LVCH.00400- TT.PDF

Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới hiểu được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của s

Mở đầu

Số phức được xuất hiện vào thế kỉ XIX do nhu cầu của Toán học về giải những phương trình Đại số Từ khi ra đời số phức đã thức đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới hiểu được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán hình học phẳng là một vấn đề khó, đặc biệt là sử dụng số phức trong phép biến đổi tròn, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của Toán học

Trong chương trình giảng dạy toán ở phổ thông chủ yếu xét hai dạng biến đổi trong mặt phẳng là phép dời hình và phép biến đổi đồng dạng (phép vị tự) Tuy nhiên ta vẫn thường gặp các vấn đề về liên quan tới đường tròn, khiến học sịnh gặp nhiều bỡ ngỡ Do vậy, với sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn cùng với sự yêu thích tìm hiểu

về Số phức với hình học phẳng tôi đã chọn đề tài “Số phức và phép

biến đổi tròn”

Mục đích chính của luận văn là hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức Tổng hợp, phân tích các kiến thức giúp học sinh thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán Hình học phẳng nói riêng Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học

Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1 Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức

Chương 2 Số phức và biến đổi tròn

Do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc

sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này

Chương 1 Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức

1.1 Số phức và các phép toán trên số phức

1.1.1 Số phức

Tập hợp R các cặp (có thứ tự) số thực (x, y) với các phép

toán cộng và nhân xác định bởi:

(x, y) + (u, v) = (x + u, y+ v);

(x, y).(u, v) = (xu - yv, xv + yu);

gọi là tập hợp các số phức, kí hiệu là C, C cùng hai phép toán trên

làm thành một trường

1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức Dạng lượng giác của số phức

a Biểu diễn hình học số phức

Trong mặt phẳng, kí hiệu E, ta lấy một Hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy thì mỗi điểm M của E hoàn toàn được xác định bởi

cặp số (x, y) là tọa độ của nó Khi đó số phức z = x + yi được gọi là

tọa vị của M và viết M(z) và mặt phẳng E được gọi là mặt phẳng

phức

Mỗi điểm M  E xác định vectơ OM Nếu M có tọa độ (x, y) thì vectơ OMcũng có tọa độ (x, y) Vì vậy nếu M có tọa vị z

thì cũng nói vectơ OM có tọa vị z và viết OM z   Ta có, nếu

 

u(z), v w thì u  v có tọa vị z + w, ku có tọa vị kz

b Dạng lượng giác của số phức

Ta có z  z cos    isin     , arg z và gọi là dạng lượng giác của số phức z

1.2 Đường thẳng trong mặt phẳng phức

1.2.1 Tích vô hướng Tích lệch

a Tích vô hướng

Cho u z , v w     thì số 1  

zw zw

2  chính là tích vô hướng của hai vectơ u  OM và v  OP

b Tích lệch

Cho OM z , OP w     Số thực i  

zw zw

2  được gọi là tích lệch của hai số phức z, w và kí hiệu là  z, w 

OM,OP z, w zw zw

2

1.2.2 Phương trình đường thẳng

Mọi đường thẳng trong mặt phẳng phức có thể xác định bởi phương trình:

 

   

z z 1

trong đó       1, 0

Nếu đặt   u

u , ta được

 

 u  

z z 2 u

trong đó u,   0

Các phương trình (1) và (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng

Ví dụ 1.2.3 Cho  có phương trình z  zo  u  z  zo

u và một

điểm M(z) Tính tọa vị của M’ là điểm đối xứng với M qua 

1.2.3 Một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng phức

Bài toán 1.1 Cho tam giác ABC, các điểm A’, B’, C’ lần lượt chia

các đoạn thẳng BC, CA, AB theo tỉ số k, l, m Khi nào A’, B’, C’ thẳng hàng? Khi A’, B’, C’ không thẳng hàng tính tỉ số diện tích các tam giác A’B’C’ và ABC

Bài toán 1.2 Cho tam giác ABC và ba điểm A’, B’, C’ lần lượt trên

BC, CA, AB và chia các đoạn thẳng này theo các tỉ số k, l, m Các đường thẳng AA’ và BB’ cắt nhau tại P, các đường thẳng BB’, CC’ cắt nhau tại Q, các đường thẳng CC’, AA’ cắt nhau tại R Hỏi khi

nào AA’, BB’, CC’ đồng quy (tức khi P, Q, R trùng nhau) Khi P, Q,

R không trùng nhau, tính tỉ số diện tích hai tam giác PQR và ABC

Bài toán 1.3 Cho tam giác AoA1A2 nội tiếp đường tròn tâm O bán

kính R Cho P là một điểm tùy ý của mặt phẳng Gọi Po, P1, P2 theo

thứ tự là hình chiếu vuông góc của P xuống các đường thẳng A1A2,

A2Ao, AoA1

Chứng minh rằng Po, P1, P2 thẳng hàng khi và chỉ khi P thuộc đường

tròn đã cho

1.3 Đường tròn trong mặt phẳng phức

1.3.1 Phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng phức, xét đường tròn có tâm tại điểm có tọa vị z0 và có bán kính R > 0, tức là tập các điểm M(z) mà |z - z0| =

