(LUẬN văn THẠC sĩ) tính duy nhất của hàm m điều hòa dưới trong các lớp cegrell

Tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell 28... Mục đích của luận văn này là chứng minh các điều kiện đủ cho tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới.. Kết quả đầu ti

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

 -NGUYỄN THỊ HÀ

TÍNH DUY NHẤT

TRONG CÁC LỚP CEGRELL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2019

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

ii

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2019

Tác giả

Chương 1 CÁC LỚP CEGRELL ĐỐI VỚI HÀM m - ĐIỀU HÒA

1.2 Hàm m - điều hòa dưới và toán tử Hessian phức 5

1.3 Các lớp Cegrell đối với các hàm m - điều hòa dưới 9

Chương 2 TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI

2.1 Tính chất của toán tử Hessian phức 14

2.3 Nguyên lý so sánh trong các lớp Em p( )W 22 2.4 Tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell 28

Lớp các hàm m - điều hòa dưới được S.Y Li giới thiệu lần đầu tiên

vào năm 2004 ([10]) Sau đó, năm 2005, Z Blocki ([2]) đã nghiên cứu miền xác định của toán tử Hessian (dd u c )m Ùw n-m Blocki đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm liên tục của bài toán Dirchlet thuần nhất trong hình cầu đơn vị của n

C Gần đây, L.H Chinh ([6]) dựa theo các lớp Cegrell đã mở rộng các lớp năng lượng hữu hạn cho các hàm m - điều hòa dưới

Mục đích của luận văn này là chứng minh các điều kiện đủ cho tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới Vì hai hàm đa điều hòa dưới có thể bằng nhau trên một tập mở của một miền mà không nhất thiết trùng nhau (chẳng hạn u º 0 và v z( )= max(log | z |, 0)), nên một cách tự nhiên có thể đặt thêm các giả thiết trên các độ đo Hessian của ,u v để đảm bảo rằngu º v

trên toàn bộ W Kết quả đầu tiên theo hướng này là Định lý của Bloom và Levenbeng về tính duy nhất của việc mở rộng các hàm đa điều hòa dưới cực đại Định lý này cũng tìm thấy áp dụng trong một số bài toán về thuyết đa thế

vị có trọng (xem [3]) Các kết quả tiếp theo, chúng ta chú ý đến

“Tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell”

Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số tính chất của các lớp năng lượng U.Cegrell của hàm

m - điều hoà dưới và tính duy nhất của hàm m - điều hoà dưới trong các lớp Cegrell

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 38trang, được viết dựa trên các tài liệu [1], [6] và [8],

vi

trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài

liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan một số kết quả về các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hoà dưới và toán tử Hessian Một số kết quả về các

lớp Cegrell của hàm m - điều hoà dưới

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kết quả về tính duy nhất của hàm m - điều hoà dưới trong các lớp Cegrell và áp dụng

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

CHƯƠNG 1 CÁC LỚP CEGRELL ĐỐI VỚI HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI 1.1 Hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử W là tập mở trong £ Hàm u :W® - ¥ + ¥é , )

êë

gọi là điều hòa dưới trên W nếu nó nửa liên tục trên trên W và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Î W tồn tại d > 0 sao cho với mọi 0£ r £ d ta có

Kí hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên W là SH W( )

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử W là tập mở trong £ , , u v Î SH( )W Khi đó:

( )i max( , )u v là hàm điều hòa dưới trên W

( )ii Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón, nghĩa là nếu

u v Î SH W và a b > , 0 thì a u + b v cũng thuộc SH W( )

Định lý 1.1.3 Giả sử W là miền bị chặn trong £ , u Î SH( )W Khi đó:

( )i Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên W thì u là hằng số trên W ( )ii Nếu lim sup ( ) z®V u z £ 0 " Î ¶ W thì V u £ 0 trên W

Định lý 1.1.4 Giả sử W là tập mở trong £ và u là hàm nửa liên tục trên trên W Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

( )i u là hàm điều hòa dưới trên W

( )ii Với mọi w Î W, tồn tại d > 0 sao cho D( ,w d> 0)Ì W và với mọi

0 £ r < d, 0£ t < 2p ta có

2 2 2

viii

trong đó D( ,w d> 0)= {z Î W: z - w £ d} là đĩa đóng tâm w bán kính d

( )iii Với mọi miền D compact tương đối trong W và h là hàm điều hòa trên trên D, liên tục trên D thỏa mãn

= Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên W

1.2 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử Hessian phức

Ký hiệu b là dạng Kahler chuẩn trong £ và n W là một miền

m - siêu lồi bị chặn trong £ , tức là tồn tại một hàm n m - điều hòa dưới liên tục f :W® ¡ - sao cho {f < c}Ð W,  với mỗi c < 0

Ta kết hợp (1,1) - dạng thực a trong £ với các ma trận Hermitian n [ a jk]

p

= å Ù Khi đó dạng K¨ahler chính tắc b được kết  hợp với ma trận đồng nhất I Ta có ( )n k a k Ùb n k- = S A±k( )b n

Định nghĩa 1.2.1 C ho a là (1,1) - dạng thực trên W Ta nói rằng a là m

-dương tại một điểm cho trước P Î W nếu tại điểm này ta có:

dưới nếu nó là hàm điều hòa dưới và ddc u Ùa1 Ùa m-1Ùb n m- ³ 0,với mỗi (1,1) - dạng m - dương a1, ,a m-1

Ký hiệu SH m( )W là tập hợp các hàm m - điều hòa dưới trên W, SH m- ( )W

là tập hợp các hàm m - điều hòa dưới âm trên W Các hàm m - điều hòa dưới có các tính chất cơ bản sau đây:

Mệnh đề 1.2.3 ([3]) Cho W là tập mở trong Cn Khi đó ta có:

a Î là họ các hàm m - điều hòa dưới trên W, bị chặn đều địa

phương Khi đó (supaÎA u a)*Î SH m( )W Ở đây * u là chính qui hóa trên của

xác định tốt và gọi là m - Hessian phức của u

Đối với các hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa phương u1, ,  (¼ u p p £ m) ta

có thể định nghĩa bằng quy nạp m -dòng dương đóng

Bổ đề 1.2.5 Cho u1, ,¼ u k (k £ m) là hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa phương trong W và T là m - dòng dương đóng song bậc (n - p n, - p)(p ³ k) Khi đó ta có thể định nghĩa bằng qui nạp m -dòng dương đóng

dd u c 1Ùdd u c 2Ù Ù¼ dd u c k ÙT ,

và tích đối xứng, nghĩa là

dd u c 1Ùdd u c 2 Ù Ù¼ dd u c p ÙT = dd u c s(1)Ùdd u c s(2) Ù¼ Ùdd u c s( )p ÙT

đối với mỗi hoán vị   : 1, ,s { ¼ k} {® 1, ,¼ k}

Nói riêng, độ đo Hessian của j Î SH m( )W ÇL loc¥ được xác định bởi

H m( )u = (dd c u1)m b n m-

Mệnh đề 1.2.6 Cho T là m - dòng dương đóng song bậc (n - 1,n - 1) trên

W u v,  là các hàm m - điều hòa dưới bị chặn trong W sao cho u v £,    0 và

Hơn nữa nếu lim ( ) 0,

z v z

® ¶ W = thì ta có đẳng thức .

u là một dãy đơn điệu bị chặn địa phương của hàm

m - điều hòa dưới trong W hội tụ hầu khắp nơi tới   uÎ SH m( )W ÇL loc¥ và f i

là dãy đơn điệu bị chặn địa phương của m - hàm nửa liên tục hội tụ hầu khắp nơi tới hàm f nửa liên tục bị chặn địa phương Khi đó

1

( c j m)  n m ( c )m n m i

xii

1.3 Các lớp Cegrell đối với hàm m - điều hòa dưới

Định nghĩa 1.3.1 Một miền W bị chặn trong Cn được gọi là m - siêu lồi nếu tồn tại một hàm vét cạn, m - điều hòa dưới liên tục âm r đối với W, tức là {r < c}Ð với mọi W c < 0

Từ bây giờ, nếu không có phát biểu khác, ta hiểu W là miền m - siêu lồi bị

Giả sử  u   EÎ m(W),   u jÎ SH m- (W)ÇL¥loc, u j ¯u Cố định hàm kiểm tra

c với giá compact K Ð và W 0

(

  Î  Em W)

h Với mỗi j ta lấy n sao cho j

u ³ n h trong một lân cận của K Đặt j j = max( ,u n h j j ) Î  Em0( )W, ta thấy j j ¯ Îu Em(W), và H m(j j) là hội tụ yếu đến H m( )u theo định nghĩa của Em(W) Chú ý u j = j j gần K , kéo theo c ( ) c ( )

