bat dang thuc cauchy va cac dang toan lien quan

BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ CÁCDẠNG TOÁN LIÊN QUAN Nguyễn Văn Mậu Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN Tóm tắt nội dungBất đẳng thức dạng bậc hai bất đẳng thức Cauchy mà chúng ta quen gọi làbấ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP

-Nguyễn Văn Mậu

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

CÁC CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN TOÁN

ĐỒNG THÁP - 06-09/09/2012

Mục lục

7.1 Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm 27

7.2 Kỹ thuật tách và ghép bộ số 30

7.3 Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số 36

7.4 Điều chỉnh và lựa chọn tham số 39

BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ CÁC

DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Nguyễn Văn Mậu Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN

Tóm tắt nội dungBất đẳng thức dạng bậc hai (bất đẳng thức Cauchy mà chúng ta quen gọi làbất đẳng thức Bu-nhia-cốp-ski) là dạng toán đơn giản nhất của bất đẳng thức màhọc sinh đã làm quen ngay từ chương trình lớp 9 Gắn với nó là các định lí Vi-ét(Viète) dạng thuận và đảo, đóng vai trò rất quan trọng trong các tính toán và ướclượng giá trị của một số biểu thức dạng đối xứng theo hệ các nghiệm của phươngtrình bậc hai tương ứng

Đến chương trình Đại số lớp 10, mảng bài tập về các ứng dụng định lí thuận vàđảo về dấu của tam thức bậc hai là công cụ hữu hiệu của nhiều dạng toán khác ởbậc trung học phổ thông

Bài giảng này nhằm cung cấp cho các học viên những ý tưởng chính của bấtđẳng thức Cauchy (thực và phức, thuận và đảo, lý thuyết và ứng dụng) gắn với cácdạng toán thi olympic khu vực và quốc tế

1 Các tính chất của tam thức bậc hai

Có lẽ dạng bất đẳng thức cơ bản và cũng là quan trọng nhất trong chương trìnhđại số cấp trung học cơ sở chính là bất đẳng thức dạng sau đây

x2 > 0, ∀x ∈ R (1)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Gắn với bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức dạng sau

(x1− x2)2> 0, ∀x1, x2 ∈ R,hay

x21+ x22 > 2x1x2, ∀x1, x2∈ R

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2

Bất đẳng thức (1) là dạng bậc hai đơn giản nhất của bất đẳng thức bậc hai màhọc sinh đã làm quen ngay từ chương trình lớp 9 Định lí Viete đóng vai trò rấtquan trọng trong việc tính toán và ước lượng giá trị của một số biểu thức dạng đốixứng theo các nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng Đặc biệt, trong chươngtrình Đại số lớp 10, mảng bài tập về ứng dụng định lí (thuận và đảo) về dấu của

tam thức bậc hai là công cụ hữu hiệu của nhiều dạng toán ở bậc trung học phổthông.

Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c, a 6= 0 Khi đó

af (x) =



ax + b2

2

−∆

4,với ∆ = b2− 4ac Từ đẳng thức này, ta có kết quả quen thuộc sau

Ta nhắc lại kết quả sau

Định lý 2 (Định lí đảo) Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho af (α) < 0 là

∆ > 0 và x1 < α < x2, trong đó x1,2 là các nghiệm của f (x) xác định theo (2).Nhận xét rằng, các định lí trên đều được mô tả thông qua bất đẳng thức (kếtquả so sánh biệt thức ∆ với 0) Các định lí sau đây cho ta tiêu chuẩn nhận biết,thông qua biểu diễn hệ số, khi nào thì tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c, a 6= 0,

Định lý 4 Tam thức bậc hai f (x) = 3x2+ 2bx + c có nghiệm (thực) khi và chỉ khicác hệ số b, c có dạng

(

b = α + β + γ

c = αβ + βγ + γα (3)

Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên vì theo bất đẳng thức Cauchy, ta có

Điều kiện cần Giả sử phương trình bậc hai có nghiệm thực x1, x2 Khi đó, tồn tại

đa thức bậc ba có ba nghiệm thực, là nguyên hàm của f (x), tức là:

F (x) = (x + α)(x + β)(x + γ)

Từ đây ta suy ra điều cần chứng minh

Tiếp theo, trong chương này, ta xét các dạng toán cơ bản về bất đẳng thức vàcực trị có sử dụng tính chất của tam thức bậc hai

Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xem như tam thức bậc hai đối với x)

a2 > 0, f2(x) = a2x2+ b2x + c2> 0, ∀x ∈ R,

để tìm cực trị của một số dạng toán bậc hai

Bài toán 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = a1x

2+ b1x + c1

a2x2+ b2x + c2với điều kiện

a2 > 0, f2(x) = a2x2+ b2x + c2> 0, ∀x ∈ R

Giải Nhận xét rằng khi x = 0 thì y(0) = c1

c2 và y 6=

a1

a2 Khi đó phương trìnhtương ứng

a1x2+ b1x + c1

a2x2+ b2x + c2 = yphải có nghiệm, hay phương trình

(a2y − a1)x2+ (b2y − b1)x + (c2y − c1) = 0 (4)phải có nghiệm

Do (??) là phương trình bậc hai nên điều này tương đương với

∆ = (b2y − b1)2− 4(a2y − a1)(c2y − c1) > 0hay

g(y) := (b22− 4a2c2)y2+ 2(b1b2+ 2a2c1+ 2a1c2)y + b21− 4a1c1 > 0

phải có nghiệm Vì g(y) có b22− 4a2c2 < 0 nên theo Định lí đảo của tam thức bậchai, thì

∆0 = (b1b2+ 2a1c2+ a2c1)2− (4a1c1− b21)(4a2c2− b22) > 0 (5)và

y1 6 y 6 y2,với

và ∆0 được tính theo công thức (5)

Suy ra max y = y2 và min y = y1, đạt được khi ứng với mỗi j (j = 1, 2), xảy rađồng thời

Ví dụ 1 Cho x, y là các số thực sao cho

2x2+ y2+ xy > 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = x2+ y2.Giải Đặt 2x2+ y2+ xy = a, a > 1 Khi đó

M

a =

x2+ y22x2+ y2+ xy

1) Nếu y = 0 thì M

a =1

2.

2) Nếu y 6= 0 suy ra

M

a =

t2+ 12t2+ t + 1, t =

xy

2

+ 12

Ma

7 .Suy ra

M > 6 − 2

√2

7 a > 6 − 2

√2

7 = M0.Vậy min M = 6 − 2

√2

7 , đạt được khi và chỉ khi

(

x = M1y2x2+ y2+ xy = 1 ⇔

A = x

2− xy + 2y2

x2+ xy + y2 1) Nếu y = 0 thì A = 1

y = ± 2(A2− 1)p7 − 6A2+ 3A2

2

và min A = 7 − 2

√7

y = ± 2(A1− 1)p7 − 6A1+ 3A21trong đó A1, A2 lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất tương ứng của biểuthức

Ví dụ 3 Cho x2+ y2− xy = 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

M = x4+ y4− x2y2.Giải Từ giả thiết suy ra

Vậy cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai



= 3

2,đạt được khi và chỉ khi

Vậy nên

min M = f



−13



= 1

9,đạt được khi và chỉ khi

y = ∓

√ 3

3 Bài toán 2 (Thi HSG Toán Việt Nam 2003,A) Cho hàm số f xác định trên tập

số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện

f (cot x) = sin 2x + cos 2x, x ∈ (0, π)

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

g(x) = f (sin2x)f (cos2x)

Giải Ta có

f (cot x) = sin 2x + cos 2x

= 2 cot xcot2x + 1+

cot2x − 1cot2x + 1

= cot

2x + 2 cot x − 1cot2x + 1 , ∀x ∈ (0; π)Với mỗi t ∈ R đều tồn tại x ∈ (0, π) sao cho cot x = t, ta được

Ta dễ dàng chứng minh được h0(u) > 0 ∀u ∈ h0,1

4

i Suy ra hàm h(u) đồng biếntrên h0,1

min h(u) = h(0) = −1và

max h(u) = h

14

4.Bài toán 3 (Thi HSG Toán Việt Nam 2003,B) Cho hàm số f xác định trên tậphợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện

f (cot x) = sin 2x + cos 2x, ∀x ∈ (0, π)

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f (x)f (1 − x) trênđoạn [−1; 1]

Ta có

f (cot x) = sin 2x + cos 2x

= 2 cot xcot2x + 1+

cot2x − 1cot2x + 1

= cot

2x + 2 cot x − 1cot2x + 1 , ∀x ∈ (0; π)

Từ đó, với lưu ý rằng với mỗi t ∈ R đều tồn tại x ∈ (0, π) sao cho cot x = t, ta được

i

Từ việc khảo sát dấu của h0(u) trên [−2; 1/4], ta thu được

min

−26u6 1 4

h(u) = h 2 −

√345

25.Bài toán 4 (Thi HSG Nga 1999) Cho hàm số

f (x) = x2+ ax + b cos x

Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình f (x) = 0 và f (f (x)) = 0 cócùng một tập hợp nghiệm thực (khác rỗng)