R Do R > 0 nên

|z - z0| = R    2

z z z z R

zz z z z z z z R 0

1.3.2 Phương trình chứa đường thẳng và đường tròn

Xét phương trình dạng

trong đó a, p ,  , a    0

1) a = 0,   0: đó là phương trình đường thẳng 2) a  0:

ap

  : đó là phương trình đường tròn tâm có tọa vị

-a

 và bán kính 1

R ap a

ap

  : phương trình đó xác định một điểm (có khi gọi là

“đường tròn điểm”)

ap

  : không có z  nào thỏa mãn phương trình đó (tuy nhiên, cũng đôi khi nói phương trình đó là phương trình của một

“đường tròn ảo” tâm tại điểm có tọa vị - a)

1.3.3 Chùm đường thẳng và chùm đường tròn

Cho hai đường thẳng và “đường tròn” phân biệt xác định bởi

a zz 2 ; z p (1)

a zz 2 ; z p (2)

Xét tập hợp các đường xác định bởi

l a zz    2 ; z   p  l a zz    2 ; z   p  0

trong đó l1, l2 là hai số thực không đồng thời triệt tiêu; viết cách

khác, ta có:

 l a1 1 l a2 2 zz      2 l1 1 l2 2,

1 1 2 2

z   l p  l p  0

Ta nói đó là phương trình của chùm đường thẳng - “đường

tròn” xác định bởi hai đường đã cho (với mỗi cặp số thực (l1, l2),

l  l  0, phương trình đó xác định một đường của chùm

1.3.4 Tỉ số kép của bốn điểm phân biệt

Cho bốn điểm Mj(zj), j = 1, 2, 3, 4 phân biệt trong mặt

phẳng Tỉ số kép của bộ bốn điểm M1, M2, M3, M4 là số kí hiệu là

 M , M , M , M1 2 3 4và được xác định như sau

M , M , M z z z z

M , M , M , M :

M , M , M z z z z

Số phức đó cũng kí hiệu là  z ,z ,z ,z1 2 3 4

1.4 Tỉ số kép của bốn điểm phân biệt

1.3.5 Một số công thức và bài toán cần thiết

Bài toán 1.4 Trong mặt phẳng cho bốn đường tròn k1, k2, k3, k4 Cho

X1, Y1 là giao điểm chung của k1, k2; X2, Y2 - của k2, k3; X3, Y3 - của

k3, k4; X4, Y4 - của k4, k1 Chứng minh rằng nếu X1, X2, X3, X4 nằm

trên một đường tròn hoặc đường thẳng thì Y1, Y2, Y3, Y4 cũng nằm

trên một đường tròn hoặc đường thẳng

Bài toán 1.5 Từ các đỉnh của tá giác ABCD nội tiếp trong đường

tròn tâm O ta dựng các đường tiếp tuyến với đường tròn đó và chúng

cắt nhau tạo ra tứ giác PQRS

Chứng minh rằng những điểm giữa các đường chéo của tứ giác

PQRS nằm cùng đường thẳng với tâm đường tròn

Cho hình chữ nhật ABCD Từ một điểm K bất kỳ trên đường tròn

ngoại tiếp hình chữ nhật hạ những đường thẳng vuông góc xuống

AB, CD, AD và BC và cắt các cạnh này lần lượt tại P, Q, R, S

Chứng minh PR vuông góc với QS và PS vuông góc với QR

Chương 2 Số phức và biến đổi tròn

2.1 Phép nghịch đảo

2.1.1 Định nghĩa

Cho điểm J thuộc mặt phẳng E và cho số thực k  0thì biến đổi

2

k

f : E \ J, M M' f(M), JM' JM

JM

được gọi là biến đổi nghịch đảo tâm J hệ số k của mặt phẳng

2.1.2 Tính chất

(1) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp, nghĩa là nếu f biến

M thành M’ thì biến M’ thành M

(2) Điểm bất động của biến đổi nghịch đảo f tâm J, hệ số k:

k < 0 thì f không có điểm bất động;

k > 0, k = r2 (r > 0) thì tập các điểm bất động là đường tròn

 tâm J bán kính r, gọi là đường tròn nghịch đảo của f

(3) Ảnh của đường thẳng, đường tròn qua biến đổi nghịch đảo f tâm J, hệ số k của mặt phẳng E

