Tuyển tập 90 đề thi thử đại học môn Toán

Tuyển tap 90 dé thi thir đợi học, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn Phần I: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC 1- Phương pháp thế trong giải hệ phương trình Lương Văn Thiện GSTT GROUP - K

Tuyển tap 90 dé thi thir đợi học, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

Phần I: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC

1- Phương pháp thế trong giải hệ phương trình

Lương Văn Thiện (GSTT GROUP - Kỹ Sư Tài Năng - ĐH Bách Khoa HN)

“Thế” là một phương pháp quan trọng của giải HPT: Nếu “thế” đúng thì bài toán sẽ được giải quyết ngay túc khếc”

TOM TAT KIẾN THỨC CƠ BẢN

- Cac ban can nam chắc kiến thức cơ bản đầu chương, phép biến đổi mũ, loga, kỹ năng biến đổi tương đương

-_ Ngoài ra, để giải quyết chọn vẹn bài toán thì các kỹ thuật đẳng cấp, nhẩm nghiệm phân tích thành nhân tử, ẩn phụ, cần phải nắm vững

A- Tự cảm nhận

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: fe vreteTy 0) x?y°+xy+1=13y?(2)

Lời giải:

@Œ)>x(y+=7y~1

Nếu y=-1 thì x0=7З1(vô 1D

Nếu y#-lthì xe]

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: |

(2)=9x=6x°y ~ y” thế vào (3) ta có:

4x3y? ~ 6x” y —3xy’ + 6x’y—y? =0

y=9

>y?(4x° ~3x—~1]=0

ý\( ) 4x? ~3x-1=0

Tuyển tập 90 dé thi thir dai học, cao đẳng môn Toán X.ovebook.vn

+ Nếu y = 0 thay vào (2) ta có 9x = 0 nên x = 0

Thay x = 0; y = 0 vào (1) ta có 9 = 0 (vô If)

x=l

+ Nếu 4x) ~3x—~1=0 x==x 1

2 + Với x= 1 thay vào (2) ta có: 6y—~y”~9 =0=> y=3

+Vớix= —; thay vào (2) ta cé: sy-y'tz=0© yes 3

Thử lại các nghiệm (x;y) -09)(-32} (s:?) vào hệ thấy thảo mãn Đây cũng chính là các

nghiệm của hệ phương trình đã cho

Ví dụ 3: Giải bệ phương trình: P + fSy? = By £6 + Sx = 3x4 V7 +7420)

Lời giải: (2) = 3x = 4x? + 3y — 3y” — 1 thế vào (1) ta có:

y+ (3VF—2y +61 3Mể = 4x2 + 3y — 3y? 1+ 7X” + 7+2

= (3y? — 2y + 6 + 3x7) + By? ~ 2y + 6 + 382 = V72 +7 + 7x? + 7 (3)

1 Xét hàm số: f(Q = t+ VÉ t> 0 > f =1+ => 0,với mọi t> 0 Vv

Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm G6 y) = (—1 ~1); Cai

B- Chia khéa tr duy giải toán

-Ý đồ 1: Rút x theo y hoặc y theo x từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại đưa

về phương trình một biến tuy hơi cồng kềnh nhưng nếu mạnh đạn biến đổi thì “kiểu gì cũng ra”~ ví

dụ 1 là minh chứng cho ta điều này Lưu ý, có thể đùng ẩn phụ để giải ví dụ 1 gọn hơn “thế” nhưng nó thích hợp với bạn có tư duy tốt Vậy nên, nếu ẩn phụ không nghĩ ra thì “thế” là một phương án an toàn

và luôn luôn ra

-Ý đồ 2: Quan sát những biểu thức cùng xuất hiện ở 2 phương trình, sau đó thế chúng cho nhau Ở ví dụ 2, ta thấy ở phương trình (1) có “9” còn phương trình (2) có “9x”, để thế 2 “thằng" này cho nhau thì một cách tự nhiên, ta nhân 2 về của phương trình (1) cho x rồi thé 9x = 6x?y — yˆ vào phương trình (3) thì lời giải được hé mở hoàn toàn Ở ví dụ 3 cũng cùng ý đồ khi thấy thang “3x" xuất biện đồng thời ở hai phương trình Ở ví dụ 3 còn thêm ý đồ nhóm ẩn phụ chính là biểu thức trong căn:u = 3y? — 2y + 6 + 3° Ta chỉ cần nhóm ra u thì lập tức sinh ra v = 7%? + 7) rất đẹp

C- Kết luận:

'Tóm lại ta sẽ dùng phương pháp thể khi: rút được 1 biến thep biến còn lại hoặc có 1 biểu thức cùng

xuất hiện đồng thời ở cả 2 phương trình

- Tuyển tập 90 dé thi thie đại học, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

D- Bai tap van dung:

VeFT-1).2 = 22

loggx+y =1(2)

x + logs y = 3 (1) (2y? — y + 12).3* = 81y (2)

x? +xy-+x+ 3 = 0 (1)

(+ 1)? + 3Œ + 1) + 2Qy — Xây + 2y = 0 (2)

xÄyGœ + 2) = 1Œ) x? +xy + 2x + 2 = 0 (2)

Bài 5: Giải hệ phương trình: le =10y? — 12)

Giải bài tập vận dụng:

Bài 1: Điều kiện : x > 0,x < 4,y € R

Bài 1: Giải hệ phương trình:

