Tuyển tập 90 đề thi thử đại học Môn Toán39198

XIN G I T I QUÝ TH Y CÔ VÀ CÁC EM H C SINH YÊU QUÝ TRÍCH ĐO M T SIÊU

TUY N T P Đ THI TH Đ I H C MÔN TOÁN (T P 2)

Đ S 2

I PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH đi

Câu đi m) Cho hàm s y = x 3

x 2



 có đ th (C)

Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s

Tìm các giá tr th c c a m đ đ ng th ng (d): y = x + m c t (C) t i hai đi m phân bi t A, B n m hai phía tr c tung sao cho góc AOB nh n (O là g c t a đ )

Câu đi m) Gi i ph ng trình cos2x + sin2x cosx (1 sinx)tanx = 0 x

Câu đi m) Gi i b t ph ng trình  

2

2 3

x 4x 9x 6

1 2

Câu đi m) Tính tích phân I = 2   

3

sin2x cos x 1 2x cos x 1 ln x

dx sin x x ln x



Câu đi m) Cho hình lăng tr đ ng ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân t i C, c nh AB = 2a và góc ABC = 300 M t ph ng C AB t o v i m t đáy ABC m t góc 600 Tính th tích c a kh i lăng tr ABC A B C

và tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB và CB theo a

Câu đi m) Cho các s th c a, b, c thu c đo n [0; 1] Ch ng minh r ng:

1 a 1 b 1 c

b c 1 c a 1 a b 1 1

II PH N RIÊNG đi m) Thí sinh ch c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)

A Theo Ch ng trình Chu n

Câu a đi m) Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có đ nh A n m trên đ ng

th ng : x y + 1 = 0 Đ ng chéo BD có ph ng trình x y 7 = 0 Xác đ nh t a đ các đ nh hình ch nh t

đã cho bi t r ng I là trung đi m c a CD và đ nh D có hoành đ là m t s nguyên

Câu a đi m) Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho m t c u (S): 2 2 2

x y z 2x 4y 4z16

và đ ng th ng : x y z 5



 

 Vi t ph ng trình P ch a đ ng th ng  và c t m t c u (S) theo m t đ ng tròn có bán kính b ng 4

Câu a đi m) Anh Thùy và ch Hi n cùng ch i Boom Online Vì mu n tăng thêm s c h p d n cho trò ch i cũng nh s c g ng c a anh Thùy cũng nh ch Hi n, ch đã nghĩ ra m t trò cá c c: n u ai th ng tr c 3 ván thì th ng tr n và ng i thua ph i n p cho ng i th ng 3K Bi t r ng s tr n ch i t i đa là ván xác su t mà

ch Hi n th ng m i tr n là 0,4 và không có tr n hòa Đ ng th i khi có ng i th ng đúng ván r i thì trò cá c c

d ng l i Tính xác su t mà ch Hi n s l y đ c 3K t v th ng c c này?

B Theo ch ng trình Nâng cao

Câu b đi m) Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD G i M là trung đi m c a c nh

BC N là đi m trên c nh CD sao cho CN = 2CD Bi t đ ng th ng AN có ph ng trình x y và đi m M

có t a đ M 11 2

2

 ;  Tìm t a đ đi m A

Câu 8.b đi m) Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho b n đi m A(1; 2; 3), B( 2; 3; 1), C(0; 1; 1) và D( 4; 3; 5) L p ph ng trình m t ph ng (P) bi t P đi qua hai đi m A, B đ ng th i C và D cách đ u (P) Câu b đi m) Tính môđun c a s ph c z, bi t r ng 3

z 12i z và z có ph n th c d ng

I Đ S 2

Câu 1

T p xác đ nh: \ {2}

S bi n thiên:

Chi u bi n thiên:

5 y

x 2





v i m i x

Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ( ; 2) và (2; +)

Gi i h n và ti m c n:

xlim y xlim y 1

    ;

x 2

lim y

  ;

x 2

lim y

 = 

Đ th hàm s nh n đ ng th ng y = 1 làm ti m c n ngang và nh n đ ng th ng x = 2 làm ti m c n đ ng

