(LUẬN văn THẠC sĩ) một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

3 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach.. Ý tưởng của phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình v

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ OANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 TS NGUYỄN THÀNH CHUNG

2 PGS TS HOÀNG QUỐC TOÀN

HÀ NỘI−2016

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach 5

1.2 Không gian Sobolev và định lý nhúng 6

1.2.1 Không gian Lp 7

1.2.2 Không gian H ¨older 8

1.2.3 Không gian Sobolev và định lý nhúng 9

1.3 Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không gian Banach 12

1.4 Tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach Điều kiện Coercive của phiếm hàm 14

1.5 Cực trị của phiếm hàm Điều kiện tồn tại cực trị của phiếm hàm 16

1.6 Điều kiện Palais - Smale và định lý qua núi 17

2 Ứng dụng trong phương trình vi phân 20 2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên đối với phương trình vi phân 20

2.2 Bài toán giá trị riêng 30

2.3 Áp dụng định lý qua núi 32

Kết luận 40

LỜI NÓI ĐẦU

Trước hết ta có một nhận xét rằng: Trong giải tích cổ điển, một trongnhững ứng dụng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm là khảo sát bài toáncực trị Mà bài toán cực trị thường xuất hiện khi nghiên cứu các lớp bài toánquan trọng khác của toán học, trong đó bao gồm cả những mô hình toán họccủa các bài toán vật lý và cơ học Để thấy được mối liên hệ này, ta hãy lấymột ví dụ đơn giản sau đây:

Ta xét phương trình f (x) = 0 trong khoảng I ⊂ R, trong đó f (x) là hàmliên tục trong I Để giải quyết bài toán này người ta có thể đưa về tìm cựctrị địa phương của một hàm khả vi F (x), x ∈ I thoả mãn

F0(x) = f (x), x ∈ I

Tuy nhiên việc tìm cực trị địa phương của một hàm khả vi F (x) như vậy

là một bài toán không tầm thường Vì vậy để tìm nghiệm của phương trình

f (x) = 0 trong khoảng I người ta có thể tìm các điểm tới hạn của hàm F (x)trong I, tức là các điểm x0 mà tại đó F0(x0) = 0 Đây cũng chính là ý tưởngcủa phương pháp biến phân

Trong nhiều phương pháp của giải tích phi tuyến ứng dụng vào phươngtrình vi phân không tuyến tính thì phương pháp biến phân tỏ ra có hiệu quảhơn cả

Ý tưởng của phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình vi phândựa trên cơ sở lý thuyết điểm tới hạn của phiếm hàm khả vi trong khônggian Banach, mà nội dung của nó là đưa bài toán đang xét về việc nghiêncứu một phiếm hàm F khả vi liên tục theo một nghĩa nào đó trong không

gian Banach được chọn thích hợp (gọi là phiếm hàm năng lượng liên kết vớibài toán) sao cho điểm tới hạn của phiếm hàm F là nghiệm yếu của bài toánđang xét Một phương pháp thông thường để tìm điểm tới hạn của phiếmhàm là tìm điểm cực tiểu của phiếm hàm đó Tuy nhiên việc tìm điểm cựctiểu của một phiếm hàm không hề đơn giản Vì vậy, trong nhiều trường hợpngười ta quan tâm đến các điểm yên ngựa (không phải là điểm cực tiểu) củacác phiếm hàm năng lượng Việc tìm các điểm yên ngựa của một phiếm hàmđược dựa vào các nguyên lý biến phân.

Mục đích của luận văn này là làm quen với một số vấn đề của giải tíchphi tuyến, cụ thể là phương pháp biến phân và ứng dụng để khảo sát sự tồntại nghiệm của một vài lớp phương trình vi phân thường không tuyến tính.Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương:

Chương 1 Dành cho việc trình bày lại một số khái niệm, nội dung quantrọng được sử dụng trong luận văn

Chương 2 Trình bày ứng dụng của phương pháp giải tích phi tuyến vàophương trình vi phân

Hà Nội, ngày 09 tháng 10 năm 2016

Nguyễn Thị Oanh

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trích dẫn các khái niệm, định lý và một sốkiến thức bổ trợ được sử dụng trong luận văn

của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach

Mục tiêu chính của phần này là trình bày lại các khái niệm đạo hàm trongkhông gian Banach và các tính chất quan trọng của chúng

Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm Gâteaux) Giả sử X là không gian Banach,

x ∈ X, f : X → R (hoặc C) là một phiếm hàm xác định trên X Ta nói fkhả vi Gâteaux tại điểm x nếu tồn tại ánh xạ δf (x) tuyến tính và liên tụcsao cho

trên tập X.

Định nghĩa 1.1.2 (Đạo hàm Fréchet) Cho X là không gian Banach, f làphiếm hàm xác định trên X Ta nói phiếm hàm f khả vi mạnh hay khả viFréchet tại điểm u ∈ X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục, ký hiệu

là f0(u) ∈ X∗ (X∗ là không gian đối ngẫu của X) và được gọi là đạo hàmFréchet của f tại u sao cho

f0 : X → X∗,

là đạo hàm Fréchet của f

Nếu f : X → R khả vi Fréchet tại x thì f khả vi Gâteaux tại x Nếu

f : X → R có đạo hàm Gâteaux δf liên tục trong X thì f khả vi Fréchet và

f ∈ C1(X, R)

Điểm u ∈ X thỏa mãn phương trình f0(u) = 0 được gọi là điểm tới hạn,ngược lại nếu f0(u) 6= 0 thì u được gọi là điểm đều ( hay điểm chính quy)của f Số β ∈ R được gọi là giá trị tới hạn của f nếu tồn tại một điểm tớihạn u ∈ X sao cho

f (u) = β, f0(u) = 0

Trong phần này ta nhắc lại một số định nghĩa, tính chất quan trọng củakhông gian Lp(Ω), không gian H ¨older , không gian Sobolev và định lý nhúng

Khi đó Lp(Ω) là không gian Banach với chuẩn

kf kp = kf kLp (Ω) =



Z

trong đó µ là độ đo Lebesgue

Định nghĩa 1.2.2 Với p ∈ [1, +∞) ta định nghĩa

L1loc(Ω) = {f : f ∈ Lp(K) , ∀K ⊂⊂ Ω}

Kí hiệu (K ⊂⊂ Ω) nghĩa là K là tập compact trong Ω

Nhận xét 1.2.1 • Nếu Ω là tập hợp mở trong Rn và p ∈ [1, +∞) thì

C0∞(Ω) trù mật trong Lp(Ω)

• Nếu meas(Ω) < +∞ (meas(Ω) ký hiệu độ đo Lebesgue của Ω) và

1 ≤ q < p ≤ ∞ thì không gian Lp(Ω) nhúng liên tục vào Lq(Ω), được

kí hiệu là Lp(Ω) ,→ Lq(Ω) và ta có

kf kq ≤ (meas(Ω))1p − 1

q.kf kp, ∀f ∈ Lp(Ω)

Mệnh đề 1.2.1 • Giả sử dãy {fn} hội tụ đến f trong Lp(Ω) Khi đó

tồn tại dãy con {fnk} hội tụ đến f hầu khắp nơi và tồn tại g(x) ∈

Lp(Ω), g(x) ≥ 0 sao cho

|fnk (x)| ≤ g (x) hầu khắp nơi trong Ω

• (Định lý hội tụ trội) Giả sử {fn} là dãy các hàm khả tích trên Ω,

fn → f hầu khắp nơi và giả sử tồn tại g(x) ∈ L1(Ω) , |fn(x)| ≤ g (x).Khi đó

Trước hết, ta có định nghĩa không gian H ¨older

Định nghĩa 1.2.3 (Không gian H ¨older) Hàm f : Ω → R (hoặc C) đượcgọi là liên tục H ¨older với chỉ số γ (0 < γ ≤ 1) nếu tồn tại hằng số c > 0 saocho bất đẳng thức

|f (x) − f (y)| ≤ ckx − ykγ

Ω

thỏa mãn với mọi x, y ∈ Ω

Tập hợp tất cả các hàm liên tục H ¨older với chỉ số γ được ký hiệu là

C0,γ Ω

C0,γ Ω
là không gian Banach theo chuẩn

kf kC0,γ(Ω) = sup

x∈Ω

|f (x)| + sup

x,y∈Ω x6=y

|f (x) − f (y)|

kx − ykγ .

Định nghĩa 1.2.4 (Không gian Sobolev) Giả sử Ω = (a, b) là một khoảng

Trong không gian W1,p(Ω) ta xác định chuẩn

Không gian W1,2(Ω) được trang bị với chuẩn

kukW1,2 (Ω) =kuk2L2 + ku0k2L2

1/2,

Khi đó W1,p là không gian Banach và W1,2(Ω) là không gian Hilbert

Mệnh đề 1.2.2 (Xem [3] Bổ đề 8.1) Giả sử f ∈ L1loc(Ω) thỏa mãn

Mệnh đề 1.2.3 (Xem [3] Mệnh đề 8.3) Giả sử u ∈ Lp, trong đó 1 < p < ∞.Khi đó các khẳng định sau là tương đương

• u ∈ W1,p,

• Tồn tại một hằng số C thỏa mãn

Z

Ω

uϕ0

.

x (t) +

.

y (t)



.

y (t) ... tầmthường.

Chứng minh Bước Chứng minh tốn biên (2.1) có nghiệm yếu

Để chứng minh tồn nghiệm yếu toán (2.1) ta áp dụngnguyên lý cực tiểu phi? ??m hàm khả vi

Xây dựng phi? ??m hàm Euler... Courant chứng minh vào năm

1950 cho phi? ??m hàm xác định khơng gian hữu hạn chiều Sau đó,năm 1973, A Ambrossetti P Rabinowitz (xem [1]) chứng minh định lýqua núi cho phi? ??m hàm khả vi liên... trọngtrong vi? ??c nghiên cứu tồn nghiệm yếu cho lớp toán biên

đối với phương trình hệ phương trình