Bài 2: Giải hệ phương trình: {

Bài 3: Giải hệ phương trình: {

Bài 4: Giải hệ phương trình: {

OVE

Tuyển tập 90 đề thí thủ: đại học, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

2- Sử dụng tinh chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương

trình

Doãn Trung San

(GSTT GROUP ~ ĐH Y Hà Nội) Khi giải phương trù, hệ phương trình chúng ta gap một số bài toán khá cồng kềnh Các phương pháp bay dùng gặp trở ngạt, khi đó ta có quyền nghĩ đến phương pháp sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số (hay phương pháp hàm sô)

Gó hai loại chúng ta bay gặp:

1) Dang quy được về f(uŒ)) = f(G©) với £là hàm đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến)

o> 8x3 + 2x = (2n-+ QIK FI © (2x)? + 2x = (VORFT) +V2x+T

Ta thay, phương trình đã cho tương đương với: x(4x? + 1) = (V2x+1 Ỷ +V2x+ 1 = x> 0 Xét hàm số fŒ) = tỶ + t trên [0; +00)

Có f'Œ) = 3tÊ + 1 > 0 đồng biến trên [0; +00)

Suy ra hàm số đồng biến trên [0; +œ)

Mà phương trình (1) tương đương với f(2x) = f(V2x + 1)

Nên phương trình:

(1© 2x= VÕX KT @ 4x? ~ 2x — 1 =00| x= 1+ VỀ (hỏa mãn x 2 0) x= 1~—~ Võ (không thỏa mãn x > 0)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 + v5

x2 4x43

nh: sẽ 2x? + 4x +5

`

Nên phương trình đã cho xác định trên R

Phương trình đã cho tương đương với:

Ta có: f'Œ) = tina t 7 > 0 với mọi t € (0; +oo)

Nên phương trình (1) tương đương với:

x2 +43 = 2x2 + Đc+ 5 CIẾ + 3 +2 = 0€ [TC TÃ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = ~1; X = —2

B- Tư duy giải toán

Như vậy, thực chất để giải bài toán này, bước đầu tiên ta cần làm là đưa bài toán về dạng f(uQ@)) =

f(g@))

Tức là, phân tích, chuyển vế đưa phương trình về dang ma 2 vế là 2 biểu thức cùng một hàm

Tuyển tap 90 dé thi thir đại học, cao đẳng môn Toán Lovehookvr

Có một số đấu hiệu sau:

Khi đó, bạn có quyền nghĩ đến phương pháp hàm số này

Ngoài ra, nên nhìn nhận vai trò tương đồng, ngang nhau của một số biểu thức trong phương trình

VD: Ở phương trình (1) ta thấy cụm (x + 1)v2x+ 1 sẽ có bậc 7

Trong khi phần còn lại 4x? + x có bậc là 3

Như vậy, nếu xem V2x - 1 là một ẩn thì cạm (x + 1)V2X + 1 có thể biến đối thành một hàm bậc 3 Đó

là sự tương đồng về bậc cho phép ta đi theo hướng: xem x va V2x + 1 cé vai trò ngang nhau

Giống kiểu đặt ẩn phụ (có thể gọi là ẩn phụ ảo)

x 4x43 Hay ở ví dụ 2: log, Bevan

Vai trò của x? + x + 3 và 2x? + 4x + 5 là ngang nhau

II Dạng f(uG)) = 0 nhẩm được tất cả nghiệm (thường là phương trình có một nghiệm, hoặc 2 nghiệm) Với các dạng bài này ta chú ý bổ đề sau: Nếu phương trình P Œ) = 0 có nhiều nhất n nghiệm, thi f) = 0 có nhiều nhất (n+1) nghiệm

Ví dụ 1: Giải phwong trinh: log, (x + 3!86 *) = loggx

Cóf'(Ð = 2t In2 — G) h (Q > 0,Vt € R @lln Q <0)

=> Ham sé f(t) déng bién trén R > phyong trinh f(t) cé nhiều nhất 1 nghiệm

Ma f(—1) = 0 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = ~1

1: xuấn tập 90 đề thi thử đợi học, cao đẳng môn Toán - Lovebook.vn

Xét hàm số gG@) = 2%.In Q + Q In Q ~I (=) trên R 2

x

Có: g'&) = 2.n2.Ìn () + 6) In 6)-» @ <0,vx ER (vin () < 0vàIn 8) <0

=> Ham s6 g(x) nghich bién trên R = gQQ=0 có nhiều nhất một nghiệm hay f "(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm = phương trinh f(x) = 0 có nhiều nhất bai nghiệm

Mà ta thấy f(0) = 0 và f(1) = 0 nên ta suy ra phương trình fÓ) = 0 có hai nghiệm là x=0; x1, Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0; x = 1

Như vậy với các bài toán chứa hàm mũ cồng kênh, với việc sử dụng tính chất đồng biến nghịch biến chúng trở nên khá là ngắn gọn

Những bài này thường khá là dé nhấm nghiệm, tuy nhiên bài toán cồng kềnh dễ gây sốc, vì vậy có thể nghĩ đến phương pháp hàm số (cụ thể là tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số) Khi đó, ta xét hàm số thích hợp, tuy nhiên dựa vào số nghiệm mà ta có thể chứng minh ngay f'GÒ < 0(- 0).Để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất hoặc tiếp tục xét hàm số gGÒ = ' @), chứng mình Q0 có nhiều nhất 1 nghiệm qua đó chứng mình f()=0 có 2 nghiệm