B ng bi n thiên:

Đ th :

Đ th (C) c a hàm s c t tr c tung t i 0 3

2



 ; , c t tr c hoành t i đi m ( Đ ng th i (C) nh n giao đi m c a

hai đ ng ti m c n I làm tâm đ i x ng

Đ nh h ng: Ch c ch n là trong quá trình x lí bài toán thì ph i dùng đ n ph ng trình hoành đ giao đi m c a (C) v i (d) Th y ph ng trình hoành đ giao đi m có d ng b c 2 nên vi c dùng đ nh lí Viét là đi u đ ng nhiên

G i hai nghi m c a ph ng trình là x1, x2 thì theo bài ra, x1 và x2 ph i trái d u  ac < 0

Ti p t c x lí góc AOB nh n Đ ý r ng AOB chính là góc h p b i hai véct OA và OB đ ng th i th y r ng trong quá trình gi i thì ta ch a s d ng đ nh lí Viét, v y nên ta c n nghĩ ra m t liên h đ i x ng A B đ áp d ng

đ c đ nh lí Viét Rõ ràng, AOB nh n  cos AOB > 0 (1) Thêm m t chút gia v vào hai v : nhân c hai v v i OA.OB thì (1)  OA.OB > 0 đây chính là m t liên h đ i x ng v i A, B giúp ta s d ng đ c đ nh lí Viét! Bài gi

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (C) và (d):

x 3

x 2

2

+) d c t (C) t i hai đi m phân bi t A, B n m hai phía tr c tung

 (*) có hai nghi m phân bi t x1, x2 th a mãn x1x2 < 0

 P = 2m + 3 < 0  m < 3

2

 (**)

Lúc này theo đ nh lí Viét ta có: 1 2

1 2

x x 2m 3



 +) Không m t tính t ng quát, gi s A(x1; x1 + m) và B(x2; x2 + m)

OA.OB 0 x x   x m  x m  0 2x x m x x m  0

x

O

1

2

y

I

3

1

x 2

y'

y

1

    2

K t h p v i (**) ta k t lu n đ c các giá tr m c n tìm là m 2 3

2



 ; 

C n nh : AOB nh n  OA.OB 0

Câu 2

n xét: Ph ng trình d ng khá thu n, ta bi n đ i tanx = sin x

cos x và quy đ ng lên thì đã đ c ngay d ng

ph ng trình quen thu c v i h ng gi i là phân tích nhân t chung:

cosx(cos2x + sin2x cosx) (1 sinx)sinx = 0 (*)

Đ n đây ta dùng máy tính đ nghi m thì th y r ng (*) có các nghi m là 0;

4

 ; 3

4

 ;

2 sau khi quy đ ng

ta m i th nghi m, ch không th nghi m tr c khi quy đ ng B i vì n u th nghi m tr c khi quy đ ng thì có

th làm m t đi m t s nghi m c a ph ng trình t đó làm m t đi s đánh giá khách quan h n v nhân t c a

ph ng trình đó

Đ ý nh t là c p nghi m đ i nhau ta u tiên xét tr ng h p đ i nhau ho c bù nhau h n kém nhau

2 tr c),

ta nh n xét:

4

 là nghi m c a ph ng trình cos x 1 0

2

3 4

 là nghi m c a ph ng trình

1

2

  D đoán r ng cosx 1

2



1 cosx

2



  đ u là nhân t c a ph ng trình  nhân t chung

V y ta đi theo h ng tách nhân t chung cos2x = cos2x sin2x

(*)  cos2x.cosx + 2sinx.cos2x cosx2 sinx + sin2x = 0

 cos2x.cosx + sinx(2cos2x 1) (cosx2 sin2x) = 0

Đ n đây thì nhân t chung cos x đã xu t hi n r i! Vi c d đoán nhân t c a chúng ta thành công m mãn  Bài gi

Đi u ki n: x 

2 k k (1)

Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:

cos2x + 2sinxcosx cosx (1 sinx).sinx

cos x = 0

 cosx.cos2x + 2sinx.cos2x cos2x (1 sinx)sinx = 0

 cos2x.cosx + sinx(2cos2x 1) (cos2x sin2x) = 0

 cos2x.cosx + sinx.cos2x cos2x = 0

 cos2x.(cosx + sinx 1) = 0 

k

 





cos cos sin

cos

Ki m tra l i đi u ki n (1), ta k t lu n đ c ph ng trình có hai h nghi m là x =

4 +

k

2 và x k k Câu 3

Đ nh h ng: C m giác đ u tiên khi g p ph i b t ph ng trình này ch c là cũng khá ng p  Ch a v i đ ng

th tìm đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình đã nhé 

Không khó đ tìm đ c đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình là x  0

B c ti p theo là b c bi n đ i ph ng trình M t đi u ph i th a nh n là b t ph ng trình này khá hóc khi mà ngay trong b c quy đ ng cũng r c r i (mu n quy đ ng đúng ph i chia hai tr ng h p là x > 0 và x < 0), trong khi đó l i không đánh giá đ c x nh vào b t ph ng trình đã cho Không sao N ng đã có mũ m a đã có ô còn

gi i b t ph ng trình đi u ki n ph c t p đã có ph ng trình lo Th t v y ta đi gi i ph ng trình t ng ng

v i b t ph ng trình trên sau đó dùng b ng xét d u đ k t lu n nghi m c a b t ph ng trình

2 3

0

Ta đi tìm nghi m c a t s và m u s c a g(x) =    

2 3

x 4x 3x 2 1 1

    và l p b ng xét d u

c a g(x)

Nghi m c a m u s đã tìm trong đi u ki n xác đ nh

Nghi m c a t s là nghi m c a ph ng trình

x 4x 9x 6  x 4x 3x 2  1 1

Tr c tiên xin đ c phá cái v là các d u ngo c đ ph ng trình đ c d nhìn h n

3

4x 9x 6x 1  4x 3x 2x 1 (*)

Đ n đây chúng ta có gì V trái là m t đa th c b c ba V ph i là m t căn th c b c 3 V y gi i theo cách thông

th ng là l p ph ng hai v s ch ng thu đ c k t qu t t đ p gì Đ t n ph cũng không kh quan, b i n u đ t thì ch đ t đ c 3 3 2

t 4x 3x 2x 1 mà không bi u di n đ c l ng còn l i theo bi n t thì cũng không n

D ng nh vi c b t c trong các ph ng pháp khác cùng v i hình th c c a ph ng trình m t v b c 3, m t v

ch a căn b c đã g i và ép ta đi theo ph ng pháp dùng hàm s này

Ta s nh m tính dùng hàm s b c ba, b ng cách thêm vào hai v m t l ng đúng b ng l p ph ng c a v ph i (*) Đi u này cũng không có gì quá g ng ép, b i khi c ng thêm vào hai v m t l ng là 4x33x22x 1 thì  bên v ph i xu t hi n s h ng có lũy th a cao nh t là 8x3 = (2x)3, là l p ph ng c a m t l ng đ p

(*)  8x312x28x 2 4x  33x22x 1 34x33x22x 1

V y hàm s ta dùng trong bài toán này đó là f t t3 t là hàm đ ng bi n)  c n bi n đ i v trái thành d ng (ax + b)3 ax b Đ tìm a b thì ta dùng ph ng pháp h s b t đ nh:

8x 12x 8x 2  axb  axb a x 3a bx  3ab a x b b

3 2 2 3

b 1 3ab a 8

 









Vi c còn l i c a là trình bày ra gi y n a thôi nhé 

Bài gi

Đi u ki n: 3x 4x 23x 2 1 1 x 4x 23x 2 0x 0.

