tuyển tập 90 đề thi thử đại học môn toán tập 3

Thế nhưng những phần này thì lại thường không khó bằng các phần kiến thức lớp 10 cụ thể là tọa độ mặt phẳng, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức.. Về mức độ kh

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

143

PHẦN I DỰ ĐOÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Kết thúc mùa tuyển sinh đại học năm 2014, với cấu trúc đề thi ít nhiều có phần thay đổi so với các năm trước đó Đồng thời vào năm nay thì kì thi tốt nghiệp THPT và kì thi đại học “trên cơ bản” là được “gộp” vào một kì thi chung, đó là kì thi THPT quốc gia, lấy kết quả xét tốt nghiệp THPT và xét tuyển đại học, cao đẳng Chính vì vậy cấu trúc đề thi năm nay sẽ có một số thay đổi nhẹ so với đề thi năm 2014, đồng thời là kì thi đầu tiên thực hiện “đổi mới” nên xu hướng ra đề cũng sẽ phần nào dễ đoán và nhẹ nhàng hơn so với đề thi đại học năm 2014!

Sau đây là các kiến thức trọng tâm cũng như cấu trúc dự đoán trong đề thi THPT quốc gia năm nay (thứ tự các câu có thể thay đổi):

Câu 1 (2,0 điểm) Khảo sát hàm số và câu hỏi phụ khảo sát hàm số

Câu 2 (1,0 điểm) a) Phương trình lượng giác

b) Số phức

Câu 3 (1,0 điểm) Tích phân

Câu 4 (1,0 điểm) a) Phương trình logarit

b) Tổ hợp, xác suất

Câu 5 (1,0 điểm) Phương pháp tọa độ trong không gian

Câu 6 (1,0 điểm) Hình học không gian tổng hợp

Câu 7 (1,0 điểm) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Câu 8 (1,0 điểm) Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Câu 9 (1,0 điểm) Bài toán tổng hợp (thường là bài toán bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất)

Nói chung về điểm thì ở Câu 2, Câu 4 do có hai ý nên mỗi ý thường sẽ được chia đôi là 0,5 điểm, tức là mỗi phần phương trình lượng giác, phương trình logarit, số phức, tổ hợp – xác suất sẽ có giá trị là 0,5 điểm Các phần này thường không quá khó để kiếm điểm

Đồng thời, với hình thức là kết hợp thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh cao đẳng, đại học nên chương trình thường sẽ ra nhiều hơn ở phần chương trình lớp 12 Thế nhưng những phần này thì lại thường không khó bằng các phần kiến thức lớp

10 (cụ thể là tọa độ mặt phẳng, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức) Nói chung ta nên để ý chương phương trình logarit, bởi rất có thể đề thi năm nay sẽ “thế” câu phương trình lượng giác bằng câu phương trình logarit (tất nhiên cũng ở mức đơn giản)

Do là năm đầu tiên thực hiện thi theo hình thức THPT quốc gia nên đề thi cũng sẽ ít phụ thuộc các năm trước, và đồng thời đề thi cũng thường dễ thở để thăm dò Về mức độ khó – dễ của các bài toán xuất hiện trong đề thi thì cũng sẽ được phân tích cụ thể trong các phần kiến thức tổng hợp tiếp theo sau đây! Sau đây là đề thi mẫu của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2015, một đề thi tham khảo có cấu trúc như sau:

Câu 1 (2,0 điểm) Khảo sát hàm số và câu hỏi phụ khảo sát hàm số

Câu 2 (1,0 điểm) a) Lượng giác

b) Số phức

Câu 3 (0,5 điểm) Phương trình logarit

Câu 4 (1,0 điểm) Bất phương trình

Câu 5 (1,0 điểm) Tích phân

Câu 6 (1,0 điểm) Hình học không gian tổng hợp

Câu 7 (1,0 điểm) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Câu 8 (1,0 điểm) Phương pháp tọa độ trong không gian