Bài tập vận dựng:

Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 — 4x? — 5x + 6 = 7x” + 9x — 4

Ví dụ 2: Giải phương trình: 4(x — 2)[log; xŒx — 3) + loga@ ~ 2) = 15Œ + 1)

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2*ˆ+8c09%2+ 2371405) X => 2cos3X,

x?+x+1

Ví dụ 4: Giải phương trình log; 3vP—2xa3 13 =x?— x“ˆ—=3x +2

Ví dụ 5:log; sinx = 2 logs tan x

3 De +3 cosx — 2x? +4 cos? x = 2cos 3x

{3 22213 c05X + 2(X2 + 3 cosx) = DY? +45"* 4 2(x? + 4cos? x)

Xét f(t) = 2° + 2tvới t €R

Tacéf’@ = 2tin2 +2 > 0 vt€ R = fŒ) đồng biến trên R

Ma f(x? +3 cosx) = f(x? + 4cos? x) = x? +3 cosx = x? + 4-cos? x 4cos? x — 3cosx = 0

Tuyến tập 90 đỀ thì thử đại bọc, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

Ma f(x? +x 44) = (2x? - 2x43) > x? 4x41 = 2x? ~ 2x43 x? —3x4+250

®x=1Vx=2 5,Ìog; sin x = 2Ìog; tan x

Điều kiện: sinx > 0,cosx > 0

Dat logs sinx = 2log; tanx = t

Tacé sinx = 24 tan? x = 3¢

sin?x — 1-sinx 1— 22

Tuyén tận 90 đề thí thủ đại học, cao đẳng môn Toán kovebook.vn

3- Giải một số phương trình vô tỉ có ó dang đặc biệt

Nguyễn Phước (GV THCS Lê Hồng Phong ~ Thừa Thiên - Huế) (Bài đăng trên tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ số 360)

Điều kiện: x 2 —2 (vì x? — 2x +4 = &— 1)? +3 > 0)

Do x = ~2 không ae là nghiệm của phương trình 2 nén chia hai vé cho x + 2 ta được

a(P)x) + Q(x)) + BC/PG) + (OQ) + 20,/P) OG) +7 = 0 (a? + B? # 0)

a, CAch gidi: Dit t = PG) + (O60 thi? =P) + Qe) + 2YPG).2G)

Phương trình trở thành: œt? + Bt + y = 0

Do œ và § không đồng thời bằng 0 nén at? + t + y = 0 trở thành phương trình bac nhất hoặc bậc 2

của t, Giải phương trình tìm trồi thay t = P(x) £ fae) để tìm nghiệm của phương trình

3.Phương trình đạng ax? + bx + c = px? + gx +r trong đó:

a

PB

Tuyén tập 90 đề thí thứ đại học, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

Vậy phương trình (4) có nghiệm là x = —10 + 2VT8

Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dang vì vậy đồi hỏi học sinh phải hết sức thận trọng khi trình

bày lời giải

2,V4x + 3+ V2x + Ì = 6x + V8x? + 10x + 3 — 16;

Tuyển tập 90 đề thi thi dai bọc, cao đẳng môn Toán ¬ : / Tavebook.vn

oo 932 9x + BENS 2 0 vô nghiệm do A<0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm:

Nếu a = b © 3x? + 5x + 1 = 3X? + 5x T— 7 « 0x + 8 = 0 vô nghiệm

Nếu a + b = 4,ta lại có a — b = 2 = a = 3,b =1 32 + 5x— 7 = 1 © 34” + 5x — 8 = 0

Tuyển tip 90 dé thi ther đại học, cao đằng môn Toán Lovebook.vn

Tuyển tập 90 đề thị thứ đại học, cao đẳng môn Toán - Lovehook.vn 4- Phương pháp nhân liên hợp trong giải phương trình, bất phương trình vô

(GSTT GROUP - ĐH Y Hà Nội- Cựu học sinh THPT Ba Đình - Thanh Hóa)

“Nhân liên hợp - một phương pháp sử dụng những kiến thức rất cơ bắn những lại có những ứng dụng vô cùng quan trọng trong gidi pt, bpt, Apt vé ty va ngay cả với nhiều dạng toán khác trong

đề thí HSG, đại học như giới hạn, tích phan "

~ Liên hợp bậc IV: Aa +&4B=—-=— (la + bla + Vo) =—e-va,b>0;a#b

Trong đó, phép liên hợp bậc II là được sử dụng phổ biến nhất

Ii- TW DUY GIẢI

A- Tự cảm nhận

Để các bạn biểu hơn về phương pháp này, tôi sẽ đưa ra một số ví dụ điển hình Bạn hãy đọc, suy ngẫm

và cảm nhận về phương pháp này Sau đó, hãy hệ thống lại và xem bạn đã tìm ra những gì cho riêng mình

Ví dụ 1: Giải phương trình: Ahx+1 —Al6—=x+3x?—14x—8=0 () (B—2005)

Giá trị x = 5 thôa mãn điều kiện xe D

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho

Tuyển tập 90 đề thi thử đụi học, cao đẳng môn Toán 2yebaoE vn

Gia trix =-1;x = 2 thỏa mãn xeD

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ~ 1; x= 2

Ví dụ 3: Gidi phwong trinh: x? +x—1=(x+2)Vx? -2x+2 (3)