2 3

0

Ta xét d u c a v ph i b ng cách tìm nghi m c a t s và m u s :

Nghi m c a m u s : x = 0

Nghi m c a t s là nghi m c a ph ng trình

x 4x 9x 6  x 4x 3x 2   1 1

3

Xét hàm s f(t) = t3 t trên Ta có f t = 3t2 + 1 > 0 v i m i t  f t đ ng bi n trên

M t khác (1) có d ng f 2x 1   f34x33x22x 1 2x 1 34x33x22x 1

8

 

L p b ng xét d u c a v ph i (**):

D a vào b ng xét d u, ta k t lu n đ c t p nghi m c a b t ph ng trình là

Bài t p c ng c :

Gi i ph ng trình 2x2x 1  32x29x 1 11x 1   đáp s x = 0 và x = 2)

2 Gi i ph ng trình 5x 4x 25x 3  5 7x3 32x29x 6 đáp s x = 1 và x = 8 17

8

 )

Gi i b t ph ng trình 3 2 2 3 2

2x 6x 33x 35x 4x  5x  đáp s 3 2 x 5 97

12

7 1 9



 



)

Câu 4

Đ nh h ng: L i m t tích phân b t đ nh n a ch a t ng h p nhi u lo i hàm (hàm h u t hàm logarit hàm l ng giác) V i c n không có gì đ c bi t và m u s ch a h n h p nhi u hàm, nên vi c dùng tích phân t ng ph n cũng không có tác d ng gì T t nhiên đ nh h ng đ u tiên c a chúng ta v n là đ a tích phân v d ng:

g x

I f(x)

g(x)

  Đi u này cũng d nh n ra khi mà t s có nhi u s h ng t ng đ ng v i m u s , v y nên ta

s tách t s thành d ng f x g x g x  ta s tách nh ng d u ngo c t s ra sau đó tìm s h ng có ch a xlnx và nhóm l i v i s h ng thích h p, c th là:

T s = sin2x cos x 1 2cos x.x ln x ln x     s h ng ch a xlnx là 2cosx.xlnx  đ nhóm đ c d ng f(x).g(x) (v i g(x) là m u s ) thì ph i nhóm (sin2x + 2cosx.xlnx) = 2cosx.(sinx + xlnx)

L ng còn l i là (cosx + 1 + lnx) chính b ng đ o hàm c a m u s

Bài gi

Ta có:

2

3

sin2x 2cos x.x ln x cos x 1 ln x

dx sin x x

I

ln x





3

2 2sin x cos x 2cos x.x ln x sin x x ln x

dx sin x x ln x







T s VP(**)

M u s VP(**)

VP(**)

+ +

+

0

+

     

sin x x ln x

dx 2sin x ln sin x x ln x sin x x l

os

n

2c x

x





Thông tin thêm : D ng toán này đã t ng đ c xu t hi n trong đ thi Đ i h c Kh i A năm Kh i A năm

2011 và trong c đ thi d b Đ i h c Kh i A năm

Câu 5

Đ nh h ng:

+) Tính th tích:

Đ u tiên ph i xác đ nh đ c lăng tr đ ng thì có c nh bên

vuông góc v i m t đáy  CC  (ABC)

Đ xác đ nh đ c góc gi a hai m t ph ng ABC và C AB

(có giao tuy n là AB) thì ta c n d ng m t m t ph ng vuông

góc v i giao tuy n đ xác đ nh góc Th y r ng đã khá thu n

l i khi có m t cây c u là CC  AB, v y nên không ng i thì

mà chúng ta không d ng thêm m t cây c u n a là đ ng

cao CM c a ABC l u ý ABC cân t i C nên M là trung

đi m AB) đ t đó b c đ c m t ph ng CC M là m t

ph ng vuông góc v i AB  góc c n xác đ nh là CMC

Khai thác đ c góc thì tính đ ng cao c c kì d dàng,

trong khi đáy đã xác đ nh  tính th tích m t cách ngon

lành nhé 

+) Tính kho ng cách:

Hai đ ng th ng c n tính kho ng cách có m t c nh là c nh đáy c a lăng tr (c nh AB), m t c nh thì thu c m t bên c a lăng tr (c nh CB L i d ng tính ch t song song gi a các c nh đáy AB A B ta tính kho ng cách

gi a hai đ ng th ng chéo nhau b ng cách d ng m t ph ng song song đó là CB A AB

Nhi m v c a bây gi là ch n đi m nào trên AB đ d ng đ ng vuông góc đ n CB A cho h p lí Mu n th c

hi n đ c đi u này thì hãy chú ý r ng CC M  AB mà AB A B nên CC M  A B V y có m t m t ph ng đi qua m t đi m thu c AB (m t ph ng CC M đi qua M AB đ ng th i m t ph ng này còn vuông góc v i m t

đ ng th ng trong CB A m t ph ng CC M  A B d ng đ ng cao trong m t ph ng CC M là thu n

l i nh t!