Giải Giả sử r là một nghiệm của f (x) Khi đó b = f (0) = f (f (r)) = 0 Do đó

f (x) = x(x + a), suy ra hoặc r = 0 hoặc r = −a

Vì vậy

f (f (x)) = f (x)(f (x) + a) = x(x + a)(x2+ ax + a)

Ta chọn a sao cho x2 + ax + a không có nghiệm thực hoặc chỉ có nghiệm thuộc{0, −a}

Thật vậy nếu 0 hoặc −a là nghiệm của phương trình x2+ ax + a = 0, thì phải

có a = 0 và khi đó f (f (x)) không có nghiệm nào khác

Bất đẳng thức (6) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy2 (đôi khi còn gọi

là bất đẳng thức Bunhiacovski, Cauchy - Schwarz hoặc Cauchy-Bunhiacovski)

Nhận xét rằng, bất đẳng thức Cauchy cũng có thể được suy trực tiếp từ đồngnhất thức Lagrange sau đây

Định lý 6 (Lagrange) Với mọi bộ số (xi), (yi), ta luôn có đồng nhất thức:

Tương tự, ta cũng có các đẳng thức dạng sau đây (Bạn đọc dễ dàng tự kiểmchứng trực tiếp).

Bài toán 6 Với mọi bộ số (xi, yi), ta luôn có đẳng thức sau

E2(x + y)E1(x)E1(y) − E1(x + y)E2(x)E1(y) − E1(x + y)E1(x)E2(y)

Nhận xét rằng, từ đồng nhất thức này ta thu được bất đẳng thức sau đây

Hệ quả 1 Với mọi bộ số dương (xi, yi), ta luôn có bất đẳng thức sau

a + b > 2√ab

3 Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy

Trước hết, ta có nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực tađều có thể mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mớicho bộ số phức Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực a đã cho như là phần thựccủa một số phức z = a + ib (b ∈ R)

Nhận xét rằng, từ đồng nhất thức này ta thu được đồng nhất thức Lagrange sauđây đối với bộ số phức.

Định lý 8 Với mọi bộ số phức (aj, bj), ta luôn có đẳng thức sau

16j<k6n

|ajbk− akbj| (8)

Chứng minh Từ đẳng thức (7), bằng cách thay aj bởi aj, vj bởi bj và uj bởi aj,

ta sẽ thu được (8)

Hệ thức (8) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức

Hệ quả 3 Với mọi bộ số phức (aj, bj), ta luôn có bất đẳng thức sau

6 12

Từ đây, ta thu được dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy

Định lý 9 Giả sử ta có bộ các cặp số dương (ak, bk) sao cho

Nhìn chung, rất nhiều bất đẳng thức có thể nhận được từ các đồng nhất thức.

Vì vậy, việc thiết lập được các đồng nhất thức được coi như một phương pháp hữuhiệu để sáng tác và chứng minh bất đẳng thức (xem phần bài tập áp dụng).Tiếp theo, ta xét một số mở rộng khác (dạng phức) của bất đẳng thức Cauchy.Định lý 10 (N.G.de Bruijn) Với bộ số thực a1, , an và bộ số phức (hoặc thực)

z1, , zn, ta đều có

2

6 12

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ak = Re (λzk) (k = 1, , n), trong đó λ là số phứcvà

n

X

k=1

zk2 , |zk| (k = 1, , n)

Vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp

2

6 12

ta thu được điều cần chứng minh

xα+ (?) > αx, ∀x ∈ R+ (11)sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi x = 1.

Thay x = 1 vào (11), ta nhận được (?) = α − 1, tức là (11) có dạng

xα+ α − 1 > αx, ∀x ∈ R+ (12)Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết

Sử dụng đạo hàm, ta dễ dàng chứng minh (12)

Thật vậy, xét hàm số

f (x) = xα+ α − 1 − αx, x > 0

Ta có f (1) = 0 và f0(x) = αxα−1− α = α(xα−1− 1) Suy ra f0(x) = 0 khi và chỉkhi x = 1 và x = 1 là cực tiểu duy nhất của f (x) trên R+ nên f (x) > f (1) = 0.Nhận xét 1 Trong áp dụng, đặc biệt trong các dạng toán xác định giá trị lớn nhấthoặc nhỏ nhất của các biểu thức dạng tam thức bậc α, bất đẳng thức Bernoullidạng (12) chỉ được sử dụng trong các trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x0 > 0cho trước, ta cần thay (12) bởi bất đẳng thức sau đây

x2+ 1 > 2x, ∀x ∈ R (14)

có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa

1 của x), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Khi đó, ta dễ dàng mở rộng một cách tự nhiên cho tam thức bậc (α, β) (α >

β > 0) để có bất đẳng thức tương tự như (14) bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số α

và luỹ thừa 1 bởi β

Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng

xα+ (?) > (??)xβ, ∀x ∈ R+ (15)sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Sử dụng phép đổi biến xβ = t và α

β = γ, ta có thể đưa (15) về dạng

tγ+ (?) > (??)t, ∀t ∈ R+ (16)

So sánh với (12), ta thấy ngay cần chọn (?) = γ − 1 và (??) = γ Vậy nên

tγ+ γ − 1 > γt, ∀t ∈ R+,hay

Ta nhận được bất đẳng thức Bernoulli đối với tam thức bậc (α, β) ứng với trườnghợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắc chắn rằngdấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x0 (x0 > 0) cho trước, ta chỉ cần thay (17)bởi bất đẳng thức sau đây

Định lý 11 Giả sử cho trước x0> 0 và cặp số (α, β) thoả mãn điều kiện α > β > 0.Khi đó

Bài toán 7 Cho bộ các số dương a, b, c; α, β với α > β Chứng minh rằng

ab

α

+bc

α

+ca

α

>ab

β

+bc

β

+ca

β

,

bc

β

,

ca

β

+bc

β

+ca

α

+

bc

α

+

ca

α

>

ab

β

+

bc

β

+

ca

β

Tiếp theo, ta xét dạng tam thức bậc (α, β):

f (x) = axα+ bxβ + cvới điều kiện α > 0 > β và aα + bβ = k > 0

Trường hợp khi k = 0, ta thu được dạng phân thức chính quy

Ta có kết quả sau đây

Định lý 12 Tam thức bậc (α, β) dạng

f (x) = axα+ bxβ+ c,trong đó a, b > 0, α > 0 > β và aα + bβ = k > 0 có tính chất sau:

f (x) > f (1), ∀x > 1

x>0f (x) = f (1)

5 Nhận xét về một số dạng bất đẳng thức liên quan

Tiếp theo, ta xét bất đẳng thức dạng nội suy sau đây

Định lý 13 Với mọi cặp dãy số thực a = (a1, , an) và b = (b1, , bn) và

Rõ ràng, với x = 0, ta thu được bất đẳng thức Cauchy

Chứng minh Xét tam thức bậc hai theo y:

Dễ thấy f (y) > 0 với mọi y, và vì vậy ta suy ra ngay được điều cần chứng minh

Sử dụng đồng nhất thức, ta thu được một mở rộng của bất đẳng thức Cauchy

Định lý 14 (H.W.Mclaughlin) Với mọi bộ số thực a = (a1, , an) và b =(b1, , bn), ta đều có

aibn+j− ajbn+i+ an+ibj− an+jbi = 0ứng với mọi i, j = 1, , n

Chứng minh Chứng minh được suy trực tiếp từ đẳng thức

Tương tự, ta có thể mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn bộ số

Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy đối với

q

a2k+ b2k và qakbk

a2

k+ b2 k

, ta thu

được kết quả sau

Định lý 15 Với mọi bộ số thực ak, bk sao cho a2

a2

k+ b2 k

Ta xét tiếp các bất đẳng thức Ostrowski và Fan-Todd

Định lý 16 (A.M.Ostrowski) Cho hai dãy không tỷ lệ a = (a1, , an) và b =(b1, , bn) và dãy số thực x = (x1, , xn) thoả mãn điều kiện

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Dễ thấy rằng dãy y1, , yn thoả mãn điệu kiện bài toán Mọi dãy x1, , xn,

từ giả thiết, cũng thoả mãn hệ thức

Tiếp theo, ta chứng minh định lý:

Định lý 17 (K.Fan and J.Todd) Với mọi dãy số thực a = (a1, , an) và b =(b1, , bn) thoả mãn điều kiện aibj 6= ajbi ứng với i 6= j, ta đều có

và từng cặp như vậy đều bằng 0.

Vậy ta chuyển được về tổng

Tiếp theo, ta xét một dạng bất đẳng thức, thực chất là bất đẳng thức Cauchytrong hình học gắn với tích trong trong không gian tuyến tính, thường được gọi làBất đẳng thức Cauchy - Schwarz3

Trước hết, ta nhắc lại tích vô hướng đối với cặp véctơ

a = (a1, a2, , an), b = (b1, b2, , bn)trong không gian Rn được định nghĩa như sau

Để ý rằng, tích vô hướng (20) có các tính chất sau đây

(i) (a, a) > 0, ∀a ∈ Rn,(ii) (a, a) = 0 ⇔ a = (0, 0, , 0),(iii) (αa, b) = α(a, b), ∀α ∈ R, ∀a, b ∈ Rn,(iv) (a, b + c) = (a, b) + (a, c), ∀a, b, c ∈ Rn,(v) (a, b) = (b, a), ∀a, b ∈ Rn

Định nghĩa 1 Không gian véctơ với tích (a, b) có các tính chất (i)-(v) được gọi làkhông gian với tích trong

Ví dụ 4 Giả sử (γj) là bộ số dương cho trước Khi đó, tích vô hướng với trọng(γj)

0 6= λ ∈ R

3 Đôi khi được gọi là bất đẳng thức Schwarz ( Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921)

, ˆw = w

(w, w)12

,

Khi đó, theo (24) thì (ˆv, ˆw) 6 1 Từ đó, ta có ngay (23)

Đặc biệt, đối với không gian các hàm số liên tục trên một đoạn thẳng [α, β] chotrước, ta có bất đẳng thức Bunhiacovski4

Định lý 19 Với mọi cặp hàm số f (t), g(t) liên tục trên đoạn thẳng [α, β], ta đềucó

Z β α

f (t)g(t)dt2 6

Z β α

[f (t)]2dt

Z β α

[g(t)]2dt

Chứng minh Sử dụng tính chất

Z β α

A =

Z β α

[g(t)]2dt, C =

Z β α

[f (t)]2dt, B =

Z β α

f (t)g(t)dt

Từ đây, áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có ngay điều cần chứngminh

Tiếp theo, ta dễ dàng kiểm chứng

Ví dụ 5 Giả sử V = C[α, β] là không gian các hàm liên tục trên [α, β] Khi đó,tích vô hướng của cặp hàm số f (t), g(t) ∈ V được định nghĩa như sau

(f, g) =

Z β α

f (t)g(t)dt (25)chính là tích trong, tức có các tính chất (i)-(v)

Tương tự như trường hợp không gian Rn, ta có thể định nghĩa tích (25) vớitrọng

Ví dụ 6 Giả sử V = C[α, β] là không gian các hàm liên tục trên [α, β] và ω(t)

là hàm số liên tục và dương trên [α, β] Khi đó, tích vô hướng của cặp hàm số

f (t), g(t) ∈ V với trọng ω(t) được định nghĩa như sau

(f (t), g(t)) =

Z β α

6 Nội suy bất đẳng thức bậc hai trên một đoạn.

Xét tam thức bậc hai G(x) = P x2+ Qx + R

Vấn đề được đặt ra là bất đẳng thức G(x) ≥ 0 thỏa mãn với mọi x ∈ [a, b] xảy rakhi nào?

Ta xét bài toán sau

Bài toán 8 Giả sử G(x) = P x2+ Qx + R và

G(a) = α ≥ 0, G(b) = β ≥ 0,

G(a + b

2 ) −

pG(a) +pG(b)2

G(x) = 1

(a − b)2

hα(2x − a − b)(x − b) − 4γ +

√

α +√β2

2

(x − a)(x − b)

+β(2x − a − b)(x − a)i

i(x − b) − 4

2

(x − a)(x − b)

+βh(x − a)(x − b)i(x − a)i

= 1

(a − b)2

hα(x − a)2+ β(x − b)2− 2√αβ(x − a)(x − b) − 4γ(x − a)(x − b)

i

= 1

(a − b)2

h√α(x − a) −√β(x − b)

G(a) = α, G(b) = β, G(a + b

2 ) + δ =

 √α −√β2

2

− 4δ(x − a)(x − b)



G(x) = 1

(a − b)2



x(√α −pβ) − (b√α − apβ)

,

suy ra

G(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] Ngược lại , giả sử (i) được thỏa mãn Khi đó G(a) ≥ 0, G(b) ≥ 0 và G(x) có thể viếtdưới dạng

G(x) = (mx + n)2− K(x − a)(x − b) với K ≥ 0 (iii)

Nếu trong (iii) ta chọn x ∈



a,a + b

2 , b

thì ta có

(ma + n)2 = G(a)(mb + n)2= G(b)và



−

pG(a) +pG(b)2

!2

= 4(a − b)2γ

Chứng minh Xét tam thức bậc hai theo y:

Dễ thấy f (y) > với y, ta suy điều cần chứng minh

Sử dụng đồng thức, ta thu mở rộng bất đẳng thức Cauchy