~ Trước tiên, anh xin đưa ra một số khái niệm và kĩ năng quan trọng:

+ Lượng liên hợp: là một số hay một biểu thức cần thêm bớt vào mỗi căn thức để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung

+ Kĩ năng nhẩm nghiệm: là tìm nghiệm của phương trình cả nghiệm “đẹp” và nghiệm “xấu” hay

nghiệm “vô tỷ” dưới dạng gần đúng, Có một phương pháp khá thông dụng là sử dụng chức năng tìm

nghiệm gần đúng của một số máy tính cầm tay như Casio &-570MS, Casio fx-570ES bằng cách sử

dung SOLVE hoac CALC

Bước 2: Tim nghiém của phương trình, giả sử có nhiệm x = 0

Bước 3: biển đối (Q © gúQ+h0J+ = 0

Trong a6 g(x); h(x) la cdc biéu thitc chita can théa mãn g(œ )=h(œ )=0

Bước 4; Nhân liên hợp và xử lí phương trình mới

~ Để các bạn hiểu rõ thêm về tư đuy giải toán, chúng ta lần lượt đi từng loại phương trình , bất phương

trình vô tỷ

(thỏa mãn)

Tuyển tập 90 đề thủ thứ đại học, cao đẳng môn Toắn ` we Lovebook.ve Loai 1: f(x) = 0 có 1 nghiệm “đẹp” Với PT dạng này, lượng liên hợp thường là 1 hằng số

VDI: v/3x+1—x/6—=x +3x° —14x—8=0() (B—2005)

- Nhẩm được x = 5 là một nghiệm của phương trình

- Giả sử lượng liên hợp cần bớt ở 23x +1 là A hay g0 =x3x+1 — Á

Ta cần tìm A sao cho g(5) = 0 ©N55+1-A=0©A=4

Vậy lượng liên hợp cần bớt của 3x41 a4

Twong ty voi J6—x tatim duge lwong lién hop Ia 1 Do dé ta cé li giai nhw phan A

Như vậy với những phương trình có 1 nghiệm “đẹp” x= œ thì “lượng liên hợp” cần bớt ở Jr(x) 1a Vi)

Cu thé: 6 vi du trén, voi r() = 3x+1 va nghiém x = 5 thi ta can bét & , xe) =3x-+1 mét hrong lién

Từ ví dụ này, tôi chỉ trình bày tư duy để tìm ra lượng liên hợp

- Nhẩm được x= -1 và x=2 là 2 nghiệm của (2)

- Giả sử lượng liên hợp cần bớtở 2⁄+2 làAx+B,

Khi đó: g(%)= jx+2 -(Ax+B)

Như đã nói ở trên ta cần tìm A và B sao cho g(-1)=g(2)=0

Đo đề thay vào ta có hệ:

- Nhẩm được x= œ và x= B là nghiệm của phương trình đã cho

- Với 2h ta tìm được A, B sao cho:

gó)= res) -(Ax+B) théa man g(a )=g(B)=0

Giải hệ lề =Ô _ra tìm được A, B từ đó giải quyết bài toán

Tuyển tap 90 đề thị thứ đụi học, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

Sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm gần đúng ta tìm được 2 nghiệm của PT (3) là: x, =3,828427125

X; z—I 828427125

Đến đây có lẽ nhiều bạn sẽ không định hướng được cách tìm lượng liên hợp Nhưng nếu tỉnh ý, ta nhận thấy:

{ me X +X, =2 hay x1, x; 1a 2 nghiém cha x? ~2x~7=0

Đến đây ta cần tìm lượng liên hợp sao cho sau khi nhân liên hợp sẽ xuất hiện nhân tử chung x’ ~2x~7va dé dàng nhận thấy lượng liên hợp của vjX°-—2x+2 là 3 Từ đó ta có lời giải như pử phần A tôi đã trình bày

Tóm lại: với những PT có 2 nghiệm võ tỷ, ta tìm gần đúng 2 nghiệm này, giả sử là x;,x;, Ta tính được: S=x, +X,

Vì ở PT mức thi ĐH, nghiệm “thường” không quá lớn hoặc quá bé Do đó chỉ cần xét ở những khoảng

này là có thể giảm đi xác suất thiếu nghiệm

3) Nhân với biểu thức liên hợp có thể bằng không với x thuộc TXĐ

Bạn phải chú ý điều này vì khi nhân liên hợp, biểu thức liên hợp phải khác 0 với mọi x thuộc TXĐ,

D KẾT LUẬN:

- Chỉ quan tâm đến biểu thức căn để tìm lượng liên hợp

x Với những biểu thức không có căn đồn hết về cuối, chắc chắn sẽ phân tích được thành nhân tử,

Tuyên tập 90 đề thi thie dui hoc, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

“ _ x<1 x<1 oa -

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 2 — v5}

2.x? ~ 2x43 = (x+ 1)Vx? — 2x + 2

Từ phương trình suy ra x > —1

Khi đó, phương trình tương đương với

(x? — 2x-+ 3)? — (x + 2Œ? — 2x +2) = 0

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

See?

Tuyển tp 90 dé thi thir agi hoc, cao đẳng xiôn Toán Lovebook.vae

5- Tw duy dat ẩn phụ trong giải hệ phương trình

DOAN TRUNG SAN (GSTT GROUP - SV ĐH Y Hà Nội) Trong những năm qua hpt là một phần khó quen thuậc trong các đề thị đại học, cao đẳng và cũng là phần đâm lại khó khăn cho khá nhiều các em Vì vậy việc nắm các phương pháp và vận dụng chúng một cách linh hoạt là điều vô cùng cần thiết

Các em hãy tự cảm nhận các ví dụ sau

Cũng như các phương pháp khác thì phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng có những đặc trưng

riêng, sau đây chúng ta xem xét một vài ví dụ để hiểu về nó

’ on aap (+ x8y — xy? +xV—y =1

@ Thi du 1 Giai phuong trinh f x4 +y2 —=xy(2x—1) =1

Vậy hệ pt đã cho cé 5 nghiém (x; y) 14 (1; 1); (0; -1); (4; 0); (1; 0); C4; 3)

9 Tiếp theo ta xem xét tiếp VD2 dé so sánh giữa 2 ví dụ qua đó tìm ra đặc trưng và mấu chốt của các

bài toán tương tự 2 ví du nay

Tuyển tập 90 đề thì thủ đại học, cao đồng môn Toán Lovebook.vit Khi đó, hệ (trở thành F +b? = 13 ab = +6

B- Tư duy giải toán

Ta thấy cả 2 ví dụ trên chúng ta đều trải qua 3 bước:

B1: Tập trung đơn giản hệ đã cho (tách, nhóm hợp lý tạo nhân tử)

B2: Đặt ẩn đưa về hệ đối xứng, có khi là nữa đối xứng

B3: Giải hệ

Trong đó ta chỉ thắc mắc bước 1, tức là làm thế nào để tách ra và nhóm

Thực sự vấn đề này sẽ khó đối với những ai ít chịu khó giải toán, còn đối với những bạn từng tập trung phân tích nhiều bài toán, thì vấn đề này thuộc về kĩ năng nên khá đơn giản Ở đây có 2 Kĩ năng chính: + Phân tích thành hằng đẳng thức như đã thấy ở VD2: x' + 2x” — 5x2 +y? — 6x +9 = (x2)? +” + (~3)? + 2.x?.x+ 2.x2(~3) + 2.x.(—3) = %” +x— 3)?hay ở ví dụ (Ôi xÊ + y? — 2x2y = QỞ — y)?

+ Phân tích thành nhân tứ chung ở cả 2 phương trình như ở VD1: Thấy ở pt thứ 2 có x” — y) và xy,

ta tập trung phân tích pt thứ nhất thành (x2 — y) + xyQZ — y) + xy = 1

Ngoài 2 kĩ năng chính trên, còn có một số yếu tổ đặc trưng như:

-_ Những phần tử cồng kềnh (chứa căn thức, ) như Jy? — 7(@ vd 2) thong sé c6 dink và đặt làm ẩn để giảm sự cồng kềnh Khi cố định 1 ẩn phụ, việc tìm ẩn phụ còn lại sẽ dé hon

-_ Có sự tương đồng về bậc của 2 biểu thức nào đó, thì đó sẽ là 2 ẩn phụ

ở Và 2: (yF— 7 xem như bậc 1 trong khi có y” là bậc 2

x2 +x— 3 xem như bậc 2 thì có xf + 2x? — 5x? — 6x xerh như là bậc 4 (2 x 2)

Như vậy, bạn thấy đấy, với các bài toán biện nay, các phương pháp kĩ năng thường được đan xen và lồng vào nhau Như ở đây có sự đan xen khá đẹp của kĩ năng phân tích nhân tử và phương pháp đặt ẩn phụ Vì vậy bạn nên tiếp thu và tự rèn luyện kĩ năng và các phương pháp cho mình

Ví dụ sau sẽ giúp bạn tự cảm nhận điều đó tốt nhất

Ta có: 4x2 +3x—ge= —y(x + 1) © (4x? + Bxy) + Gxt y) —= 0 @)

Phương trình (1) bao gồm cả phần bậc 1 và bậc 2 nên ta sẽ nghĩ đến 2 ẩn phụ là 2 biểu thức bậc nhất,

và dạng của (1) sẽ là: ab + a + b = m Ở

1

Ta lại thấy, phương trình (2):x? + y? = 5 có:

+x,y vai trò ngang nhau

Tuyển tập 90 dé thi thik đụi học, cao đẳng riôn Toán Lovebook.vn

+ là tổng bình phương, không chứa tích

= Ta nghĩ đến dạng ẩn phụ: Đối hệ số, ngược đấu: (tx + xy) và (ux — ty)

> (& + 2y)(2x—y) + (xt 2y)(2x-y) =3E

Và: x? + y2 =š© 502 +y2) = 1 © (x+ 2y)? + (2xT—y)? = 1

Trén đây là í tưởng của bài toán trên, bước thực hiện là ở các bạn

Qua các ví dụ trên, hy vọng các bạn tiếp thu và vận dụng linh hoạt kĩ năng phân tích và phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng

€- Bài tập vận dụng

Ð f ~— xÊy + x2y? = 1 2 { (3x + y)Œ + 3y) Vxy = 14

xây T—x? + xy = —1 Œ+y)Œ2 +y? + 14xy) = 36

a [enw ny + Vay —y? = 3K —y)