Bài gi

+) G i M là trung đi m c a AB Do ABC cân t i C  CM  AB M t khác AB  CC  góc gi a hai m t ph ng ABC và CC M là CMC = 600

Ta có: CM = BM.tan CBM = a.tan300 = a

3

CC  (ABC)  CC  CM  CC CM.tanCMC = a

3 tan600 = a

+) Th tích kh i lăng tr là: VABC A B C = CC SABC = CC 1

2AB.CM =

3

.a.2a

2 3 3 đvtt +) G i M là trung đi m c a A B thì MM CC  M CC M

Ta có: CC AB





  AB  CC M  n u trong CMM k MH  CM H CM thì AB  MH  A B  MH

C

B

C

B

A

A

M

M

H

 MH  CB A

+) CMM vuông t i M nên 2 2 2

2

a a

MH

2

a 3



M t ph ng CA B ch a CB và song song v i AB nên:

d(AB CB d AB CA B d M CA B MH a

2

L u ý Đ m ch trình bày đ c l u loát thì nên lí lu n v kho ng cách ph n cu i cùng

Câu 6

Trong bài toán này, chúng ta s đ c p m t ph ng pháp không h m i nh ng l i ít đ c s d ng Đó là ph ng pháp Nhìn vào đi m cu i Look at the end point Đây là m t ph ng pháp s giúp đ n gi n hóa r t nhi u bài

gi i đ ng th i thì nó cũng là m t trong nh ng ph ng pháp d n bi n mà ta ít g p

Ph ng pháp này th ng d a trên nh n xét đ n gi n sau v hàm b c nh t:

Gi s f(x) là hàm b c nh t theo x thì:

min{f(a), f(b)}  f(x)  max{f(a), f(b)} v i m i x a b

Đi u này đ c minh h a m t cách r t tr c quan b ng đ th

Bài gi

+) Gi s a = max{a, b, c}  a b c a b c

 

P 1 a 1 b 1 c

b c 1 c a 1 a b 1

      thì c n ch ng minh P  1

Ta có: (P 1)  a b c    

1 a 1 b 1 c 1

b c 1

b c 1

 

  trên [0; 1] Theo đ nh lý: (P 1)  max{f(0); f(1)}

M t khác:

+) f(1) = 0

b c

 max{f(0); f(1)}  0  (P 1)  0  P  1

Đ ng th c x y ra  (a, b, c) = (1; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 1; 0) và các hoán v vòng

Cách gi i khác:

Gi s a = max{a, b, c} Khi đó ta có a b c a b c

 

Nh v y ta ch c n ch ng minh r ng:     1 a

1 a 1 b 1 c

b c 1



 

S d ng b t đ ng th c Cauchy ta có:

Đ ng th c x y ra  (a, b, c) = (1; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 1; 0) và các hoán v vòng

Bài t p c ng c :

Cho các s th c a, b, c, d thu c đo n [0; 1] Ch ng minh r ng: 1 a 1 b 1 c 1 d           a b c d 1

G i ý: Xem v trái là hàm v i bi n a  dùng đ nh lí l n 1 thì ta có: f(a)  min{f(0), f(1)}

+) f(1) = 1 + b + c + d  1

+) f(0) = (1 b)(1 c)(1 d) + b + c + d = g(b)

Ti p t c coi đây là hàm bi n b thì: g(b)  min{g(0), g(1)}

+) g(1) = 1 + c + d  1

+) g(0) = (1 c)(1 d) + c + d = 1 + cd  1

 min{g(0), g(1)}  g(b)  1  f(0)  g(b)  1  min{f(0), f(1)}  1  f(a)  đi u ph i ch ng minh) Câu 7.a

Đ nh h ng: Hình ch nh t có r t nhi u tính ch t đ khai thác (tính ch t vuông góc; các c p c nh b ng nhau; hai đ ng chéo c t nhau t i trung đi m; tính ch t đ i x ng v y nên n u g i đ c t a đ các đ nh ra theo

m t s n ít nh t thì vi c x lí s không h khó

Đ u tiên t a đ đi m A s vi t theo đ c m t n a Hai đi m B và D đ u có th xác đ nh t a đ theo m t n khác,

nh ng do đi m D đ c m c n i nhi u d ki n h n xD la s nguyên và I là trung đi m c a CD  u tiên khai thác đi m D, g i t a đ D theo m t n  bi u di n đ c C theo n đó do đã bi t c th trung đi m CD) 

ta ch dùng t t c là hai n  c n 2 liên h đ tìm ra đ c hai n đó Hai tính ch t sau s giúp ta gi i quy t v n

đ trên 

(1) AD  ID và (2) trung đi m c a đ ng chéo AC thu c đ ng th ng BD

V i hai m i liên h này thì ch c ch n s tìm đ c hai n  t a đ A, C, D  t a đ B

Bài gi

Do A : x y + 1 = 0  A a a T ng t D BD: 5x y 7 = 0  D(d; 5d d

+) I là trung đi m CD  C I D



  C(2 d; 15 5d)

+) ABCD là hình ch nh t nên hai đ ng chéo c t nhau t i trung đi m m i đ ng

 trung đi m M a d 2 a 5d 16

 5.a d 2 a 5d 16 7 0 4a 20 0 a 5

d 2

d 1

0

3 8













(lo i)

 D(2; 3)  C(0; 5)  M 5 11

2 2

 ;  

5

2 11

2







 B do M là trung đi m BD)

V y A(5; 6), B(3; 8), C(0; 5), D(2; 3)

Câu 8.a

Đ nh h ng: Đ u tiên xác đ nh đ c tâm và bán kính c a m t c u (S) Khi có

đ c bán kính m t c u S và bán kính đ ng tròn giao tuy n c a (S) v i (P)

 tính đ c kho ng cách t I đ n (P) nh đ nh lí Py ta go M t khác (P) l i

ch a   có th g i đ c d ng t ng quát c a P dùng hai đi u ki n này là

có th xác đ nh đ c ph ng trình m t ph ng (P)

Bài gi

+) M t c u (S) có tâm I(1; 2; 2) và bán kính R = 5

Do (P) c t (S) theo m t đ ng tròn có bán kính r = 4 nên kho ng cách d t

tâm I đ n m t ph ng (P) là:

d = d(I, (P)) = R2r2 5242  3

Đ ng th ng  đi qua đi m M(0; 0; 5) và có m t véct ch ph ng là u = (1; 1; 4)

G i n P a b c là véct pháp tuy n c a P đi u ki n a2 + b2 + c2  0) Ta có M   M P  ph ng trình m t ph ng (P) là: ax + by + c(z + 5) = 0

Do  P nên nP u n u 0P    a b 4c 0  a 4c b

I

R

r

d

+) d(I, (P)) = 3   

2

4c b 2b 3c

a 2b 3c

b 2c

b 17







 



N u b = 2c  a = 2c  ch n c = 1  a = b = 2  (P): 2x + 2y + z + 5 = 0

N u b = 52c

17  a =

16c

17  ch n c = 17  a = 16 và b = 52  (P): 16a + 52b + 17c + 85 = 0

Câu 9.a

+) Do không có tr n hòa nên xác su t ch Hi n thua m t ván là 1 0,4 = 0,6

+) G i H, A, B, C l n l t là các bi n c Ch Hi n th ng c c Ch Hi n th ng c c sau 3 ván , Ch Hi n th ng

c c sau 4 ván , Ch Hi n th ng c c sau 5 ván thì các bi n c A, B, C xung kh c

+) Khi đó H A B C Áp d ng quy t c c ng xác su t thì P(H) = P(A) + P(B) + P(C)

