Tuyển tập các đề dự tuyển học sinh giỏi Toán Đồng bằng sông Cửu Long lần thứ 162978

Hãy tính th tích t di n ABCD theo BC... Hãy tính limSn.

L n th 16

M c l c

T nh Trang

An Giang 3(18)

B c Liêu 4(22)

B n Tre 5(25)

Cà Mau 6(29)

C n Th 7(34)

ng Tháp (TP.Cao Lãnh) 8(38)

ng Tháp (Sa éc) 9(42)

H u Giang 10(46)

Kiên Giang 11(50) Long An 12(56)

Sóc Tr ng 13(61)

Ti n Giang (Cái Bè) 14(66)

Ti n Giang 15(70)

Trà Vinh 16(76)

V nh Long 17(83)

Đ D TUY N HSG T OÁN Đ NG B NG SÔNG C U LONG

T nh An Giang

Tr ng THPT chuyên Tho i Ng c H u

Câu 1: (3 đi m)

Xác đ nh a đ h ph ng trình

2

ax a 1 y sin x tan x y 1

    





 

Câu 2: (3 đi m)

Cho ABC , M là đi m thu c mi n trong tam giác G i x, y, z l n l t là kho ng cách t M

đ n c nh BC, CA, AB Ch ng minh x y z a2 b2 c2

2R

 

   D u b ng x y ra khi nào? aBC; bAC;cAB; Rlà bán kính đ ng tròn ngo i ti p ABC

Câu 3: (2 đi m)

Tìm t t c các c p s  x; y v i x, y sao cho: x3 y32y21

Câu 4: (3 đi m)

Cho dãy s  un th a mãn đi u ki n

 

n

; n 2,3, 4,

1

u 1 u

4



 





Tìm n

nlim u



Câu 5: (3 đi m)

Tìm giá tr nh nh t c a s t nhiên n sao cho n! t n cùng đúng b ng 1987 ch s 0

Câu 6: (3 đi m)

Tìm các hàm f : th a:

 

     

f 0 2008, f 2009

2

f x y f x y 2f x cos y, x, y

    

   



Câu 7: (3 đi m)

Cho hình c u tâm O, bán kính R T đi m S b t k trên m t c u k 3 cát tuy n b ng nhau

c t m t c u t i A, B, C và đôi m t t o v i nhau m t góc  G i V là th tích c a t di n S.ABC nh  đ V l n nh t

T nh B c Liêu

S GD& T B C LIÊU

Câu 1: ( 3 đi m )

Gi i ph ng trình 43x44 2x4 318 34 0

Câu 2: ( 3 đi m )

Trên các c nh c a tam giác ABC l y các đi m M’, N’, P’ sao cho m i đ ng th ng MM’, NN’, PP’ đ u chia chu vi tam giác ABC thành hai ph n b ng nhau trong đó M, N, P t ng

ng là trung đi m c a các c nh BC, CA, AB Ch ng minh ba đ ng th ng MM’, NN’, PP’

đ ng qui t i m t đi m

Câu 3: ( 2 đi m )

Cho s nguyên t p d ng 4k 3 Ch ng minh r ng không có s nguyên x nào th a đi u

ki n 2

(x  1) p

Câu 4: ( 3 đi m )

Cho dãy s nguyên d ng   an th a mãn đi u ki n 2

a a a  n N *

Tính

n

lim

  

Câu 5: ( 3 đi m )

Xung quanh b h hình tròn có 17 cây cau c nh Ng i ta d đ nh ch t b t 4 cây sao cho không có 2 cây nào k nhau b ch t H i có bao nhiêu cách th c hi n khác nhau?

Câu 6: ( 3 đi m )

Tìm t t c các hàm s f x liên t  c trên R th a:   x

2

 

     

 

Câu 7: ( 3 đi m )

Cho 8 s th c a, b, c, d, x, y, z, t Ch ng minh r ng trong 6 s sau đây có ít nh t m t s không âm: ac bd, ax by, azbt, cxdy, czdt, xzyt

T nh B n Tre

Tr ng THPT chuyên B n Tre

Câu 1: (3 đi m)

Gi i h ph ng trình:

3 3 3 3





   



Câu 2: (3 đi m)

Cho m t đ ng tròn v i hai dây AB và CD không song song ng vuông góc v i AB k

t A c t đ ng vuông góc v i CD k t C và t D l n l t t i M và P ng vuông góc

v i AB k t B c t đ ng vuông góc v i CD k t C và t D l n l t t i Q và N Ch ng minh r ng các đ ng th ng AD, BC, MN đ ng quy; các đ ng th ng AC, BD, PQ đ ng quy

Câu 3: (2 đi m)

Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình :

4y34x y2 24xy2x y2 5x24y24xy 8x  0

Câu 4: (3 đi m)

Cho dãy s (u )n xác đ nh nh sau:

1

2

2008 u

2009

 





     



nlim u



Câu 5: (3 đi m)

Cho hai s t nhiên n, k th a : 0 k n  Ch ng minh r ng :

Cn2n k Cn2n k ((C )0n 2(C )1n 2  (C ) )n 2 2n

Câu 6: (3 đi m)

Cho x, y, z là các s d ng th a mãn đi u ki n: 2 2 2

x y z  1

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: f xy yz zx

  

Câu 7: (3 đi m)

Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ c nh a Các đi m X,Y,Z l n l t di đ ng trên các

c nh C’D’, AD, BB’ nh v trí c a X,Y,Z đ chu vi tam giác XYZ nh nh t

T nh Cà Mau

Tr ng THPT chuyên Phan Ng c Hi n

Câu 1: (3 đi m)

Gi i ph ng trình: 2 6 2

   

Câu 2: (3 đi m)

Cho tam giác ABC có các c nh AB = c, CA = b, BC = a G i I là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác đã cho Ch ng minh r ng: IA2 IB2 IC2 1

Câu 3: (2 đi m)

Tìm ba s nguyên t liên ti p nhau sao cho t ng bình ph ng c a ba s đó c ng là m t s nguyên t

Câu 4: (3 đi m)

Xét dãy  xn trong đó x là nghin m d ng duy nh t c a ph ng trình: n 2

x x   x 1 Dãy s  yn : y = n n(xn 1)

Ch ng minh r ng:  y n có gi i h n Tìm n

n

lim y

Câu 5: (3 đi m)

Cho t p h p A1, 3, 5, , 2n 1 ( n ) Tìm s nguyên d ng n nh nh t sao cho t n

t i 12 t p con B1, B2, …, B12 c a A th a mãn đ ng th i các đi u ki n sau:

i) BiBj   (i 1,12; j 1,12;i  ; j)

ii) B1B2  B12 ; A

iii) t ng các ph n t trong m i t p Bi (i1,12) b ng nhau

Câu 6: (3 đi m)

Cho hàm s f liên t c trên  và tho mãn:

f (x y) f (x).f (y) f (xy) f (x) f (y); x, y

f (0) 2, f (2) 0







Ch ng minh r ng: f(x + y) = f(x) + f(y), x, y

Câu 7: (3 đi m)

Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ c nh a M, N là hai đi m di đ ng l n l t thu c AD’, DB tho đi u ki n: AM = DN = x ( 0 x a 2  )

a Tìm x đ đo n MN ng n nh t

b Khi đo n MN ng n nh t, ch ng minh r ng MN // A’C

Thành ph C n Th

Câu 1 : ( 3 đi m )

Tìm các giá tr th c c a a sao cho t n t i 5 s th c không âm x , x , x , x , x1 2 3 4 5 th a đ ng

th i các đi u ki n

Câu 2 : ( 3 đi m )

Cho ABC nh n, H là tr c tâm c a tam giác G i A’, B’, C’ l n l t là giao đi m c a HA,

HB, HC v i đ ng tròn ngo i ti p ABC Ch ng minh

HA 'HB 'HC 'HAHBHC

Câu 3 : ( 2 đi m )

a) Ch ng minh ph ng trình 2 2 2

z (x 1)(y  1) 2010 (1) vô nghi m v i x, y, z  Z b) Ch ng minh ph ng trình 2 2 2

z (x 1)(y  1) 2008 (2) có nghi m v i x, y, z  Z

Câu 4 : ( 3 đi m )

Cho dãy s (an) b ch n và n 2 n 1 n  

Ch ng minh r ng dãy (an) h i t

Câu 5 : ( 3 đi m )

Cho 15 bài toán tr c nghi m, đánh s t 1 đ n 15 M i bài ch có 2 kh n ng tr l i: úng

ho c Sai

Có 1600 thí sinh tham gia thi, nh ng không có ai tr l i đúng 2 bài li n nhau.( N u xem bài làm c a m i thí sinh t ng ng v i m t dãy 15 ph n t , S thì không bài làm nào có

d ng: S SSSSSS S SS 2 ch đúng k nhau.)