Hệ đã cho tương đương với

lại +10xy + 3N ỹ = =i “| {3Q +y)? + 2y] Vy = 14

Œœ+y)GŒ? + y? + 14xy) = 36 Œ +y)[Œx + y)? + 12xy] = 36

Data = J/Xy,b = x+ y (a > 0)

ta Rã chà 3bẺ + 4a2)a = 14 _ (3ab? + 4a3 = 14 @ 3 2=

Khi đó hệ thành lu: + Ta) =6 { bề : 12a?b = 3ó re b + 1Annh - 36

Trừ vế với vế hệ trên ta sẽ được (2a ~ b)? = —8 = b = 2a + 2

Thay b = 2a + 2 vào (*) ta được:

3a(a + 2)2 + 4a3 = 14 © 16a? + 24a2 + 12a — 14 = 0

Tuyển tập 90 dé thi thir agi học, cao đẳng môn Toán

sory? ~y? = 369 & y? = 256 = y = 16 = x = 25 256

Vậy hệ có nghiệm (x,y) = (25; 16)

Tuyển tập 90 đề thủ thử đụi học, cao đẳng môn Toán _ kovebook.vn

6- Phương pháp hằng đẳng thức trong giải hệ phương trình

Lương Văn Thiện (GSTT GROUP - Hệ Kỹ Sư Tài Năng - ĐH Bách Khoa HN)

“ Hằng đẳng thức là một phương pháp được sử dụng nhiều trong các bài toán hệ phương trình,

Phương pháp này khá đơn giản, bất kì em học sinh nào có thể vận dụng được

Lấy (1) ~ (3) ta được: x" +y° =3x” -6y? =9—3x~ 2y

Tuyển tập 90 đề thủ thử đại học, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

<> (xo — 3x? +3x—1) + (y® ~6y? +12y-8) =0

Kết luận: Hệ có nghiệm (xy)=(2;1); (1;2)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình fe “y= 63 ®

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: (x;y) = @1{T2:2)

B Chìa khóa tư duy giải toán

Từ tưởng; Bất kỳ phương trình nào xuất hiện hằng đẳng thức thì bước đầu tiên là ta nhóm ra hằng

đẳng thức đó Sau đó, dùng ẩn phụ và các công cụ khác để xử lý Cứ nhóm ra được hằng đẳng thức là

lời giải gần như mở ra tức khắc

- Ở ví dụ 1: Ở PT (2) thấy có x'+2xˆy +y? =(@” +y”) nên ra xử lý thành HĐT đầu tiên Sau đó, quan sát lại PT (1) thì mới phát biện ra ẩn phụ: = x°+y và v=xy Nhắc lại, mấu chốt lời giải là phát hiện

- Ở ví dụ 2: Đầu tién ty PT(1) x° +y* =9 ta nham dugc ngay nghiém x= Ly = 2.Ta liên tưởng đến

Tuyén tip 90 dé thi tie đại học, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

- Qứ thấy xuất hiện HĐT là phải nhóm r4

- Hãy nhầm nghiệm để dự đoán HĐT

- Để xuất hiện HĐT áp dụng chiến thuật có ngoặc thì phá không có ngoặc thi nhóm vào,

D Bai tap van dung

xi~y! =240 x°~2y` =3? ~4y?)—4(x—5y)

x°—y°)=35

2x? +3y? =4x~09y

x’ -y* =1215 2x? ~4y? =9(x? ~4y?)

Bài 2: Giải hệ phương trình |

Bai 3: Giải hệ phương trình {

|, [8 ~8x=y? +2y

x’ —3y =6

4: 2 4.4 2 =1 Bài 5: Giải hệ phương trình | x 1y - |4x? + 2y? —4xy =2

xổ — 3x7 + 4x = 2y? — 12y? 4 32y (2)

Nhân 2 vế của phương trình (2) với 4 rồi lấy phương trình (1) trừ đi phương trình mới đó ta được

@&~2)*=(y~4)†

- Nếu x— 2 = ÿT— 4 @ x = y — 2, thế vào (2) ta có

y?—3y? + 4y + 28 = Ú @ y = —2 => X= —4

- Nếu x — 2 = 4— y © x = 6 — y thế vào (2) ta có

—~3y? + 27y? — 108y + 132 = 0 © y = 2 =>x= 4

Vậy hệ có các nghiệm (x,y) = (4; 2), y) = (4; —2)

Tuyén tap 90 đề thi thử đại học, cao đẳng môn Toán ` Lovebook.vn Thay vào (1) ta được

15y? + 75y + 125 = 35 œ y = ~2 = x = 3 hoặc y = =3 =è x = 2 Vậy hệ có nghiệm (3; ~2), (2; —3)

tt +y? —3xy" =1 Œ)

"4x? + 2y? — 4xy = 2 (2)

Trừ vế hai phương trình ta được

y*#— 4xy? — 2y? + 4y +1 =0

œy?(y? — 1) ~ 4xy(Œ? — 1 — (y?~ 1) =0

« (y? — QŒ? — 4xy — Ð =0

— Nếu y = 1 x= Vx= 1

— Nếu y = —1 = x= 0V x = =1,

2 4y

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: w+ 2x=(y ~1) +2(y - 1) ®

Xét hàm số f(t)=t? +2t trén R Tacé: f'(t)=3t? +2>0 voi moi t € R= f(t) đồng biến trên R

Mat khac (*) cé dang f(x) = fy- D<x=y-L

'Thế vào phương trình thứ hai của hệ: (v - 1) +2y=1<>»y=0>x=~1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất Œ; y) = (~1; 0)