Vì cu c ch i d ng l i ngay khi có ng i th ng ván th 3 nên ván cu i cùng trong s các ván ch i s là ván ch

Hi n th ng

Ta có:

P(A) = 0,43 = 0,064

Ch Hi n th ng c c sau ván t c là ván th 4 ch Hi n dành chi n th ng, và trong 3 tr n đ u tiên thì: có

1 tr n ch Hi n thua và 2 tr n ch Hi n th ng

 P(B) = C2

3.(0,4)2.0,6.0,4 = 0,1152

T ng t : P(C) = C2

3.(0,4)2.(0,6)2.0,4 = 0,13824

 Xác su t đ ch Hi n th ng là P(H) = 0,31744

Câu 7.b

Đ nh h ng: Bình th ng, v i m t hình vuông c nh b ng 1 ch ng

h n ta xác đ nh đ c đúng v trí các đi m M, N c đ nh trên hình

vuông r i thì c ch n m t đi u r ng, các góc trong hình v đó b t

k là góc nào t o t trong đi m A, B, C, D, M, N trên hình v đ u

có th xác đ nh đ c!

Trong bài toán này thì đ dài c nh hình vuông ta ch a xác đ nh đ c,

nh ng các góc thì s không thay đ i so v i m t hình vuông có đ dài

b ng đâu nhé Đ bài đã cho đ ng th ng AN và đi m M, v y nên

vi c đi tính góc MAN s là m t bi n pháp thu n l i đ tìm đ c t a

đ đi m A, nh vi c vi t ph ng trình AM h p v i đ ng th ng AN

m t góc MAN đã bi t!

Bài gi

Đ t AB = BC = CD = DA = a thì BM = a

2 và CN = 2DN =

2a

3 Dùng đ nh lí côsin trong MAN ta đ c:

cosMAN

2

        

   

C

M

A AN: 2x y 3 = 0  A(x; 2x 3)  AM 11 x 7 2x

AN có véct ch ph ng là uAN = (1; 2)

2 AN

2 2

2

     

x 1 A(1 1)

x 4 A(4 5)





;

;

V y có hai đi m A th a mãn đ bài là A1(1; 1) và A2(4; 5)

n xét, cách gi i khác: Bài gi i trên ch là m t trong s các cách có th dùng đ c trong bài toán này Đ xác

đ nh đ c góc MAN thì ta còn có th d a vào công th c c ng cung, ví d nh

Cách 1:





 MAN = 450 Cách 2:

1 2 tan MAD tan NAD 3

1

1 tan MAD tan NAD 1 2.

3





Và còn nhi u h ng n a đ ti p c n góc MAN d a vào các đ nh lí sin, cosin, c ng cung

Câu 8.b

Đ nh h ng: P đi qua hai đi m cho tr c  dùng gián ti p ph ng pháp chùm m t ph ng (hai n) Sau đó

d a vào d ki n D và C cách đ u (P)  m i quan h t l a : b  tìm đ c m t ph ng (P)  xong phim!

Bài gi

+) G i ph ng trình m t ph ng (P) là: ax + by + cz + d = 0 đi u ki n a2 + b2 + c2  0)

A P  a + 2b + 3c + d = 0  d = a 2b 3c (1)

B P  2a + 3b c + d = 0  c = 2a + 3b + d (2)

T (1) và (2)  c = 3a b

4

 

và d = 5a 11b

4

 +) Ta có:

d(C, (P)) = d(D, (P)) 





N u 7a = 3b, ch n a = 3  b = 7  c = 4 và d = 23  (P): 3x 7y 4z + 23 = 0

N u a = b, ch n a = 1  b = 1  c = 1 và d = 4  (P): x y z + 4 = 0

n xét: Khi bi t đ c m t m t ph ng đi qua hai đi m thì vi c dùng ph ng trình chùm m t ph ng m t cách gián ti p s r t thu n l i cho vi c gi i toán

Đ c ng c thêm, các b n hãy gi i các bài t p sau: