( )

i

wi



Rõ ràng w = 0 là điểm bất thường của hàm f(

1

w)

Trang 7

Xét

f

Do đó w = 0 là điểm cực đơn của f(

1

w) hay z = ∞ là điểm cực đơn của hàm f(z)

II.1.b)Cho ( x,y) = 1 - x + y  x 4 - y 4 + 6x 2 y 2

Tìm hàm giải tích f (z) sao cho   Re( f)

Tìm Im(f )

II.2 Chứng minh rằng:



   

zt 2 C

dz sin t

2 i z 1 , nếu t > 0 và C: z  3 ; z là số phức Giải:

Trang 9

II.3) Cho u(x,y) = e -x (xsiny – y cosy)

a) Chứng tỏ u(x,y) là hàm điều hòa trên một miền D thích hợp.

Giải:

Vậy u(x,y)có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm ( x,y) và thỏa phương trình Laplace nên u(x,y) là hàm điều hòa

b) Tìm một hàm giải tích f(z) = u(x,y) +iv(x,y), giải tích trên miền D

Giải:

c) Biểu diễn f trong câu (b) theo biến z

Giải:

Trang 11

C: KẾT LUẬN

Đại lượng Vật Lý là các thể hiện về mặt định lượng bản chất Vật Lý có thể đo lường được của một vật thể hay hiện tượng tự nhiên như khối lượng, trọng lượng, thể tích, vận tốc, lực …Khi đo đạc một đại lượng, giá trị đo được là một số theo sau bởi một đơn vị đo, ta gọi đơn vị này là thứ nguyên của đại lượng Vật Lý

Các đại lượng Vật Lý có thể được chia thành hai loại:

o Đại lượng vô hướng: Xác định một đại lượng vô hướng nghĩa là xác định giá trị của

nó Những đại lượng vô hướng không âm như: khối lượng, thể tích, thời gian, … cũng

có những đại lượng vô hướng mà giá trị của nó có thể âm hay dương như: điện tích điện thế,…Tính toán các đại lượng vô hướng tuân theo các qui tắc đại số thông

thường

o Đại lượng hữu hướng (vectơ): Xác định một đại lượng hữu hướng nghĩa là xác định: điểm đặt,phương, chiều và độ lớn của vec tơ đặc trưng cho đại lượng đó Những đại

lượng hữu hướng trong Vật Lý như: lực F , vận tốc v , gia tốc a , động lượng p , …

Tính toán các đại lượng hữu hướng tuân theo các qui tắc của tính véctơ

Các khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức; tích phân của hàm biến phức; chuỗi

và lý thuyết thặng dư trong số phức cũng rất cần dùng cho Vật lý khi ngiên cứu

Trên đây chúng em trình bày những hiểu biết của mình về môn TOÁN CHO VẬT LÝ

Tiểu luận không tránh khỏi thiết sót, kính mong sự đóng góp ý kiến của bạn đọc

và thầy cô giáo để chúng tôi hoàn thiện hơn

Trận trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn đã giúp chúng em hoàn thành tiểu luận này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Bài giảng môn TOÁN CHO VẬT LÝ giảng viên TS:VŨ XUÂN HÒA

Trường Đại học Khoa Học- ĐH Thái Nguyên

PHỤ LỤC

I LÝ THUYẾT

I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vô

hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép và tích véc tơ

hỗn hợp Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có

các tính chất của véc tơ trên

II BÀI TẬP

Trang 13