®

ò H m u j ò H m u Bây giờ, giả sử KÌ SH m- ( )W thử lại (i) và (ii) Lấy u Î K Ta cần chứng minh   Îu   Em( )W Lấy dãy u j Î  Em0( )WÇC( )W sao cho u j ¯ trên W Điều u

này có thể thực hiện được nhờ áp dụng định lý chính quy hóa toàn cục Xét tập compact tương đối B Ð  W và với mỗi j đặt

vì H m( )h hội tụ yếu theo (ii) j W

Định nghĩa 1.3.5 -p năng lượng (p > 0) của j Π Em0( )W được xác định bởi

đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Trong trường hợp p > 1, lặp lại phép

chứng minh của Mệnh đề 1.2.6, ta nhận được

Kết hợp (1.3) và (1.4) ta có điều phải chứng minh W

Bổ đề 1.3.7 Cho   ,u v Π Em0( )W và 0< p < 1. Nếu T là m - dòng dương đóng

Từ đó và chú ý (u < v+ t) Ì (v < t) suy ra điều phải chứng minh W

Mệnh đề 1.3.8 Giả sử 0< p < 1 Khi đó tồn tại C > p 0 sao cho

từ đó suy ra kết quả cần chứng minh W

CHƯƠNG 2

TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI

TRONG CÁC LỚP CEGRELL

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày việc tổng quát hóa Định lí 01

và Định lí 02 đối với lớp các hàm m - điều hòa dưới Khó khăn ở đây là hạn chế của hàm m - điều hòa dưới trên các đa tạp phức không nhất thiết phải là điều hòa dưới trên đa tạp với số chiều thấp hơn Để hoàn thành việc tổng quát hóa, chúng tôi sử dụng nguyên lý so sánh đối với hàm m - điều hòa dưới (Bổ

đề 2.4.5) Công cụ này cho phép làm yếu giả thiết đã cho trong Định lí 0.2 về tính lồi chỉnh hình của K (xem Định lí 2.5.3) thành tính lồi phân hình Tương

tự, chúng tôi chứng minh Định lý 2.5.4 và phát biểu tương tự Định lí 0.1 đối với các hàm m - điều hòa dưới u v, trùng nhau trong một lân cận của W\ K

và compact K có thể giao nhau với biên ¶W Cuối chương là hai ứng dụng của các định lý chính vào bài toán của miền hội tụ yếu đối với các dãy các hàm m - điều hòa dưới

2.1 Tính chất của toán tử Hessian phức

Trong phần này ta chứng minh toán tử Hessian phức H m( )u được xác định tốt với mọi

a < infc < supW(| c |+A z| |2)< b

Xét j 1 = max(c + A z| |2 - b B, y) và j 2 = max(A z| |2 - b B, y), ở đó B

đủ lớn sao cho y < B a- b trong suppc

dd u Ù¼ Ùdd u Ùb - , giới hạn yếu này không phụ thuộc vào việc chọn dãy ( ) p

Bây giờ giả sử ( )p

j j

v là dãy khác cũng giảm tới p,  1,

u p = ¼m Ta có

Từ điều này ta kết luận 1 2

h p = ¼ m q = ¼ N là dãy hội tụ tới u p

trong W như trong định nghĩa của q Em( ).W

H v và v p j = g gần K p j W

Hệ quả 2.1.3 Giả sử u1,¼,u m Î Fm( )W và u1j,¼,u m j Î Em0( )W ÇC( )W giảm tới u1,¼,u m tương ứng sao cho

Khi đó với mỗi 0

-ò Điều này kéo theo khối lượng toàn phần của Q bé hơn

hoặc bằng khối lượng toàn phần của (- h H) m( )u do đó các độ đo này bằng

dd g Ùdd g Ù Ù¼ dd g Ùb - hội tụ yếu đến một độ đo Radon dương

mà không phụ thuộc vào cách chọn dãy ( ) i

ò ta có điều phải chứng minh W

Ta có kết quả sau đối với các lớp Em p( ),W p> 0 nhờ lập luận tương tự

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử , u v Î Em p( ),W p > 0 và T là m - dòng dương đóng có dạng T = dd c j 1Ù Ù¼ dd c j m-1Ùb n m- , trong đó j j Î Em p( ),W "j Khi đó