(4) Biến đổi nghịch đảo bảo toàn tính chất trực giao của các đường thẳng, đường tròn

(5) M, N là hai điểm tùy ý của mặt phẳng không trùng với tâm J của phép nghịch đảo f với hệ số k thì hai điểm M’ = f(M), N’ = f(N) cũng thế và độ dài đoạn thẳng

k

M ' N ' MN

JM.JN

2.1.3 Một số bài toán về phép nghịch đảo

Bài toán 2.1 Cho biến đổi nghịch đảo f tâm J hệ số k Xác định các

đường tròn C mà f(C) đồng tâm với C, f(C)  C

Bài toán 2.2 Cho đường thẳng , các đường tròn C, C 1 , C 2 Tìm

phép nghịch đảo biến C thành , phép nghịch đảo biến C 1 thành C 2

Bài toán 2.3 Chứng minh rằng nếu tứ giác nồi ABCD là tứ giác nội

tiếp thì

AC BD = AB CD + AD BC

Cho n - giác đều AoA1A2 An-1 nội tiếp đường tròn  và điểm M

trên cung nhỏ A Ao 1 (M khác Ao, A1) Kí hiệu MAk = dk (k = 0,1,

, n - 1) Hãy chứng minh”

d d  d d  d d   d d 2.2 Biến đổi tròn

2.2.1 Định nghĩa biến đổi đồng dạng

Phép biến đổi đồng dạng hệ số k > 0 của mặt phẳng là phép

biến đổi f mà f(M)f(N) = kMN Nếu xét vị tự của tỉ số 1

k thì

g f bảo toàn độ dài đoạn thẳng nên nó là phép dời hình h

1

g f    h f g h

2.2.2.Một số tính chất của phép biến đổi đồng dạng

a) Biến đổi đồng dạng là biến đổi afin nên nó bảo toàn tính chất thẳng hàng của các điểm và từ định nghĩa suy ra rằng biến đổi

đồng dạng là biến đổi bảo giác

b) Nếu f là một song ánh của mặt phẳng lên chính nó mà biến đường tròn thành đường tròn thì f là biến đổi đồng dạng

c) Biến đổi đồng dạng loại một bảo toàn tỉ số đơn của ba điểm phân biệt (không buộc thẳng hàng) Biến đổi đồng dạng loại hai

biến tỉ số đơn của ba điểm thành số phức liên hợp

d) Song ánh f của mặt phẳng lên chính nó bảo toàn tỉ số đơn của bộ ba điểm phân biệt tùy ý là một biến đổi đồng dạng loại một,

còn nếu qua song ánh g biến tỉ số đơn thành số phức liên hợp thì g là

biến đổi đồng dạng loại hai

2.3 Biến đổi tròn

2.3.1 Mặt phẳng bổ sung điểm xa vô tận

P được gọi là mặt phẳng bổ sung điểm  Trong P ta có thể

phát biểu thống nhất, chẳng hạn:

- Qua ba điểm phân biệt trong P có một và chỉ một đường

tròn nghĩa rộng

- Bốn điểm phân biệt trong P khác thuộc một đường tròn

nghĩa rộng khi và chỉ khi tỉ số kép của bốn điểm đó là số thực

Ví dụ 2.3.1

a) Chứng minh rằng tích phép nghịch đảo f1 tâm J1 hệ số k1

với phép nghịch đảo f2 tâm J2 hệ số k2 không phải là một phép nghịch đảo và tích đó là một biến đổi đồng dạng khi và chỉ khi J1

J2 và lúc này, tích f2 f1 là một phép vị tự tâm J1 với hệ số vị tự 2

1

k

k

b) f là một biến đổi nghịch đảo tâm J, hệ số k, g là một biến

đổi đồng dạng hệ số l Chứng minh rằng gfg-1 là biến đổi nghịch

đảo tâm g(J) hệ số kl2

2.3.3 Công thức biến đổi tròn

Coi E là mặt phẳng phức, xét các ánh xạ f và g của

 

trong đó     , , , mà   0

2.3 Một số bài toán về biến đổi tròn

Bài toán 2.10 Chứng minh rằng đường tròn Euler của tam giác ABC

(tức là “đường tròn 9 điểm” của ABC) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và với ba đường tròn bàng tiếp của tam giác đó (bốn điểm tiếp xúc đó được gọi là bốn điểm Feuerbach của ABC)

Lời giải

Kí hiệu , C, C a theo thứ tự là đường tròn Euler, đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp trong góc A của ABC Cần chứng minh  tiếp xúc với C và C a

Nếu tam giác ABC cân, AB = AC thì ba đường tròn đó tiếp xúc nhau tại trung điểm của BC Sau đây giả sử AB  AC

C

I'a I' D

M B

I

N P

H A

Gọi I, Ia là tâm của C và C a, I’, I’a là hình chiếu vuông góc của chúng xuống BC Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC,

CA, AB Đường phân giác AIIa của góc BAC cắt BC tại D và gọi

H là hình chiếu vuông góc của A xuống BC (Hình 2.8)

Dễ thấy BI’ = CI’a (= p - b, p là nửa chu vi ABC, b = AC) và

từ đó M là trung điểm của I’I’a Mặt khác, I, Ia chia điều hòa AD (do

BI, BIa là phân giác trong và ngoài của góc ABC) nên I’, I’a chia

điều hòa HD Vậy MI '2  MI '2a  MH.MD

Gọi f là biến đổi nghịch đảo tâm M, hệ số MI’2 thì f giữ bất

biến C, giữa bất biến C a (vì C và C a trực giao với đường tròn nghịch

Hình 2.8

đảo), còn f    là một đường thẳng  đi qua D (do  đi qua M,

H mà f(H) = D) Vì  đi qua N, P nên  đi qua f(N), f(P) mà ta có

MN.Mf N  MPMf P  MI' nên các điểm N, f(N),

P, f(P) cùng thuộc một đường tròn Do đó các đường phân giác của góc tạo bởi cặp đường thẳng (NP, f(N)f(P)) song song hay vuông góc với các đường phân giác của góc tạo bởi cặp đường thẳng (MN, MP)

(hai đường thẳng “đối song”), tức đường phân giác của góc tạo bởi

cặp đường thẳng  BC,   song song hay vuông góc với AD (để ý

rằng NP//CB, MN//BA, MP//CA), (Hình 2.9) Từ đó dễ thấy rằng

AD là một đường phân giác của góc tạo bởi BC và  tức  là đường thẳng qua D tiếp xúc với C và Ca Vậy 1 

f

   tiếp xúc với 1 

f



C C và với 1 

a

f



C C

f(N) f(P)

M

N P

Hình 2.9

Kết luận

Luận văn với đề tài “Số phức và phép biến đổi tròn” có các

nội dung chủ yếu sau:

1 Dùng số phức thiết lập phương trình đường tròn và đường thẳng trong mặt phẳng, nghiên cứu chùm đường tròn - đường thẳng

Sau đó giải một số bài toán hình học phẳng về đường thẳng và đường

tròn

2 Dùng số phức định nghĩa khái niệm về tỉ số kép của bộ bốn điểm tùy ý trong mặt phẳng Ta có kết quả nếu bốn điểm cùng

nằm trên một đường thẳng hoặc cùng nằm trên một đường tròn thì tỉ

số kép đó là số thực Vận dụng điều đó vào giải bài toán chứng minh

bốn điểm thẳng hàng hoặc cùng thuộc một đường tròn Điều đó cũng

là lí do để ta nghiên cứu đồng thời các đường thẳng và đường tròn

trong mặt phẳng

3 Để nghiên cứu đồng thời các đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng ta bổ sung cho mặt phẳng một điểm vô tận  Mỗi

đường thẳng trong mặt phẳng hợp với điểm được coi là một

đường tròn (nghĩa rộng) Sau đó ta nghiên cứu mặt phẳng bổ sung

điểm vô tận bởi các phép biến đổi tròn (phép biến đổi bảo toàn các

đường tròn và đường tròn nghĩa rộng) Ta đã chứng minh rằng một

song ánh bảo toàn tỉ số kép là một phép biến đổi tròn để giải một số

bài toán hình học phẳng

Có thể nói rằng, số phức tuy không phải là nội dung mới của Toán học song nó là một vấn đề rất mới mẻ và tương đối phức tạp

với các em học sinh bậc THPT, đặc biệt là ứng dụng số phức vào các

bài toán phép biến đổi tròn Luận văn có thể là tài liệu giúp các em

học sinh THPT muốn tìm hiểu về các ứng dụng của số phức trong

hình học

Tài liệu tham khảo

[1] Vi Quốc Dũng (1994), Các phép biến hình, ĐHSP Thái Nguyên [2] Vi Quốc Dũng (1994), Quỹ tích , ĐHSP Thái Nguyên

[3] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp số phức với hình học

phẳng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội

[4] Nguyễn Văn Mậu (2009), Chuyên đề số phức và áp dụng, NXB

ĐH Quốc Gia Hà Nội

[5] NguyÔn Méng Hy (2003), C¸c phÐp biÕn h×nh trong mÆt ph¼ng,

NXB Gi¸o dôc

[6] Đoàn Quỳnh (1997), Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo

dục