Câu 9 (0,5 điểm) Xác suất

Câu 10 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Như vậy với đề thi mẫu thì chúng ta cũng đã đoán biết được phần nào xu hướng đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo: Kiến thức tổng hợp, và mức độ đề thi khoảng 5–6 điểm là ở mức độ dễ (dành cho thí sinh thi tốt nghiệp) Nói chung, so với cấu trúc đề thi dự đoán thì các phần kiến thức cần phải ôn gần như không thay đổi Một phần lạ hơn ở đây là phần xác suất lại được tách ra thành một câu riêng, và nó có tính thực tế khá cao Còn phần lượng giác thì không phải còn là một câu phương

trình lượng giác như thông thường nữa, mà chỉ thiên về tính giá trị biểu thức – dựa trên các biến đổi, công thức lượng giác Nói chung là để làm được câu lượng giác thì chúng ta cần nhớ được công thức, nên dù là phương trình lượng giác hay biến đổi lượng giác thì cũng không phải là vấn đề lớn Còn về các phần phân loại như hình tọa độ phẳng, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì do mức độ của đề thi mẫu nên mức độ đề thi là khá dễ so với đề thi đại học các năm trước (thang điểm của Bộ Giáo dục đưa ra chỉ là tham khảo, cách giải các bài hình tọa độ phẳng và bất đẳng thức là khá đơn giản) Điều này cũng không thể làm học sinh chủ quan được, bởi nếu là đề thi thật thì khả năng độ khó của các bài tập này sẽ cao hơn nhiều

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

145

Phần 1: Câu hỏi phụ khảo sát hàm số

1 Kiến thức cần nhớ:

Các hàm số trong giới hạn thi: hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất

– Tính đơn điệu của hàm số

– Cực trị hàm số (hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương)

– Tiếp tuyến của hàm số (hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương và hàm phân thức)

– Các bài toán về sự tương giao

– Định lí Viét cho phương trình bậc hai, phương pháp tam thức bậc hai

– Một số bài toán cơ bản, nền tảng về câu hỏi phụ khảo sát hàm số

– Một số tính chất đặc trưng của đồ thị hàm số (đặc biệt là tính đối xứng)

• Tính đơn điệu của hàm số:

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b)  f ’(x)  0 với mọi x ∈ (a; b), đồng thời f ’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a; b)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a; b)  f ’(x)  0 với mọi x ∈ (a; b), đồng thời f ’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a; b)

Chú ý: Bài tập điển hình của dạng này là bài tập về tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu Thông thường thì dạng bài tập này hay xuất hiện với hàm số bậc ba Có hai phương pháp chính để giải bài toán này, đó là:

+ Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu

+ Sử dụng định lí Viét cho các điểm cực trị

∎ Hàm số bậc bốn trùng phương:

+ Sự tồn tại các điểm cực trị

Kỹ năng cần thiết: Kĩ năng tính nhanh cực trị

• Tiếp tuyến của hàm số:

Muốn làm được các dạng toán về tiếp tuyến thì phải nắm được các bài toán cơ bản như viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị, viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước hoặc có hệ số góc cho trước Một điều cần chú ý trong phần này đó là sử dụng hệ điều kiện tiếp xúc

• Các bài toán về sự tương giao:

Đây là dạng toán thường gặp nhất trong đề thi đại học Các bài toán này thông thường nhất là khai thác tính chất giữa giao điểm của hai đồ thị, tìm số giao điểm của hai đồ thị và biện luận số giao điểm theo tham số

• Định lý Viét, phương pháp tam thức bậc hai:

∎ Định lí Viét: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì 1 2

1 2

b

x x

ac

x xa

∎ Phương pháp tam thức bậc hai: Thường sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0)

+ Nếu  < 0 thì af(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ

+ Nếu  = 0 thì af(x)  0 với mọi x ∈ ℝ

+ Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và  

 1 21  2 

x xaf(x) 0 x

Chú ý: Định lý Viét còn được mở rộng cho phương trình bậc ba (và cả đa thức bậc n nữa) như sau:

Phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thì

x x x x x x

ad

Ngoài ra còn định lí đảo của tam thức bậc hai, phần này cũng đã được bỏ trong chương trình mới Vậy nên rất hạn chế khi

sử dụng phương pháp cũ này nếu không muốn bị giáo viên chấm bắt chặt, dẫn đến mất điểm