Tuyển tap 90 dé thi thir đụi học, cao đẳng môn Toán Lovebook.va

~Néua+b=—-25 ab=05 đế ẦẮ {r= 3 hoặc fo

Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (—1; =2), (~3; 0)

8 Lộ +1)y! +1 = 2xy?( — 1)

'uy?(3xy? — 2) = xy*(x + 2y) +1

{ x*yt +y* +44 2xy? = 2xy® (1)

—(y*x? + 1 + 2xy?) = 2xy5 — 3x?y5 (2)

Cộng vế với vế hai phương trình ta được

0= 2xyŠ — y* + 2xyŠ — 3x2yŠ œ y*(3xy — 1)@y — 1) = 0

— Nếu y = 0 thay vào (1) được 0x + 1 = 0 vô nghiệm

~ Nếu xy = 1 &@ x =7, thay vào () được y* — yŸ — 2y— 1 =0

Vay hé da cho cé cdc nghiém (x, y) = (

SEP

Tuyển tập 20 dé thi thir dei học, cao đẳng môn Toán Lovebook.yn

7- Một số chú ý khi giải hệ phương trình

Phạm Văn Hùng số 389 11/2009 Bài đăng trên tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ số 389

Trong các kì thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng chúng ta thường thấy có bài

toán giải một hệ phương trình hoặc các bài toán giải phương trình mà để giải được nó ta phải dẫn về

hệ phương trình Vì vậy, để chuẩn bị tốt cho kì thí đại học cao đẳng sắp tới, chúng ta cần ôn tập kĩ các

Trong bài.báo này chúng ta quan tâm đến cách giải một số hệ cơ bản và đơn giản sau:

I Hệ đối xứng loại một

Một hệ pt hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại một nếu khi đổi vai trò x cho y thì các pt trong hệ

được giữ nguyên Đối với hệ dang này, thông thường chúng ta đưa hệ đã cho về hệ dang co’ ban

f* +y=A

xy =B

Thí dụ 1: Giải hệ phương trình ta +x2y? ty? =B

Lời giất: Ta có 8 = @2 + y?)? — (xy)? = (x2 +y? + xY)GỞ + y? — xy)

Từ đó suy ra hệ đã cho có tất cả bốn nghiệm

x+/y=1 Thí dụ 2: (Khối D/2004) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: { xvxty,/y =1— 3m v vy Lời giải: Đặt u = Vx,v = Jy, (u = 0; v 2 0)

Hé da cho tré thanh

(23351 -3m° uvy=m `

Do đó u, v là nghiệm của phương trình tẺ ~ t + m = 0 Œ®)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có cả hai nghiệm t không âm Điều này tương

uŠ + v3 — 3(u + v) = 15m — 10 `ˆ lụuy = 8— m'

Đo đó u, v là nghiệm của phương trình t? — 5t + 8 — m = 0 () Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm t¡,t; thỏa mãn |t,| 2 2 va [tz| 2 2

Tir dé suy ra z<m< 2 hoặc m > 22

* Thí dụ 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: fi +y5 =1)

Lời giải: Đây là hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên rất khó đưa được về hệ phương trình tổng và tích Trước hết, từ (2) có |xÍ < 1 và |y{ < 1 Hơn nữa 0 < x < 1;0 < y <1

Thật vậy, nếu chẳng hạn —1 < x < 0 thì xŠ + yŠ < 1,trái với (1) Lấy (1) trừ đi (2) theo vế ta được xŠ(1 —x) +yŠ( — y) = 0 Dễ thấy trong (3) mỗi số hạng đều không âm

Tuyén tép 90 dé thi thit dai hoe, cao đẳng môn Toán Levebook.va

Lời giải: Điều kiện x > ghia cả hai vế của phương trình cho Vx

> 0 ta được phương trình tương đương:

3, Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

fey bay? =m? tm

4, Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

(1) @ 11— 2uv = Vu2v2 + 2uv — 15

© {at — 2uv)2 = u2v? + 2uv — 15

Tuyén tập 90 đề thì thứ đại học, cao đẳng môn Toản Lovebook.va

1

& (1+xy)(4x2y? — 4y + 1) = 100 (xy > 3)

© 4x9y? — 3xy — 99 = 0 © xự = 3

= x? +yˆ = 1 — xy = —2 vô nghiệm

Vậy hệ vô nghiệm

x+xy+y=5

3 + x3y3 + y3 = 17

° { xy + Œ+y) =5

(x+y)? — 3xy(x + y) + xy? = 17

= (5 —xy)? — 3xy(5 — xy) + x9y? = 17 œ 18x”y? ~ 90xy + 108 = 0

«© Qxy — 2)GQy — 3) = 0

— Nếu xy = 2 =x+ y= 5 —xy =3

=> x,y là nghiệm của phương trình tŸ — 3t + 2 = 0 @ t= 1Vt= 2

z+ x y) = (2; 1) hoặc (x,y) = (1; 2)

— Nếu xy = 3 = x + y = 2 = x,y là nghiệm của phương trình t? — 2t + 3 = 0 vô nghiệm

` Vậy hệ đã cho có các nghiém Gy) = (1; 2) và &,y) = (2; Ð l " eee xtey+ 2+ y+y yn 2= q

Tuyén tập 90 đề thị thử dai hoc, cao đẳng xôn Toán Lovebook.vn

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận được các giá trị của m cần tìm là m € (0; 2]

II Hệ đối xứng loại 2

Một hệ 2 phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu khi đối vai trò x cho ythì phương

trình này biến thành phương trình kia và ngược lại

- 'Đối với hệ dạng này, thông thường chúng ta lấy một phương trình trừ đi phương trình kia và dẫn về

dạng

Œœ—y).F@,y) = 0

oat aah {x =? — 4y* + By (1)

* Thí dụ 1: Giải phương trình: P = xŠ — 4x2 + 8x (2)

Lời giải: Lấy phường (1) trừ đi phương trình (2) theo vế ta được:

x? —y? = y3 — x3 4 4(x? — y?) + Bly — x),

«© Œ—y)@2 + y? — 3G + y) + xy + B) = 0

Dễ thấy x? + y? — 3Œ + y) + xy + 8 = Œ&— 2 + œ— ) — +— 02 =5 >0

Do đồ x ~ y = 0 © x = y, thế vào (1) ta được x = 0;y = 0

Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm duy nhất (x;y) = (0; 0)

* Thí dụ 2: Chứng mình rằng hệ phương trình ft ty? =1() eke ¬ + ÍX?2+y*=1()

Lời giải: Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) theo vế ta được

x2 —x) —y?( —y) = 0

(1-y?)—x)~(1—x3)(1T—y) =0

®œ đ—y) +y+y?)(1— x) ~ Œ—x)( +x+ x2 — y) = 0

«œ® —x)Œ —y)Œ —x)Œ +x+ÿ) =0

+ Với 1 — x = 0 thì hệ có nghiệm là @y)=(1;0)

+ Với 1 — y = 0 thì hệ có nghiệm là @&;y)=(0;1)

+ Với y — x = 0 thì x = y, thế vào phương trình (1) ta được xŠ + x2 — 1 = 0

Xét hàm FQ) = xỶ + x? — 1, Dễ thấy đồ thị của hàm F() cắt trục hoành tại một điểm duy nhất, nên

hệ có nghiệm x = y = xe trong đó xạ là nghiệm của pt x? + x? — 1 = 0,

* Với 1+x +y = 0,trường hợp này hệ không có thêm nghiệm nào

Vậy hệ có đúng 3 nghiệm phân biệt Œ;y) là (0;1),(1;0) và (xo; xạ), với xạ là nghiệm cia PT x? + x? ~ 1=9

* Thi dụ 3: Giải hệ pt:

có đúng 3 nghiệm thực phân biệt

Tuyển tập 90 đề thi thử đại học, cao đằng môn Toán Lovebook.vn

2xy

Xb Vx2— 2x49 = x? + y @) 1

2

v+yS=2)—=y+x @) yˆ—2y+9

Hiển nhiên x = y = 0 là một nghiệm của hệ Dứơi dây xét x # 0 và y # 0

Cộng theo vế 2 PT trong hệ ta được:

* Với xy<0 Khả năng này không thé: xay! ra, thật vậy, không mất tính tổng quát gid str x<0, y>ũ”

=>đẳng thức (1) không thể xây ra

Vậy hẹ có hai nghiệm (x;y) là (0;0)và (1;1)

“Thí dụ % Gái hệpg [T1 độ +y2—2y+2=3⁄'+1 2C 3+1

Lời giải: Hệ đã cho tương đương với:

utyw+1=3" với x— 1 = u,ÿ — 1 = v “

v+yv?+1=3

vee Let Xét hàm f() = t+ Vt + 1 có f'(Q “NT

Đo đó F@) luôn luôn đồng biến Vậy u=0 là nghiệm duy nhất của PT F(u)=0

Suy ra PT đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) là (1;1)

Tuyển tập 90 dé thi thir dai hoc, cao đẳng xôn Toán Lovebook.yn

D-@Q)2 &- =eŸ—————.Két fŒ) = et— t>1

1 fŒ)=e°+—————r>0Vt>1

= g'@)đồng biến với x > 1 = gGOlà hàm liên tục

g(2).g(10) < 0 = gÓ©) có đúng 2 nghiệm với x,y > 0

Max = y nên hệ có đúng hai nghiệm thôa mãn đề bài

Pee

39

Tuyển tập 90 dé thi thir dpi học, cao đẳng môn Toán - Lovebookyn

8- Phương pháp giải phương trình và bất phương trình siêu việt

Phạm Gia Linh (Hà Nội)

Bài đăng trên tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ số 365

Để giải phương trình và bất phương trình siêu việt (mũ, lô- ga- rit, lượng giác) ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản và phương pháp giải của nó

Trường hợp a* < m,Ìoga x < m xét tương tự

II.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Thí dụ 1 Gidi pt: 2°44, 5% = 2.102*+5 (4)

Loi gidi: (1) © 10* = 10?*†Š œ x = 2x + 5,

Vậy x = —5

Thí dụ 2: Giải pt: logz(2x + 1) — log:(3 — x) = 0

8 Lời giải:

Biến đổi (2) log; (2x + 1) = logs 62 C32x+1 => 0© {x x 3 0

Stv4i

Đ/S:x= ave

'Thí dụ 3: Giai BPT: logs(4* + 144) — 4logs 2 < 1 +logs(27ˆ? +1) (3)

Lời giải: (4) ex logs(4* + 149 < loạy 80272 + 1) © 4# + 144 < 8022 + 1) œ 4” — 20.2” + 64< 0