BÀI tập CHUYÊN đề học PHẦN TOÁN CAO cấp a3

Tuần hoàn chất lỏng với tốc độ 2gal/phút.. Gọi t là thời gian lượng phân bón ở bể T1 và T2 thay đổi.. Hỏi bao lâu thì chúng ta thấy bể T1 có lượng phân bón ít nhất bằng 1 nửa số còn lại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

KHOA MÔI TRƯỜNG & KHOA HỌC TỰ NHIÊN

STT Họ và Tên Mã số sinh viên Phần thực hiện

tập 4

2

Ghi chú: -A,B là các mục lớn trong bài

A XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ THỰC TẾ

Bài toán 1: Trộn ở trong hai bể

Bể T1 và T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn là nước trong khi trong bể T2 chúng ta thả 150 lb phân bón vào Tuần hoàn chất lỏng với tốc độ 2gal/phút Gọi t là thời gian lượng phân bón ở bể T1 và T2 thay đổi Hỏi bao lâu thì chúng ta thấy bể T1 có lượng phân bón ít nhất bằng 1 nửa số còn lại ở bên T2?

Bài toán 2: Mạch điện

Tìm I1 và I2 trong mạch.Giả sử tại thời điểm t=0 thì I1=0 và I2=0

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài toán 1:

Bể T1 và T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn là nước trong khi trong bể T2 chúng ta thả 150 lb phân bón vào Tuần hoàn chất lỏng với tốc độ 2gal/phút Gọi t là thời gian lượng phân bón ở bể T1 và T2 thay đổi Hỏi bao lâu thì chúng ta thấy bể T1 có lượng phân bón ít nhất bằng 1 nửa số còn lại ở bên T2?

y ’= Lượng vào/ phút- lượng ra/phút = y 2 2

2

100 – y2

2100Tương đương với :

Với nửa bên trái:

-Điện áp giảm trên cuộn cảm: V=L di 1

dt =L I ’=1 I ’= I ’1 1 1

-Điện áp qua cuộn cảm: R (I - I1 1 2)=4(I1- I ) (I - I là vì I và I chạy ngược chiều 2 1 2 1 2

nhau qua cuộn cảm)

Theo định luật Kirchhoff: Tổng điện áp trên mạch bằng điện áp chung

Nên ta có : I1’+4(I1- I ) =122

=> I ’=12- 4 I +4 I (1)1 1 2

Với nửa bên phải:

-Điện áp qua cuộn cảm:

Bài tập 5 : (Thái Quang Hòa)

y’’’ + 2y’’ - y’ - 2y = 0

Lời giải:

Ta có phương trình dạng đặc trưng là:

K= 1 (nghiệm đơn)

K^3 + 2K^2 – K - 2 =0 K= -1 ( nghiệm đơn)

K= -2 ( nghiệm đơn)

Suy ra 2 nghiệm của phương trình thuần nhất là:

y1=e^x; y2=e^(-x) ; y3=e^(-2x)

vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

Y(tq)= C1 e^x + C2 e^(-x) + C3 e^(-2x)

x2= 1

2

y = y1 = c1 e^t + c2 e^2t y2 = y1’ = y’ = c1e^t + 2 c2 e^2t Bài tập 7 : (Huỳnh Tấn Phát) y’’ + 2y’ - 24y = 0 y’’ = -2y’ + 24y Lời giải: y1’ = y2 y2’ = 24y1 – 2y2 y’ = Ay = 0 1

24 -2 Det ( A - I ) = - 1

24 -2-

= ^2 +2 - 24 =0  1 = 4 2 = -6 A - I = 0 TH1: -4x1 + x2 = 0 => x1= 1, x2 = 4 Th2: 6x1 + x2 = 0 => x1=1, x2 = -6 x1 = 1

4

x2= 1

-6

y = y1 = c1 e^4t + c2 e^-6t

y2 = y1’ = y’ = 4 c1e^4t - 6 c2 e^-6t

Bài tập 8 : (Trần Văn Nhân)

4y’’-15y’-4y=0

Lời giải:

4y’’-15y’-4y=0

=>y’’ = 15/4 y’+y

Y1’=y2’

Y2’= y1+ 15/4 y2

Y=y1= 1 C1 e^4t +C2 e^-1/4t

Y2=4C1 e^4t - 1/4C2 e^-1/4t

Bài tập 9 : (Lê Hoàng Hải)

−3 λ+2=0

 [λ=1

λ=2

 Với λ=1 ta có hệ phương trình:

det(A – λ I)=0  [−4−λ 0

0 −3−λ]=0  λ2

Bài tập 13: (Trần Thị Thu Hiền)

−4=0  [ λ =2 (nghi m ệ đ n ơ )

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=1 là:

- Lấy phép biến đổi Laplace vào hệ phương trình vi phân ta có :

Bài tập 20: (Lê Gia Bảo)

, ta có : y’ = ʎ xe ʎ t Nếu bỏ hàm mũ, ta được : Ax = x ʎ

Do đó ta có phương trình đặc trưng như sau :

 m1.y1 = -(k1+k2)y1 -k2y2’’

 m1.y1 +(k1+k2)y1 +k2y2=0’’

+1=0  [ λ =i

− =9 0  [ λ=3

−1=0  [ λ=1

+4 λ+8=0

 Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

{x =C1.i e (−2−2 i)t +C2 (−i).e (−2+2 i)t

Lời giải:

 Ta có phương trình đặc trưng:

det(A – λ I)=0  [−6− λ −1

−9 − −6 λ]=0  λ2