Ch ng minh r ng có ít nh t 2 thí sinh tr l i toàn b 15 bài gi ng h t nh nhau

Câu 6 : ( 3 đi m )

Tìm các hàm f: R  R kh vi và th a đi u ki n f (xf (y))f (y f (x)) x, yR

Câu 7 : ( 3 đi m )

Cho t di n ABCD có các trung đi m các c nh đ u thu c m t m t c u

AB 3.CD, AC 3.DB, AD 3.BC

Hãy tính th tích t di n ABCD theo BC

T nh ng Tháp

Câu 1 : ( 3 đi m )

Gi i b t ph ng trình:

2

12x 8 2x 4 2 2 x

9x 16



   



Câu 2 : ( 3 đi m )

Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn (O Các ti p tuy n v i (O) t i B, C c t nhau t i M,

AM c t BC t i N Ch ng minh r ng : 2 2

Câu 3 : ( 2 đi m )

Tìm t t c các c p s nguyên d ng (a,b) sao cho 2a+1 chia h t cho b và 2b+1 chia h t cho

a

Câu 4 : ( 3 đi m )

Tìm gi i h n c a dãy (u )n v i

n

(9 4)(3 2) (27 8)(9 4) (3  2  )(3 2 )

Câu 5 : ( 3 đi m )

Cho hình h p ch nh t có đ dài ba kích th c là các s t nhiên Các m t c a hình h p

đ c s n màu xanh Chia hình h p này thành các kh i l p ph ng đ n v b ng các m t

ph ng song song v i các m t c a hình h p Tìm các kích th c c a hình h p , bi t r ng s các kh i l p ph ng đ n v không có m t nào màu xanh b ng

3

1

t ng s các kh i l p

ph ng đ n v

Câu 6 : ( 3 đi m )

Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ng n cho tr c ph ng trình : 2n 1

x    x 1 0

có đúng m t nghi m s th c G i nghi m s th c y là xn Hãy tìm lim x n

Câu 7 : ( 3 đi m )

Cho đ ng tròn (O,R) và m t đ ng kính PQ c đ nh c a đ ng tròn Trên tia PQ ta l y

m t đi m S c đ nh ( khác P và Q) V i m i đi m A thu c đ ng tròn ta d ng tia Px vuông góc v i tia PA và n m cùng phía v i nó đ i v i đ ng th ng PQ G i B là giao đi m c a

Px và SA Tìm t p h p đi m B, khi đi m A di đ ng trên đ ng tròn (O,R)

T nh ng Tháp

Tr ng THPT chuyên Nguy n ình Chi u

Câu 1 : ( 3 đi m )

Gi i ph ng trình

2

   

 

Câu 2 : ( 3 đi m )

Cho tam giác ABC có sin A2 , sin B2 , sin C2 l p thành m t c p s c ng và có t ng

sin A sin B sin C

2

   ng cao k t A và đ ng phân giác trong góc B c t nhau

t i I, bi t I thu c mi n trong tam giác ABC Ch ng minh r ng: SIACSIBC

Câu 3 : ( 2 đi m )

Tìm ba phân s t i gi n a ; b ; c

d d d t o thành c p s c ng bi t :

;

Câu 4 : ( 3 đi m )

Cho dãy (Un), bi t U1 = 1, và dãy (Vn) v i Vn = Un+1 - Un , n = 1,2 … L p thành c p s

c ng, trong đó V1 = 3; d = 3

Tính : SU1U2  Un

Câu 5 : ( 3 đi m )

Trong th vi n có 12 b sách g m 3 b sách Toán gi ng nhau, 3 b sách V t lý gi ng nhau, 3 b sách Hóa h c gi ng nhau và 3 b sách Sinh h c gi ng nhau đ c x p thành m t dãy sao cho không có ba b nào cùng m t môn đ ng k nhau H i có bao nhiêu cách x p nh v y ?

Câu 6 : ( 3 đi m )

Cho x, y, z th a đi u ki n

2

z 2z(x y) 8



 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c Az(yx)

Câu 7 : ( 3 đi m )

Cho tam giác ABC đ u có c nh b ng 2a và (d) là đ ng th ng tùy ý c t các đ ng th ng

BC, CA, AB G i x, y, z t ng ng là các góc gi a đ ng th ng (d) và các đ ng th ng

sin x.sin y.sin z cos x.cos y.cos z

16

T nh H u Giang

S GD& T H U GIANG

Bài 1: Cho h :

xu yv 8

  



 



  

 Tìm nghi m c a h đ bi u th c Ax 1 u 1   đ t giá tr l n nh t

Bài 2 : Cho tam giác ABC G i A’, B’, C’ là các đi m b t ký trên c ch BC, AC, AB sao cho các

đ ng th ng AA’ , BB’ CC’ đ ng qui Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

T = AB’.CA’.BC’

Bài 3: Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình sau:

195(x   y z t) 1890xyzt2008 0

Bài 4 : Cho a  1 Tìm GTNN c a hàm s y acos x asin x

Bài 5 : Cho dãy s  un v i u11, un 1  1 u u u1 2 n n 1

t n

    Hãy tính limSn

Bài 6: Tìm t t c các hàm s f(x) xác đ nh trên R và th a mãn các đi u ki n sau đây:

a f 0 1969 và f 2008

2



  

 

 

b 2f x y9f (xy)f (x).cos y, v i m i x, yR

Bài 7: Cho hình nón có góc đ nh c a thi t di n qua tr c là

3



, m t c u S1 n i ti p trong hình nón

1 Tính t s V1

V trong đó V1, V l n l t là th tích hình c uS1 và hình nón

2 G i S là hình c2 u ti p xúc v i t t c các đ ng sinh c a nón và v iS ; 1 S là hình c3 u ti p xúc v i t t c các đ ng sinh c a nón và v iS2; ;S2009 là hình c u ti p xúc v i t t c các

đ ng sinh c a nón và v iS2008 G i V , V , , V2 3 2009 l n l t kà th tích c a các hình c u

1

2

   

T nh Kiên Giang

Tr ng THPT Hu nh M n t

Câu 1 : ( 3 đi m )

Tìm t t c các s nguyên t x,y tho mãn ph ng trình:

2

[ 1] [ 2] [ 3] [ x     1] y

Câu 2 : ( 3 đi m )

Cho hình vuông c nh b ng 1 Có hai tam giác đ u c nh l n h n 2

3 n m bên trong hình vuông Ch ng minh r ng hai tam giác y có đi m chung

Câu 3 : ( 2 đi m )

Gi i ph ng trình nghi m nguyên:

x 3y 4xy2x4y 13  0 (1)

Câu 4 : ( 3 đi m )

Dãy s  un xác đ nh nh sau :un=  n

  

 , đây   ch ph n nguyên c a s  (là s nguyên l n nh t không v t quá )

Ch ng minh r ng n, thì un là s l

Câu 5 : ( 3 đi m )

Cho A là t p t t c các ph n t xx , x , , x1 2 6 v i x , x , , x1 2 61, 4 M t ch ng trình máy tính ch n ng u nhiên 2008 ph n t t t p A ( các ph n t khác nhau ) đ c m t dãyun Tìm s t nhiên n nh nh t sao cho l y b t kì n s h ng c a dãy un ta luôn tìm

đ c 16 s h ng mà 2 s h ng b t kì trong 16 s h ng đó có ít nh t là 2 thành ph n khác nhau

Câu 6 : ( 3 đi m )

Cho ai 0, aiR, i1, , 2008 và a a1 2008 Ch1 ng minh r ng

 

Câu 7 : ( 3 đi m )

M t hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy AB = a, c nh bên SB = b v i ab 2

Có m t m t c u ti p xúc v i m t đáy ABCD t i A và ti p xúc v i đ ng th ng SB t i K Hãy tính bán kính c a m t c u này

T nh Long An

Tr ng THPT Lê Quý ôn

Câu1 : (3 đi m)

Gi i ph ng trình:





Câu 2 : (3 đi m)

Trên đ ng tròn tâm O, bán kính R l y sáu đi m D, E, F, G, H, K theo th t đó sao cho

DE = FG = HK = R G i M, N, P l n l t là trung đi m c a EF, GH và KD

Ch ng minh r ng tam giác MNP là tam giác đ u

Câu3 : (2 đi m)

Gi i ph ng trình sau trong t p h p các s nguyên d ng :

x  y  2009

Câu 4 : (3 đi m)

Cho dãy s (x )n xác đ nh nh sau : x01, x1 , 5 n 1 2n

n 2

x

3





Ch ng minh r ng dãy s ( )x n có gi i h n h u h n khi x   và tìm gi i h n c a nó

Câu 5 : (3 đi m)

Cho đa giác đ u A1 A2 A3 … A6n (n nguyên d ng) n i ti p trong đ ng tròn bán kính R Xét các đa giác l i có các đ nh là các đi m trong 6n đi m A1, A2, … , A6n và các c nh

c a đa giác đ u khác R Bi t r ng trong s các đa giác y s các đa giác v i s c nh l n

nh t b ng 32768, hãy tìm n

Câu 6 : (3 đi m)

Tìm t t c các hàm s liên t c f : R  thR a mãn đi u ki n:

2

2

  

Câu 7 : (3 đi m)

Trong m t ph ng v i h to đ các vuông góc Oxy, cho elip (E): x2 y2 1

3  2  và đ ng

th ng (  ): x + 2y – 4 = 0 Xét đi m M chuy n đ ng trên  Các ti p tuy n c a (E) k t

M ti p xúc v i (E) t i A và B Ch ng minh r ng khi M chuy n đ ng trên  thì đ ng th ng

AB luôn qua m t đi m c đ nh Xác đ nh đi m c đ nh y

T nh Sóc Tr ng

S GD& T SÓC TR NG

Câu 1: (3 đi m)

Gi i h ph ng trình:

2

2

2

2

log (x 4x 5) 1 2 log (y 4y 5) 1 2

 

 





   



Câu 2: (3 đi m)

Cho đ ng tròn (O) ngo i ti p tam giác ABC ng phân giác trong c a góc A c t đ ng tròn t i D (D khác A) Ch ng minh AB + AC < 2AD

Câu 3: (2 đi m)

Tìm các nghi m nguyên c a ph ng trình 3 3 3

x 15y 18z

Câu 4: (3 đi m)

Cho dãy s (un) xác đ nh b i

1

1

u

2



 







Ch ng minh r ng dãy s (un) có gi i h n h u h n và tìm gi i h n c a dãy s

Câu 5: (3 đi m)

Ph ng trình x + y + z + t = 2009 có bao nhiêu nghi m nguyên d ng?

(Nghi m (x, y, z, t) v i x, y ,z, t là các s nguyên d ng)

Câu 6: (3 đi m)

Tìm t t c các đa th c P(x) có b c nh h n 2009 và th a mãn đi u ki n:

2

P(x 1) P(x) 6x 6x5 x R

Câu 7: (3 đi m)

Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho hai đ ng tròn:

1

2

(C ) : x y 4x 6y 0 (C ) : x y 4x 0

   

  

M t đ ng th ng (d) đi qua giao đi m c a (C1) và (C2) l n l t c t l i (C1) và (C2) t i M và

N Tìm giá tr l n nh t c a đo n MN

T nh Ti n Giang

Câu 1 : ( 3 đi m )

Gi i ph ng trình :

Câu 2 : ( 3 đi m )

Cho tam giác ABC không cân t i A th a đi u ki n 2A

sin B.sin C sin

2

 G i H, I, M l n

l t là chân đ ng cao, đ ng phân giác trong , đ ng trung tuy n d ng t A Ch ng minh r ng I là trung đi m c a đo n HM

Câu 3 : ( 2 đi m )

Cho a, b, c là 3 s nguyên sao cho hai ph ng trình b c hai ax2

+ bx + c = 0 và ax2 + bx – c

= 0 đ u có nghi m h u t Ch ng minh r ng tích a.b.c chia h t cho 30

Câu 4 : ( 3 đi m )

Cho dãy s u0 = 2009 , k 1 k

k

1

u u (k 1, 2, )

u

    Tìm ph n nguyên c a s h ng

u2009 ?

Câu 5 : ( 3 đi m )

Trên m t ph ng cho 4 đ ng th ng song song và 2009 đ ng th ng cát tuy n đôi m t c t nhau Bi t r ng không có 3 đ ng th ng nào đ ng quy H i m t ph ng đ c chia thành

m y ph n?

Câu 6 : ( 3 đi m )

Tìm hàm s liên t c y = f (x) th a mãn : f (x4

).f (x) = 20094 v i m i x

Câu 7 : ( 3 đi m )

Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a , c nh bên b ng a 3 ; G i N là

đi m trên c nh SC sao cho CN = 2

3SC ; m t ph ng (  ) thay đ i đi qua AN và c t SB, SD

t i M, P Tìm giá tr nh nh t c a di n tích thi t di n AMNP khi m t ph ng (  ) thay đ i

x 10x 5 x 10x 11  x 10x 5 x 10x 11 2 