• Một số tính chất đặc trưng của đồ thị hàm số (đặc biệt là tính đối xứng):

Ta thường chú ý đến tính đối xứng của đồ thị để giải quyết các bài tập trong Câu 1b này một cách nhanh và gọn nhất: + Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Tất nhiên mục này sẽ không phân dạng được hết các bài tập, thế nhưng xin được đề cập một số dạng cơ bản như sau:

bài toán liên quan

Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3m3, với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và

B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

– Điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai – Sử dụng định lí Viét

– Phương trình đi qua các điểm cực trị hàm bậc ba

Tiếp tuyến của đồ thị

hàm số

Cho hàm số y = –x4 – x2 + 6 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1

6x – 1

– Viết phương trình tiếp tuyến – Tìm hệ số góc tiếp tuyến – Sử dụng hệ điều kiện tiếp xúc

Bài toán về

sự tương giao

Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 Với các giá trị nào của m, phương trình x x2 22 = m có đúng 6 nghiệm phân biệt?

– Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm – Sử dụng định lí Viét

– Phương pháp tam thức bậc hai – Sử dụng đồ thị

3 Phân loại phương pháp giải:

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

+ Nếu  < 0 thì af(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ

+ Nếu  = 0 thì af(x)  0 với mọi x ∈ ℝ

+ Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và

 1 21  2 

x xaf(x) 0 x

– Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

– Thường sử dụng kết hợp với định lí Viét

Ví dụ: Cho hàm số y = –x3 + 3x2 + 3mx – 1, với m

là tham số thực Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +)

– Chắc chắn sẽ phải làm việc với đạo hàm (là một tam thức bậc hai): y’ = –3x2 + 6x + 3m

Vậy ta phải xét dấu của y’ trên (0; +) → dựa vào

 (hoặc ’)

+ Nếu ’  0 thì y’  0 với mọi x ∈ ℝ, thỏa + Nếu ’ > 0 thì y’ lúc đó sẽ có hai nghiệm Vẽ bảng biến thiên của y, ta sẽ thấy ngay điều kiện là nghiệm lớn của y’ phải bé hơn 0 thì mới thỏa mãn

Phương pháp

hàm số

Sử dụng khi cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức một biến, hoặc tìm miền giá trị, biện luận,…

Ví dụ: Cho hàm số y = –x3 + 3x2 + 3mx – 1, với m

là tham số thực Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +)

– Làm việc với đạo hàm y’ = –3x2 + 6x + 3m

Ta phải có y’  0 với mọi x > 0

 –3x2 + 6x + 3m  0 với mọi x > 0 (*)

Thấy rằng có thể dễ dàng cô lập m sang một vế: (*)  m  x2 – 2x với mọi x < 0  có thể dùng khảo sát hàm số (cụ thể là bảng biến thiên) để kết luận giá trị của m thỏa mãn

Nếu thấy khó cô lập m sang một vế thì không dùng phương pháp này

Sử dụng

hệ điều kiện

tiếp xúc

Lý thuyết: Điều kiện để hai đồ thị y = f(x) và

y = g(x) tiếp xúc nhau đó là hệ phương trình sau

Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm 23

Lưu ý: Không dùng tiêu chuẩn “nghiệm kép” để làm điều kiện tiếp xúc của một đường thẳng với đồ thị

– Hệ điều kiện tiếp xúc thường được dùng với bài toán viết phương trình tiếp tuyến “đi qua” một điểm cho trước

trong đó chỉ có ẩn k là ta cần tìm

Sử dụng hệ điều kiện tiếp xúc là sẽ tìm được x

 k  phương trình tiếp tuyến

Sử dụng

phương trình

hoành độ

giao điểm

Lý thuyết: Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số

y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x)

– Số giao điểm của hai đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

– Có thể kết hợp với dùng phương pháp đồ thị

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có

đồ thị là (Cm), với m là tham số Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

– Bài toán về sự tương giao nên trong trường hợp này cần dùng phương trình hoành độ giao điểm

4 Thống kê đề thi đại học:

Câu 8 (B – 2011) Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m, với m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

Câu 11 (B – 2012) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3m3, với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và

B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

Câu 15 (D – 2013) Cho hàm số y = 2x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 1, với m là tham số thực Tìm m để đường thẳng

y = –x + 1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

Phương pháp tam thức bậc hai

Phương pháp hàm số

Sử dụng định lí Viét

Bài toán tiếp tuyến,

sử dụng hệ điều kiện tiếp xúc

pháp tam thức bậc hai và định lí Viét khá nhiều Các bài toán về tiếp tuyến và sử dụng phương pháp hàm số ít gặp hơn rất nhiều Đồng thời ta thấy trong năm 2014, đề ra đã được “đơn giản hóa” đi rất nhiều Đây cũng chính là xu hướng tiến tới một kì thi quốc gia chung, đồng thời để bắt đầu lại cho một kiểu đề ra mới thì mở đầu thường sẽ là các hàm số ở dạng đơn giản, cụ thể là dạng hàm số bậc ba, hoặc bâc bốn trùng phương Chính vì vậy tôi xin được đề xuất các bài toán sau:

Câu 1 Cho hàm số y = x3 – mx2 – 3x (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0

b) Tìm m sao cho đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B tạo thành một đoạn thẳng có độ dài bằng 2√34

Câu 2 Cho hàm số y = 1x4 2x2 9

4  4 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với Ox

Câu 3 Cho hàm số y = 1x4 x2

2  (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(√2; 0) thuộc đồ thị (C)

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

215

ĐỀ SỐ 1

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – mx2 – 3x (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0

b) Tìm m sao cho đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B tạo thành một đoạn thẳng có độ dài bằng 2 34

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình 4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z z 3 5   

Câu 3 (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = x

Câu 4 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình log 2x 12    2 log 3x 2 4  

b) Một lớp học có 13 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm chọn 6 học sinh, trong đó có 3 học sinh nam

và 3 học sinh nữ đi tham gia tình nguyện ở làng trẻ SOS Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 học sinh đó?

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng (d1):   

x y 1 z

1 2 3 và (d2): x y 1 z 4   

1 2 5 Chứng minh điểm M, d1, d2 cùng nằm trên một mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng d đi qua

M và vuông góc với mặt phẳng đó

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB = a và ABĈ = 600 Mặt bên SBC là tam giác cân tại S và vuông góc với mặt đáy, góc giữa mặt phẳng (ABC) và (SAB) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(0; 2) Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho AB = 3AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD Trung điểm đoạn HC là M 3 5

Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2xy + 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =     

– Chiều biến thiên: y’ = 3x2 – 3; y’ = 0  x = ±1

Hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 1); đồng biến trên các khoảng (–; –1) và (1; +)

– Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yCĐ = 2; đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yCT = –2

• Đồ thị:

Đồ thị (C) của hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) Đồng thời (C0) nhận điểm uốn

O(0; 0) làm tâm đối xứng

4 m 94m

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

+) (2)  3sinx + 4cosx = 6, vô nghiệm do 32 + 42 = 25 < 62

Vậy phương trình có một họ nghiệm x = kπ (k ∈ ℤ)

+) Véctơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u⃗⃗⃗⃗ = (1; –2; –3) và u1 ⃗⃗⃗⃗ = (1; 2; 5) 2

Mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 đi qua điểm N và nhận véctơ n⃗ = [u⃗⃗⃗⃗ u1 ⃗⃗⃗⃗ 2] = (–4; –8; 4) làm véctơ pháp tuyến nên (P) có phương

+) Đường thẳng d đi qua M và nhận véctơ u⃗ = 1

4 n⃗ = (1; 2; –1) làm véctơ chỉ phương nên:

+) Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BA, AC

ABC vuông tại A, có AB = a và ABĈ = 600 BC = AB0

+) Kẻ HK ⊥ SN (K ∈ SN) Chứng minh tương tự, ta có AC ⊥ (SHN)  AC ⊥ HK Lại có SN ⊥ HK  HK ⊥ (SAC)

SHN vuông tại H có đường cao HK nên      

10 Câu 7

+) Gọi N là trung điểm BC Tại A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt

Ta thấy tứ giác ANBE có AE // BN và AE = BN nên nó là hình bình hành

Mặt khác có EAN̂ = 900 nên ANBE là hình chữ nhật

M

NE

K

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

2

2 2

2 2

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

9

Phần II: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC

1- Phương pháp thế trong giải hệ phương trình

Lương Văn Thiện (GSTT GROUP – Kỹ Sư Tài Năng – ĐH Bách Khoa HN)

““Thế” là một phương pháp quan trọng của giải HPT Nếu “thế” đúng thì bài toán sẽ được giải quyết ngay tức khắc”

+ Nếu y = 0 thay vào (2) ta có 9x = 0 nên x = 0

Thay x = 0; y = 0 vào (1) ta có 9 = 0 (vô lí)

+ Nếu 3

x 1

x 2

    vào hệ thấy thảo mãn Đây cũng chính là các

nghiệm của hệ phương trình đã cho

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: { y + √3y2− 2y + 6 + 3x2= 3x + √7x2+ 7 + 2(1)

3y2− 4x2− 3y + 3x + 1 = 0 (2) Lời giải: (2) ⇒ 3x = 4x2+ 3y − 3y2− 1 thế vào (1) ta có:

y + √3y2− 2y + 6 + 3x2= 4x2+ 3y − 3y2− 1 + √7x2+ 7 + 2

⇒ (3y2− 2y + 6 + 3x2) + √3y2− 2y + 6 + 3x2= √7x2+ 7 + 7x2+ 7 (3)

Xét hàm số: f(t) = t + √t, t ≥ 0 ⇒ f′(t) = 1 + 1

2√t > 0, với mọi t > 0 Suy ra f(t) đồng biến trên [0; +∞)

Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (−1; −1); (− 7

-Ý đồ 1: Rút x theo y hoặc y theo x từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại đưa

về phương trình một biến tuy hơi cồng kềnh nhưng nếu mạnh dạn biến đổi thì “kiểu gì cũng ra”- ví

dụ 1 là minh chứng cho ta điều này Lưu ý, có thể dùng ẩn phụ để giải ví dụ 1 gọn hơn “thế” nhưng nó thích hợp với bạn có tư duy tốt Vậy nên, nếu ẩn phụ không nghĩ ra thì “thế” là một phương án an toàn

và luôn luôn ra

-Ý đồ 2: Quan sát những biểu thức cùng xuất hiện ở 2 phương trình, sau đó thế chúng cho nhau Ở ví dụ 2, ta thấy ở phương trình (1) có “9” còn phương trình (2) có “9x”, để thế 2 “thằng” này cho nhau thì một cách tự nhiên, ta nhân 2 về của phương trình (1) cho x rồi thế 9x = 6x2y − y2 vào phương trình (3) thì lời giải được hé mở hoàn toàn Ở ví dụ 3 cũng cùng ý đồ khi thấy thằng “3x” xuất hiện đồng thời ở hai phương trình Ở ví dụ 3 còn thêm ý đồ nhóm ẩn phụ chính là biểu thức trong căn: u = 3y2− 2y + 6 + 3x2 Ta chỉ cần nhóm ra u thì lập tức sinh ra v = 7x2+ 7) rất đẹp

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

(2y2− y + 12) 3x= 81y (2) Bài 3: Giải hệ phương trình: { x

2+ xy + x + 3 = 0 (1) (x + 1)2+ 3(y + 1) + 2(xy − √x2y + 2y = 0 (2) Bài 4: Giải hệ phương trình: { x2y(x + 2) = 1 (1)

x2+ xy + 2x + 2 = 0 (2) Bài 5: Giải hệ phương trình: { x xy = x + 7y + 1 (1)2y2= 10y2− 1 (2)

Bài 2: Điều kiện y > 0

Tương tự như bài 1 Từ x + log3y = 3 ⇒ y = 33−x⇒ 3x= 27

y Thế vào phương trình (1) ta có: (2y2− y + 12) 27

y = 81y Đáp số: (x; y) = (2; 3)

Bài 3: Điều kiện x2y + 2y ≥ 0

Bài 4: Từ phương trình (2): xy = −x2− 2x − 2 thế vào phương trình (1) ta có:

3 )



2- Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương

Có hai loại chúng ta hay gặp:

I) Dạng quy được về 𝐟(𝐮(𝐱)) = 𝐟(𝐠(𝐱)) với f là hàm đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến)

Suy ra hàm số đồng biến trên [0; +∞)

Mà phương trình (1) tương đương với f(2x) = f(√2x + 1)

Nên phương trình:

(1) ⇔ 2x = √2x + 1 ⇔ 4x2− 2x − 1 = 0 ⇔ [ x = 1 + √5 (thỏa mãn x ≥ 0)

x = 1 − √5 (không thỏa mãn x ≥ 0) Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 + √5

𝐕í 𝐝ụ 𝟐: Giải phương trình: log3 x2+ x + 3

Nên phương trình đã cho xác định trên R

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −1; x = −2

B- Tư duy giải toán

Như vậy, thực chất để giải bài toán này, bước đầu tiên ta cần làm là đưa bài toán về dạng f(u(x)) = f(g(x))

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

Ví dụ:

- Hàm số mũ + lượng giác

- Hàm đa thức+ hàm logarit (ví dụ 2)

- Hàm đa thức + hàm mũ…

Khi đó, bạn có quyền nghĩ đến phương pháp hàm số này

Ngoài ra, nên nhìn nhận vai trò tương đồng, ngang nhau của một số biểu thức trong phương trình VD: Ở phương trình (1) ta thấy cụm (x + 1)√2x + 1 sẽ có bậc 3 2

Trong khi phần còn lại 4x3+ x có bậc là 3

Như vậy, nếu xem √2x + 1 là một ẩn thì cụm (x + 1)√2x + 1 có thể biến đổi thành một hàm bậc 3 Đó

là sự tương đồng về bậc cho phép ta đi theo hướng: xem x và √2x + 1 có vai trò ngang nhau

Giống kiểu đặt ẩn phụ (có thể gọi là ẩn phụ ảo)

Hay ở ví dụ 2: log3 x2+ x + 3

2x2+ 4x + 5 = log3(x2+ x + 3) − log3(2x2+ 4x + 5) Vai trò của x2+ x + 3 và 2x2+ 4x + 5 là ngang nhau

II Dạng f(u(x)) = 0 nhẩm được tất cả nghiệm (thường là phương trình có một nghiệm, hoặc 2 nghiệm)

Với các dạng bài này ta chú ý bổ đề sau: Nếu phương trình f’(x) = 0 có nhiều nhất n nghiệm, thì f(x) = 0 có nhiều nhất (n+1) nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: log2(x + 3log6x) = log6x

⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên R ⇒ phương trình f(t) có nhiều nhất 1 nghiệm

Mà f(−1) = 0 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = −1

Bài tập vận dụng:

Ví dụ 1: Giải phương trình: x3− 4x2− 5x + 6 = √7x3 2+ 9x − 4

Ví dụ 2: Giải phương trình: 4(x − 2)[log2x(x − 3) + log3(x − 2) = 15(x + 1)

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x2+3cosx− 2x2+4 cos3x= 2cos3x

Ví dụ 4: Giải phương trình log3 x2+ x + 1

𝟑 2x2+3 cos x− 2x2+4 cos3x= 2 cos 3x

⇔ 2x2+3 cos x+ 2(x2+ 3 cos x) = 2x2+4 cos3x+ 2(x2+ 4 cos3x) Xét f(t) = 2t+ 2t với t ∈ R

Tuyển tập 90 đề thi thử quốc gia THPT môn Toán tập 3 Lovebook.vn

15

Mà f(x2+ x + 1) = f(2x2− 2x + 3) ⇒ x2+ x + 1 = 2x2− 2x + 3 ⇔ x2− 3x + 2 = 0

⇔ x = 1 ∨ x = 2

𝟓 log2sin x = 2 log3tan x

Điều kiện: sin x > 0, cos x > 0

Đặt log2sin x = 2 log3tan x = t