j j

1lim infsup

m

j j

Ù < ¥

Vì w j ] w khi j ® ¥ nên w Î Fm( )W Hơn nữa, vì w = u trên U, nên

Trong phần này trình bày nguyên lý so sánh trong lớp Em p( ),W p > 0

Định lý 2.3.1 Giả sử , u v Î Em p( ),W p > 0 sao cho u £ trên W Khi đó v

Chứng minh Cố định h Î E0( )W ÇC( )W Độ đo H m( )v triệt tiêu trên các tập

m - cực Như trong chứng minh của Mệnh đề 3.12 [6] với mọi r , ta có

Chứng minh (Phản chứng) Giả sử tồn tại z Î W0 sao cho v z( )0 < u z( 0).Lấy

h là hàm vét cạn của W và chọn R > 0 sao cho z- z0 £ R," Î W Cố z định e đủ bé sao cho h z( )0 < - e R2 Hàm vét cạn

2 0

được suy ra từ lập luận tương tự trong trường hợp m = n

Bổ đề 2.3.5 Giả sử u w, 1, w m-1 Î Fm( )W sao cho v Î SH-( )W ÇC( )W Đặt

Chứng minh Cho u Î SH- ( )W và U Ð là một tập con mở tùy ý Đặt W

w j = (sup{j Î SH- ( ) :W j £ max(u,- j)tr ênU} )*

Vì W là miền 1- siêu lồi, nên 0

1( ),

j

w Î E W u £ w j+1 £ w j trong W và w j là hàm điều hòa trong W\ U Bằng cách ước lượng tiêu chuẩn sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thấy rằng độ đo Laplacian tổng cộng của w j là bị chặn đều W

y Î E W sao cho u- y G = const trên G

Chứng minh Cho  là hàm vét cạn m – điều hòa dưới liên tục, âm, bị chặn đối với W Chọn 0 < d1 < d2 sao cho

dd y w W

2.4 Tính duy nhất của hàm m điều hòa dưới trong các lớp Cegrell Định nghĩa 2.4.1 Cho W là một miền trong £nvà K là tập con compact của

W Khi đó K được gọi là:

( )a Lồi phân hình trong W nếu với mọi z Î W\ K đều tồn tại một hàm chỉnh hình f trên W sao cho ( )f z Ï f K( )

( )b Lồi chỉnh hình trong W nếu với z Î W\ K , đều tồn tại một hàm chỉnh hình f trên W sao cho supK f < f z( )

Bổ đề 2.4.2 Cho W là miền bị chặn £ n và K Ì W là tập con lồi chỉnh hình compact của W Giả sử G Ð là tập con mở của W W và f là một hàm chỉnh hình trên W sao cho 0Ï f K( ) và supK f < 1 Khi đó với mỗi e Î (0,1) và với mọi lân cận mở U của K sao cho G U ¹ Æ\ đều tồn tại

c j đa điều hòa dưới chặt trên G U\

Để chứng minh kết quả chính ta cần bổ đề sau

Bổ để 2.4.3 Cho WÌ D là miền bị chặn trong £ n và K Ì D là tập con lồi phân hình, compact của D Giả sử u v, Î SH( )W sao cho

u v là các hàm điều hòa dưới nên suy ra l2n( )X > 0 Do đó tồn tại a Î X

sao cho l 2n(U ÇX)> 0 với mỗi lân cận U của a Vì K là lồi phân hình trong W, nên tồn tại hàm chỉnh hình và một hình cầu đủ bé chứa a thỏa mãn:

( )i ( ) f B Çf K( ) = f;

¹

¶ trên B Do đó, ta có thể chọn hình cầu đủ bé B ¢ compact tương đối trong B (có thể chứa a) sao cho : (iii ) l2n(X ÇB¢)> 0

¶ không triệt tiêu trên B ¢.

Xét ánh xạ: F :W® £nđược xác định bởi: F z( ) = ( ( ), , ,f z z2 z n) Như vậy F là vi phôi địa phương từ B ¢tới F B ¢( ) Do đó theo ( )iii , suy ra

Áp dụng Định lý Fubini ta có l2n( )X¢ = Mâu thuẫn với 0 l 2n(X¢ >) 0

Định lý 2.4.4 Cho W là một miền m –siêu lồi bị chặn trong £n và K Ì W

là tập con lồi phân hình compact của W Giả sử u v Î, Fm( )W thỏa mãn: